第42練整體策略與換元法題型分析·高考展望整體思想是指把研究對(duì)象的某一部分(或全部)看成一個(gè)整體，通過(guò)觀察與分析，找出整體與局部的聯(lián)系，從而在客觀上尋求解決問(wèn)題的新途徑換元法又稱輔助元素法、變量代換法，通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)；或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)；或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化高考必會(huì)題型題型一整體策略例1(1)計(jì)算(1)×()(1)×()；(2)解方程(x25x1)(x25x7)7.解(1)設(shè)t，則原式(1t)(t)(1t)ttt2ttt2t.(2)設(shè)x25xt，則原方程化為(t1)(t7)7，t28t0，解得t0或t8，當(dāng)t0時(shí)，x25x0，x(x5)0，x10，x25；當(dāng)t8時(shí)，x25x8，x25x80，b24ac254×1×8<0，此時(shí)方程無(wú)解；即原方程的解為x10，x25.點(diǎn)評(píng)整體是與局部對(duì)應(yīng)的，按常規(guī)不容易求某一個(gè)(或多個(gè))未知量時(shí)，可打破常規(guī)，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，把一組數(shù)或一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)整體，從而使問(wèn)題得到解決變式訓(xùn)練1計(jì)算：(1)×()(1)×()解令t，則原式(1t)(t)(1t)ttt2ttt2.題型二換元法例2(1)已知函數(shù)f(x)4x2xtt1在區(qū)間(0，)上的圖象恒在x軸上方，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_(2)已知點(diǎn)A是橢圓1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OA的延長(zhǎng)線上，且·48，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的最大值為_答案(1)(，22)(2)10解析(1)令m2x(m>1)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(m)m2mtt1在區(qū)間(1，)上的圖象恒在x軸上方，即t24(t1)<0或解得t<22，即實(shí)數(shù)t的取值范圍是(，22)(2)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)最大時(shí)，射線OA的斜率k>0，設(shè)OA：ykx，k>0，與橢圓1聯(lián)立解得x，又·xAxPk2xAxP48，解得xP，令925k2t>9，即k2，則xP×25 80 80×10，當(dāng)且僅當(dāng)t16，即k2時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的最大值為10.(3)已知f(x)xln x，g(x)x2ax3.對(duì)一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；證明：對(duì)一切x(0，)，都有l(wèi)n x>成立解對(duì)一切x(0，)，有2xln xx2ax3，則a2ln xx，設(shè)h(x)2ln xx(x(0，)，則h(x)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)>0，h(x)單調(diào)遞增所以h(x)minh(1)4.因?yàn)閷?duì)一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.證明問(wèn)題等價(jià)于證明xln x>(x(0，)f(x)xln x(x(0，)的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取到，設(shè)m(x)(x(0，)，則m(x)，易知m(x)maxm(1)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取到從而對(duì)一切x(0，)，都有l(wèi)n x>成立點(diǎn)評(píng)換元法是解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，變得容易處理，換元法的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是通過(guò)換元變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)；或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)；或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化主要考查運(yùn)用換元法處理以函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何為背景的最值、值域或范圍問(wèn)題，通過(guò)換元法把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的典型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范、簡(jiǎn)單的典型問(wèn)題，起到化隱形為顯性、化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用，以優(yōu)化解題過(guò)程變式訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)2x(x>1)，則f(x)的最小值為_答案22解析f(x)2(x1)2，令x1t，則f(t)2t2(t>0)，f(t)2 222.