專題檢測（十五） 圓錐曲線的方程與性質(zhì)A組“633”考點落實練一、選擇題1(2018·全國卷)已知橢圓C：1的一個焦點為(2,0)，則C的離心率為()A.B.C. D.解析：選Ca24228，a2，e.2一個焦點為(，0)且與雙曲線1有相同漸近線的雙曲線方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：選B設(shè)所求雙曲線方程為t(t0)，因為一個焦點為(，0)，所以|13t|26.又焦點在x軸上，所以t2，即雙曲線方程為1.3若拋物線y24x上一點P到其焦點F的距離為2，O為坐標原點，則OFP的面積為()A. B1C. D2解析：選B設(shè)P(x0，y0)，依題意可得|PF|x012，解得x01，故y4×1，解得y0±2，不妨取P(1,2)，則OFP的面積為×1×21.4(2018·全國卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率為，則點(4,0)到C的漸近線的距離為()A. B2C. D2解析：選De，1.雙曲線的漸近線方程為x±y0.點(4,0)到C的漸近線的距離d2.5已知雙曲線x21 的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點，且|AF1|BF1|，則|AB|()A2 B3C4 D21解析：選C設(shè)雙曲線的實半軸長為a，依題意可得a1，由雙曲線的定義可得|AF2|AF1|2a2，|BF1|BF2|2a2，又|AF1|BF1|，故|AF2|BF2|4，又|AB|AF2|BF2|，故|AB|4.6(2018·全國卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點若PF1PF2，且PF2F160°，則C的離心率為()A1 B2C. D.1解析：選D在RtPF1F2中，PF2F160°，不妨設(shè)橢圓焦點在x軸上，且焦距|F1F2|2，則|PF2|1，|PF1|，由橢圓的定義可知，方程1中，2a1，2c2，得a，c1，所以離心率e1.二、填空題7已知雙曲線y21(a>0)的漸近線方程為y±x，則其焦距為_解析：由漸近線方程y±x，可得，解得a，故c2，故焦距為4.答案：48設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為_解析：設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，由題意可知，直線l過焦點，且垂直于x軸，將xc代入雙曲線方程，解得y±，則|AB|，由|AB|2×2a，則b22a2，所以雙曲線的離心率e.答案：9已知拋物線C的頂點為坐標原點，準線為x1，直線l與拋物線C交于M，N兩點，若線段MN的中點為(1,1)，則直線l的方程為_解析：依題意易得拋物線的方程為y24x，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，因為線段MN的中點為(1,1)，故x1x22，y1y22，則x1x2，由兩式相減得yy4(x1x2)，所以2，故直線l的方程為y12(x1)，即2xy10.答案：2xy10三、解答題10(2018·石家莊模擬)設(shè)A，B為曲線C：y上兩點，A與B的橫坐標之和為2.(1)求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點，曲線C在點M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1，y2，x1x22，故直線AB的斜率k1.(2)由y，得yx.設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知x31，于是M.設(shè)直線AB的方程為yxm，故線段AB的中點為N(1,1m)，|MN|.將yxm代入y，得x22x2m0.由48m>0，得m>，x1,21±.從而|AB|x1x2|2.由題設(shè)知|AB|2|MN|，即，解得m，所以直線AB的方程為yx.11(2018·全國卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程解：(1)由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k>0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k216>0，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設(shè)知8，解得k1或k1(舍去)因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.12已知直線xky30所經(jīng)過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到點F的最大距離為8.(1)求橢圓C的標準方程(2)已知圓O：x2y21，直線l：mxny1，試證：當(dāng)點P(m，n)在橢圓C上運動時，直線l與圓O恒相交，并求直線l被圓O所截得的弦長l的取值范圍解：(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，直線xky30所經(jīng)過的定點是(3,0)，即點F(3,0)因為橢圓C上的點到點F的最大距離為8，所以a38，a5，所以b2523216，所以橢圓C的方程為1.(2)因為點P(m，n)在橢圓C上，所以1，即n216.又原點到直線l：mxny1的距離d<1，所以直線l：mxny1與圓O：x2y21恒相交則l24(12d2)4，因為5m5，所以l.故直線l被圓O所截得的弦長l的取值范圍為.B組大題專攻補短練1已知拋物線C：x22py(p>0)，過焦點F的直線交C于A，B兩點，D是拋物線的準線l與y軸的交點 (1)若ABl，且ABD的面積為1，求拋物線的方程；(2)設(shè)M為AB的中點，過M作l的垂線，垂足為N.證明：直線AN與拋物線相切解：(1)ABl，|AB|2p.又|FD|p，SABDp21.p1，故拋物線C的方程為x22y.(2)證明：設(shè)直線AB的方程為ykx，由消去y得，x22kpxp20.x1x22kp，x1x2p2.其中A，B.M，N.kAN.又x22py，即y，y.拋物線x22py在點A處的切線斜率k.直線AN與拋物線相切2(2018·貴陽適應(yīng)性考試)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M為短軸的上端點，·0，過F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且|AB|.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(2，1)且不經(jīng)過點M的直線l與C相交于G，H兩點若k1，k2分別為直線MH，MG的斜率，求k1k2的值解：(1)由·0，得bc.因為過F2垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且|AB|，所以.又a2b2c2，聯(lián)立，解得a22，b21，故橢圓C的方程為y21.(2)設(shè)直線l的方程為y1k(x2)，即ykx2k1，將ykx2k1代入y21，得(12k2)x24k(2k1)x8k28k0，由題設(shè)可知16k(k2)>0，設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2)，則x1x2，x1x2，k1k22k2k(2k1)1，所以k1k21.3(2019屆高三·唐山五校聯(lián)考)在直角坐標系xOy中，長為1的線段的兩端點C，D分別在x軸，y軸上滑動， .記點P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)經(jīng)過點(0,1)作直線l與曲線E相交于A，B兩點，當(dāng)點M在曲線E上時，求直線l的方程解：(1)設(shè) C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲線E的方程為x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知點M的坐標為(x1x2，y1y2)易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykx1，代入曲線E的方程，得(k22)x22kx10，則x1x2，所以y1y2k(x1x2)2.由點M在曲線E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.此時直線l的方程為y±x1.4.如圖，橢圓C：1(a>b>0)的右焦點為F，右頂點、上頂點分別為點A，B，且|AB|BF|.(1)求橢圓C的離心率；(2)若點M在橢圓C的內(nèi)部，過點M的直線l交橢圓C于P，Q兩點，M為線段PQ的中點，且OPOQ，求直線l的方程及橢圓C的方程解：(1)由已知|AB|BF|，得 a，即4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2，所以e.(2)由(1)知a24b2，所以橢圓C的方程可化為1.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由1，1，可得0，即0，即(y1y2)0，從而kPQ2，所以直線l的方程為y2，即2xy20.聯(lián)立消去y，得17x232x164b20.則32216×17×(b24)>0b>，x1x2，x1x2.因為OPOQ，·0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40，從而40，解得b1，所以橢圓C的方程為y21.綜上，直線l的方程為2xy20，橢圓C的方程為y21.