【新結(jié)構(gòu)】20232024學(xué)年浙江省上杭金湖四校第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1若集合，則（    ）ABCD2設(shè)，是非零向量，“”是“”的（    ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件3已知函數(shù)y=f（x）的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（）ABCD4已知，則（    ）ABCD5對于變量Y和變量x的成對樣本觀測數(shù)據(jù)，用一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，對應(yīng)的殘差如下圖所示，模型誤差（    ）A滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè)B不滿足一元線性回歸模型的的假設(shè)C不滿足一元線性回歸模型的假設(shè)D不滿足一元線性回歸模型的和的假設(shè)6已知一個(gè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和前項(xiàng)和前項(xiàng)和分別為，則下列等式正確的是（    ）ABCD7已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則的值是（    ）A1B2C3D48半徑為3的圓內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)最大時(shí)，的長等于（    ）AB3CD二、多選題：本題共3小題，共18分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分9已知長方體，則有（    ）A若與所成的角分別為，則B若與面、面、面三側(cè)面所成的角分別為，則C若，則D若，則10瑞士數(shù)學(xué)家歐拉是史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)了被人們稱為“世界上最完美的公式”歐拉公式：（其中是虛數(shù)單位，是自然對數(shù)的底數(shù)），它也滿足實(shí)數(shù)范圍內(nèi)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，下列結(jié)論正確的是（    ）ABC若復(fù)數(shù)的虛部為，則的實(shí)部為D已知，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，則三角形面積的最大值為11已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別為，動點(diǎn)在橢圓上（點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限），是坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為1，則（    ）A為定值BC與的面積相等D與的面積和為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數(shù)字作答）13若則 14在中，分別為內(nèi)角的對邊，滿足，則的值為 四、解答題：本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15已知等差數(shù)列的公差為，且，設(shè)為的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足.(1)若，且，求；(2)若數(shù)列也是公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16如圖，三棱臺，平面平面，與相交于點(diǎn)，且平面(1)求三棱錐的體積；(2)平面與平面所成角為與平面所成角為，求的值17現(xiàn)有4個(gè)除顏色外完全一樣的小球和3個(gè)分別標(biāo)有甲、乙、丙的盒子，將4個(gè)球全部隨機(jī)放入三個(gè)盒子中（允許有空盒）(1)記盒子乙中的小球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望；(2)對于兩個(gè)不互相獨(dú)立的事件，若，稱為事件的相關(guān)系數(shù)若，求證：；若事件盒子乙不空，事件至少有兩個(gè)盒子不空，求18已知橢圓：的離心率為，是上一點(diǎn).(1)求的方程.(2)設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率不為0的直線，與交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，記的斜率為，的斜率為.證明：為定值；點(diǎn)在定直線上.19已知函數(shù).(1)判斷的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，記表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，若對任意的正數(shù)恒成立，求的值.（參考數(shù)據(jù)：，）1D【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：D2B【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.【詳解】由表示單位向量相等，則同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出，由表示同向且模相等，則，所以“”是“”的必要而不充分條件.故選：B3B【詳解】由yf(x)的圖象知，yf(x)的圖象為增函數(shù)，且在區(qū)間(1,0)上增長速度越來越快，而在區(qū)間(0,1)上增長速度越來越慢故選B.4B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)椋?，因此，則，所以.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類型及方法（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系（3）“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍5C【分析】根據(jù)用一元線性回歸模型有關(guān)概念即可判斷.【詳解】解：用一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，根據(jù)對應(yīng)的殘差圖，殘差的均值可能成立，但明顯殘差的軸上方的數(shù)據(jù)更分散，不滿足一元線性回歸模型，正確的只有C.故選：C.6D【分析】主要考察等比數(shù)列的性質(zhì)，字母為主，對學(xué)生的抽象和邏輯思維能力要求比較高?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對于A, 當(dāng)時(shí)，故A錯(cuò)，對于B, 當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)，對于C, 當(dāng)時(shí)，故C錯(cuò)，對于D, 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，故選項(xiàng)正確，故選：D7A【分析】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，令，利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)和函數(shù)的對稱性求出，即可求的值【詳解】由題意，令，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且的圖象也關(guān)于直線對稱，設(shè)，則關(guān)于直線對稱，所以且由可得，所以由可得，所以，又代入上式可得，則故選：A8C【分析】畫出圖形，當(dāng)時(shí)，最大，然后在中，用勾股定理求出即可【詳解】如左圖，作與E, 欲使最大，即最大，由于為定值，則只要最大即可當(dāng)，重合時(shí)，即時(shí)，最大，如右圖中，則故當(dāng)最大時(shí)，的長等于故選：C9ABC【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法求出夾角的正弦或余弦值，依次判斷選項(xiàng)即可【詳解】如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)，設(shè)，則，則，對于，同理可得，則，故A正確；對于B，面、面、面的一個(gè)法向量分別為，則，同理可得，則，故B正確；對于C，故，C正確；由C選項(xiàng)分析可知，則，即；同理，而顯然，則，故D錯(cuò)誤；故選：ABC10AB【分析】根據(jù)歐拉公式及復(fù)數(shù)得模即可判斷A；，整理即可判斷B；根據(jù)歐拉公式及復(fù)數(shù)的虛部為，結(jié)合三角恒等變換，求出，即可求出的實(shí)部，從而判斷C；根據(jù)題意可得，點(diǎn)得軌跡時(shí)以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，根據(jù)三角形的面積公式即可求得三角形面積的最大值，從而判斷D.