甘肅省蘭州市2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知復(fù)數(shù)，則（    ）AB2CD2設(shè)集合，若，則（    ）ABCD3已知向量，設(shè)與的夾角為，則（    ）ABCD4在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（    ）A-280B280C560D-5605已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，則的漸近線方程為（    ）ABCD6已知a，b均為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（    ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件7孫子定理是中國(guó)古代求解一次同余式組的方法，是數(shù)論中一個(gè)重要定理，最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)，年英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將其問(wèn)題的解法傳至歐洲，年英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”.現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將至這個(gè)整數(shù)中能被除余且被除余的數(shù)，按從小到大的順序排成一列，把這列數(shù)記為數(shù)列.設(shè)，則（    ）A8B16C32D648已知函數(shù)，對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）ABCD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分-在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求-全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9在圓O的內(nèi)接四邊形中，則（    ）AB四邊形的面積為CD10已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖，則（    ）AB函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C函數(shù)在上單調(diào)遞減D函數(shù)在有4個(gè)極值點(diǎn)11已知正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則（    ）A四面體的體積為定值B四面體的體積為定值C四面體的體積最大值為D四面體的體積最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12一組樣本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位數(shù)是 13已知拋物線的焦點(diǎn)，直線過(guò)與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為 ，的面積為 （為坐標(biāo)原點(diǎn)）14已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)的最大值與最小值的和為 四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15如圖，四棱錐的底面是矩形，是等邊三角形，平面平面分別是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)  (1)求證：平面；(2)平面與直線交于點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小16某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：一周參加體育鍛煉次數(shù)01234567合計(jì)男生人數(shù)1245654330女生人數(shù)4556432130合計(jì)579111086460(1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱為“不經(jīng)常鍛煉”請(qǐng)完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生女生合計(jì)(2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會(huì)導(dǎo)致肥胖等諸多健康問(wèn)題以樣本頻率估計(jì)概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和；(3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱為“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望附：0.10.050.012.7063.8416.63517已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)于任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍18如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線為  (1)若直線與軸的交點(diǎn)為，求證：；(2)過(guò)點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：19微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開(kāi)創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段對(duì)于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分便是由直線和曲線所圍成的區(qū)域（稱為曲邊梯形）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得，因?yàn)榍吿菪蔚拿娣e小于梯形的面積，即，代入數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式：(1)請(qǐng)仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：；(2)已知函數(shù)，其中證明：對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，曲線在和處的切線均不重合；當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍1D【分析】利用復(fù)數(shù)乘法法則得到，利用模長(zhǎng)公式求出答案.【詳解】，故.故選：D2A【分析】根據(jù)集合交集、并集概念計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榧希?，則，即集合，所以.故選：A3D【分析】用夾角公式計(jì)算出余弦值后，再根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系即可算出正弦值.【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)闉榕c的夾角，所以.故選：D4B【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】的二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，,令，可得，所以，故含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.5C【分析】先得到方程，求出，得到雙曲線方程和漸近線方程.【詳解】由題意得，解得，故漸近線方程為.故選：C6A【分析】解不等式得到，充分性成立，舉出反例，故必要性不成立.【詳解】a，b均為正實(shí)數(shù)，故，充分性，故，充分性成立，必要性，不妨設(shè)，滿足，但不滿足，必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A7A【分析】由題中的條件可得數(shù)列是一個(gè)以5為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】被除余且被除余的數(shù)，按從小到大的順序排成一列，把這列數(shù)記為數(shù)列，則數(shù)列是一個(gè)以5為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列；所以，故；.故選：A.8C【分析】由題意可得，在上單調(diào)遞減，所以不等式恒成立，等價(jià)于在恒成立，即恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在的最值即可得答案【詳解】解：因?yàn)?，易知在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，又因?yàn)閷?duì)于任意的，不等式恒成立，即對(duì)于任意的，不等式恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立由，知，所以當(dāng)，上式等價(jià)于恒成立設(shè)，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，而，所以，所以，即故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)、函數(shù)中心對(duì)稱、函數(shù)與不等式綜合，恒成立問(wèn)題.借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和最值，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力，屬于難題.9ABD【分析】選項(xiàng)A，在，分別使用余弦定理，求解即可；選項(xiàng)B，結(jié)合面積公式，即得解；選項(xiàng)C，轉(zhuǎn)化利用數(shù)量積的定義求解即可；選項(xiàng)D，轉(zhuǎn)化，利用數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】由題意，故，在中，由余弦定理，在中，由余弦定理，故，解得，又，故故，解得，A正確；，B正確；在中， 在中， ，C錯(cuò)誤；，又，故，D正確.