當(dāng)且僅當(dāng)2t時(shí)等號(hào)成立，故f(x)的最小值為22，當(dāng)且僅當(dāng)2(x1)，即x1時(shí)等號(hào)成立(2)已知在數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足San.求Sn的表達(dá)式；設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，證明Tn<.解San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，(*)由題意得Sn1·Sn0，(*)式兩邊同除以Sn1·Sn，得2，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列12(n1)2n1，Sn.證明bn，Tnb1b2bn(1)()()<，Tn<.高考題型精練1已知長(zhǎng)方體的表面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24，則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為()A2B.C5 D6答案C解析設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)，寬，高分別為x，y，z，由已知“長(zhǎng)方體的表面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24”，得長(zhǎng)方體所求對(duì)角線長(zhǎng)為5，故選C.2設(shè)實(shí)數(shù)x，y，m，n滿足x2y21，m2n23，那么mxny的最大值是_答案解析設(shè)xsin ，ycos ，msin ，ncos ，其中，(0°，180°)，mxnysin sin cos cos cos()，故最大值為.3函數(shù)y34的最小值為_答案8解析由解得2x2，所以函數(shù)的定義域?yàn)?,2因?yàn)?)2()24，故可設(shè)(0，)，則y3×2sin 4×2cos 6sin 8cos 10sin()(0，)，cos ，sin )，因?yàn)?，所以，所以當(dāng)0時(shí)，函數(shù)取得最小值10sin()10×()8.4已知不等式>ax的解集是(4，b)，則a_，b_.答案36解析令t，則t>at2，即at2t<0，其解集為(2，)，故解得a，b36.5已知yf(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x22x，則滿足f(f(a)的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為_答案8解析由題意知，f(x)其圖象如圖所示，令tf(a)，則t1，令f(t)，解得t1或t1±，即f(a)1或f(a)1±，由數(shù)形結(jié)合得，共有8個(gè)交點(diǎn)6設(shè)f(x21)loga(4x4)(a>1)，則f(x)的值域是_答案(，loga4解析設(shè)x21t(t1)，f(t)loga(t1)24，值域?yàn)?，loga47已知mR，函數(shù)f(x)g(x)x22x2m1，若函數(shù)yf(g(x)m有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(0，)解析函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，令g(x)t，yf(t)與ym的圖象最多有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，0<m<3，從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次t1<t2<t3，由于函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，tx22x2m1，則每一個(gè)t的值對(duì)應(yīng)2個(gè)x的值，則t的值不能為最小值，函數(shù)tx22x2m1的對(duì)稱軸為x1，則最小值122m12m2，由圖可知，2t11m，則t1，由于t1是交點(diǎn)橫坐標(biāo)中最小的，滿足>2m2，又0<m<3，聯(lián)立得0<m<.8已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值解方程x2y24x10變形為(x2)2y23，表示的圖形是圓(1)設(shè)x2cos ，則ysin ，故x2cos ，ysin ，則yxsin cos 2sin()2，當(dāng)2k(kZ)時(shí)，yx有最小值2，當(dāng)2k(kZ)時(shí)，yx有最大值2.(2)由(1)知x2y2(2cos )2(sin )274cos .當(dāng)2k(kZ)時(shí)，x2y2有最大值74，當(dāng)2k(kZ)時(shí)，x2y2有最小值74.9平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A(2,0)，B(2,0)連線的斜率之積等于，若點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線l過(guò)點(diǎn)Q(，0)交曲線E于M，N兩點(diǎn)(1)求曲線E的方程，并證明：MAN是一定值；(2)若四邊形AMBN的面積為S，求S的最大值解(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，當(dāng)x±2時(shí)，由條件得：·，化簡(jiǎn)得y21(x±2)，曲線E的方程為y21(x±2)，由題意可設(shè)直線l的方程為xky，聯(lián)立方程組可得化簡(jiǎn)得(k24)y2ky0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y2，y1y2.又A(2,0)，則·(x12，y1)·(x22，y2)(k21)y1y2k(y1y2)0，所以MAN90°，所以MAN的大小為定值(2)S|AB|·|y1y2|·|22|·2 ，令k24t(t4)，k2t4，S.設(shè)f(t)，f(t)，t4，f(t)<0，yf(t)在4，)上單調(diào)遞減f(t)f(4)4，由t4，得k0，此時(shí)S有最大值.