【詳解】解：對于A，故A正確；對于B，故B正確；對于C，因?yàn)閺?fù)數(shù)的虛部為，所以，又，所以，故，所以，所以，即的實(shí)部為，故C錯(cuò)誤；對于D，由題意，則點(diǎn)得軌跡時(shí)以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，又，當(dāng)，即時(shí)，取最大值，所以三角形面積的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11ABC【分析】根據(jù)面積公式結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立等式，化簡求出，為定值，可判斷A，根據(jù)直線斜率之間關(guān)系得到直線之間的關(guān)系可判斷，根據(jù)三角形面積公式即可判斷C,D.【詳解】由題意可得，直線 所在直線方程為：，設(shè)到直線的距離為，則，因?yàn)?在橢圓上，所以，.因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限，所以，有，所以，即，故A正確，因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，代入得，因?yàn)樵跈E圓上，有，即，所以，即，故B正確，因?yàn)?，所以，代入?故C正確，因?yàn)椴皇嵌ㄖ?故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】1264【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當(dāng)從8門課中選修3門，若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.13【分析】由不等式的性質(zhì)求解【詳解】因?yàn)椋?，整理得，即，故答案為?41【分析】根據(jù)正弦定理與一元二次方程根的判別式可得，進(jìn)而可得答案【詳解】已知，則由正弦定理得：，（為外接圓半徑），即，故答案為：115(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，依次求出，列出不等式求解即得.（2）設(shè)，由已知求出，借助恒成立求出，再按奇偶分類并結(jié)合分組求和法求解即得.【詳解】（1）依題意，則，由，得，解得，而，所以.（2）由是公差為的等差數(shù)列，設(shè)，又，于是對任意恒成立，即對任意恒成立，則，又，解得，從而，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，所以.16(1)2(2)【分析】（1）通過證明線線和線面垂直，并結(jié)合已知條件即可得出三棱錐的體積；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出角與的正余弦值，即可解出【詳解】（1）由題意，平面平面，且平面平面平面，平面，平面，又平面，平面連接，平面平面，平面平面，三棱錐底面三角形的面積為，高，其體積為：（2）由題意及（1）得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則設(shè)平面的法向量為，由，取，則，平面的一個(gè)法向量為，所以又因?yàn)?，所以又，所?7(1)(2)證明見詳解；【分析】（1）每個(gè)小球的選擇都是一次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，而每個(gè)小球選擇盒子乙的概率為，所以可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布；（2）由條件概率的公式很容易證明；主要是根據(jù)題意，確定是平均分組還是非平均分組，進(jìn)而根據(jù)排列組合的公式即可得到相關(guān)事件的概率；由于某些分組情況比較復(fù)雜，因此考慮其對立事件，會減少計(jì)算量.【詳解】（1）由題意可知，的可能的取值為0,1,2,3,4，且，故；（2）因?yàn)椋?，所以，即，?所以成立.事件：盒子乙不空，則事件：盒子乙空，由第1問可知，所以，事件：至少有兩個(gè)盒子不空，則事件：有一個(gè)盒子不空，所以事件：至少有兩個(gè)盒子不空且盒子乙不空，分為兩種情況，一種是三個(gè)盒子都不空，按照1、1、2分組；另一種是兩個(gè)盒子不空且乙不空，此時(shí)甲或者丙是空的，故按照1、3或者2、2分組即可，故,所以，化簡得.18(1)；(2)證明見解析；證明見解析.【分析】(1)由條件列出關(guān)于的方程，解方程可得，由此可得橢圓的方程；(2)聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式求即可證明；求出直線與直線方程，聯(lián)立求點(diǎn)的坐標(biāo)，由此證明點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）由題意，橢圓的離心率為，是橢圓上一點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為；（2）因?yàn)檫^點(diǎn)且斜率不為0，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，方程的判別式，設(shè)，則，. 兩式相除得，因?yàn)榉謩e為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以， 從而；由知，設(shè)，則，所以直線的方程為：，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】過x軸上定點(diǎn)斜率不為0的動直線方程可設(shè)為；過y軸上定點(diǎn)(0，y0)斜率存在的動直線方程可設(shè)為.19(1)在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)判斷出導(dǎo)函數(shù)恒小于等于0，即可得在上單調(diào)遞減；（2）利用導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)不等式可得出以及的取值范圍，代入整理可得，再根據(jù)函數(shù)的定義和參考數(shù)據(jù)即可求得結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，易知恒成立，在上單調(diào)遞減.（2），定義域是，則，令，則；令，則.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，.存在，使，即.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.1和是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.，由韋達(dá)定理.，.即又由，又，所以（其中）由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞減且，.即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于求出函數(shù)最值以后，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成研究二次函數(shù)的根的分布情況得出參數(shù)的關(guān)系式，然后對進(jìn)行化簡求解即可.