故選：ABD10BD【分析】由“五點(diǎn)法”求得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和極值點(diǎn)的概念依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A:由圖可知的周期為：，又，所以；由，且，所以；由，所以，故A錯(cuò)誤；B：由A的分析知，所以因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故B正確；C：由，得，故在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；D：因?yàn)?，故D正確.故選：BD.11BCD【分析】根據(jù)到平面的距離不是定值即可判斷A；根據(jù)為定值與到平面的距離即可判斷B；確定當(dāng)Q與、與重合時(shí)四面體的體積取得最大值，即可判斷判斷C；如圖，確定四面體的體積為，即可判斷D.【詳解】A：因?yàn)榈拿娣e為，到平面的距離不是定值，所以四面體的體積不是定值，故A錯(cuò)誤；B：因?yàn)榈拿娣e為，P到矩形的距離為定值，所以到平面的距離為，則四面體的體積為，故B正確；C：當(dāng)Q與重合時(shí)，取得最大值，為，當(dāng)與重合時(shí)，到平面的距離d取得最大值，在正中，其外接圓的半徑為，則，故四面體的體積最大值為，故C正確；D：過(guò)點(diǎn)作，設(shè)，則，故四面體的體積為，其最大值為，故D正確故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查正方體的性質(zhì)，三棱錐體積有關(guān)問(wèn)題.明確當(dāng)體積達(dá)到最值時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.1237.5#【分析】根據(jù)百分位數(shù)的求法求解即可.【詳解】從小到大排序?yàn)椋?0，12，14，16，20，24，30，35，40，43；，故第80百分位數(shù)是故答案為：37.513 #【分析】由題意求出拋物線方程，進(jìn)而求出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，求得，結(jié)合計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)A，所以，解得，所以拋物線的方程為，則，得直線的方程為，與聯(lián)立整理得，設(shè)，故，故的面積為故答案為：；14【分析】求導(dǎo)，可得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解極值點(diǎn)以及端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可求解最值.【詳解】，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減；，故最大值與最小值的和為：故答案為：15(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）利用面面垂直性質(zhì)定理證明平面，可得，再利用向量法證明，然后由線面垂直判定定理可證；（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可解.【詳解】（1）因?yàn)闉檎切?，是中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，又平面，所以，又在平面?nèi)且相交，故平面（2）分別為的中點(diǎn)，又平面過(guò)且不過(guò)，平面又平面交平面于，故，進(jìn)而，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，  設(shè)平面法向量為，則，即，取，得，則，因?yàn)?，所?16(1)填表見(jiàn)解析；性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系(2)，(3)分布列見(jiàn)解析；期望為【分析】（1）由60名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，代入公式可得，即可得結(jié)論；（2）求出隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，由二項(xiàng)分布即可得和；（3）易知的所有可能取值為，利用超幾何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.【詳解】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下：性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常男生72330女生141630合計(jì)213960零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨(dú)立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無(wú)關(guān)；根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算可得根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1（2）因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故近似服從二項(xiàng)分布，易知隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率即可得，故，（3）易知10名“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值為；且服從超幾何分布：故所求分布列為0123可得17(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，得到時(shí)，兩式相減得到，得到及均為公差為4的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，證得為恒成立，設(shè)，求得數(shù)列的單調(diào)性和最大值，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且，即，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減得，因?yàn)?，故，所以及均為公差?的等差數(shù)列：當(dāng)時(shí)，由及，解得，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由（1）知，可得，因?yàn)閷?duì)于任意成立，所以恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，所以，故，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線方程求得，即可得，得證；（2）寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)的的垂線方程，解得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，再由相似比即可得，即證得.【詳解】（1）易知拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為；設(shè)直線的方程為聯(lián)立得，可得，所以；不妨設(shè)在第一象限，在第四象限，對(duì)于；可得的斜率為所以的方程為，即為令得直線的方程為，令得又，所以即得證（2）方法1：由（1）中的斜率為可得過(guò)點(diǎn)的的垂線斜率為，所以過(guò)點(diǎn)的的垂線的方程為，即，如下圖所示：聯(lián)立，解得的縱坐標(biāo)為要證明，因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，只需證明（*），所以（*）成立，得證.方法2：由知與軸平行，又的斜率為的斜率也為，所以與平行，由得，即得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是采用設(shè)點(diǎn)法，從而得到，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而轉(zhuǎn)化為證明即可.19(1)證明見(jiàn)解析(2) 證明見(jiàn)解析；【分析】（1）根據(jù)題，設(shè)過(guò)點(diǎn)作的切線分別交于，結(jié)合，即可得證；（2）求得，分別求得在點(diǎn)和處的切線方程，假設(shè)與重合，整理得，結(jié)合由（1）的結(jié)論，即可得證；根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為時(shí)，在恒成立，設(shè)，求得，分和，兩種情況討論，得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.【詳解】（1）解：在曲線取一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作的切線分別交于，因?yàn)椋傻?，即?）解：由函數(shù)，可得，不妨設(shè)，曲線在處的切線方程為，即同理曲線在處的切線方程為，假設(shè)與重合，則，代入化簡(jiǎn)可得，兩式消去，可得，整理得，由（1）的結(jié)論知，與上式矛盾即對(duì)任意實(shí)數(shù)及任意不相等的正數(shù)與均不重合當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，所以在恒成立，所以，下證：當(dāng)時(shí)，恒成立因?yàn)?，所以設(shè)（i）當(dāng)時(shí)，由知恒成立，即在為增函數(shù)，所以成立；（ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)，可得，由知恒成立，即在為增函數(shù)所以，即在為減函數(shù)，所以成立，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別