呂梁市2024年高三年級(jí)第三次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自已的姓名準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在試卷和答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5mm的黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（    ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2已知等邊的邊長為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（    ）ABCD3設(shè)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，則是的（    ）A必要而不充分條件B充分而不必要條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為.若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于的位置，則（    ）ABCD5已知a，若，則b的可能值為（    ）A2.5B3.5C4.5D66設(shè)，當(dāng)變化時(shí)的最小值為（    ）ABCD7在四面體中，與互相垂直，且，則四面體體積的最大值為（    ）A4B6C8D4.58設(shè)函數(shù).若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，則（    ）AB0C1D二多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（    ）A當(dāng)最大B使得成立的最小自然數(shù)CD中最小項(xiàng)為10已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，兩曲線有公共焦點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，以下結(jié)論正確的是（    ）ABCD若，則 11已知正方體的棱長為是空間中的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（    ）A若點(diǎn)在正方形內(nèi)部，異面直線與所成角為，則的范圍為B平面平面C若，則的最小值為D若，則平面截正方體所得截面面積的最大值為三填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12在的展開式中，的系數(shù)為 (用數(shù)字作答)13設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，已知，則 .14對(duì)任意閉區(qū)間I，用表示函數(shù) 在I上的最大值，若正實(shí)數(shù) a 滿足 ,則a的值為 .四解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.15某市質(zhì)監(jiān)部門根據(jù)質(zhì)量管理考核指標(biāo)對(duì)本地的500 家食品生產(chǎn)企業(yè)進(jìn)行考核，通過隨機(jī)抽樣抽取其中的50家，統(tǒng)計(jì)其考核成績(單位：分)，并制成如下頻率分布直方圖.(1)求這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)及中位數(shù)a(精確到0.01);(2)該市質(zhì)監(jiān)部門打算舉辦食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量交流會(huì)，并從這 50 家食品生產(chǎn)企業(yè)中隨機(jī)抽取5 家考核成績不低于88分的企業(yè)發(fā)言，記抽到的企業(yè)中考核成績?cè)?6,100的企業(yè)數(shù)為 Y，求 Y的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)若該市食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績X服從正態(tài)分布， 其中近似為50 家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)x，²近似為樣本方差s²，經(jīng)計(jì)算得 ，利用該正態(tài)分布，估計(jì)該市500 家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績高于95.32分的有多少家?(結(jié)果保留整數(shù)).附參考數(shù)據(jù)與公式： 則 P(-2X+2)0.9545，P(-3X+3)0.9973.16已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的，使恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍.17如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且的邊長為，點(diǎn)在母線上，且，.(1)求證：，并求三棱錐的體積；(2)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.18如圖，已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若到左焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過動(dòng)點(diǎn)作橢圓的切線，分別與直線和相交于兩點(diǎn)，記四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.19對(duì)于無窮數(shù)列，若對(duì)任意，且，存在，使得成立，則稱為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；(2)已知數(shù)列為等差數(shù)列，若是“數(shù)列”，且，求所有可能的取值；若對(duì)任意，存在，使得成立，求證：數(shù)列為“數(shù)列”.1D【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)滿足，可得，則，則復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選：D.2B【分析】取為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】在中，取為基底，則，因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，,所以，所以.故選：B.3C【分析】根據(jù)題意，推得為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，再由，得到，即，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，函數(shù)與均為遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以在也為單調(diào)遞增函數(shù)，又因?yàn)椋院瘮?shù)在上單調(diào)遞增，由，可得，所以，所以，故對(duì)任意實(shí)數(shù)，則是的充要條件.故選：C.4C【分析】根據(jù)題意，由條件可得的可能取值為，且，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式代入計(jì)算，即可求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，的可能取值為，且，所以.故選：C5B【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性，結(jié)合可得答案.【詳解】由得，設(shè)，則，又，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減因?yàn)?，所以結(jié)合選項(xiàng)可知B正確，ACD錯(cuò)誤.故選：B.6C【分析】根據(jù)題意可得在，在上，將問題轉(zhuǎn)化為拋物線焦點(diǎn)到上點(diǎn)的最小值，結(jié)合拋物線的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】在，在上，設(shè)到準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，軸于.，又為焦點(diǎn)到上點(diǎn)的距離，設(shè)，因?yàn)?所以過點(diǎn)的切線的斜率，當(dāng)與切線垂直時(shí)，解得，所以，所以的最小值為.故選：C.7A【分析】由橢圓定義可知，點(diǎn)與點(diǎn)都在以為焦點(diǎn)的橢圓上，由到中點(diǎn)距離取最大值時(shí)得到，故此時(shí)體積最大.【詳解】由題可知，點(diǎn)在平面內(nèi)以為焦點(diǎn)的橢圓上，點(diǎn)在平面內(nèi)以為焦點(diǎn)的橢圓上，所以焦距為，即，由橢圓定義可知長軸長為，即，所以到中點(diǎn)距離的最大值為短半軸長，所以中，所以，又，所以當(dāng)垂直平面時(shí)四面體體積最大，最大值為，故選：A.8B【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用差角的正弦公式變形等式，借助恒成立建立關(guān)系，并分析計(jì)算可得答案.【詳解】函數(shù)，依題意，對(duì)任意的恒成立，即對(duì)恒成立，因此對(duì)恒成立，于是，顯然，否則且，矛盾，則，顯然，否則且，矛盾，從而，解得，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：把給定的等式利用差角的正弦公式按角展開，借助恒等式建立方程組是解決本問題的關(guān)鍵.9BD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件即可得到，即可判斷AC，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可判斷B，再由，或時(shí)，；時(shí)，即可判斷D,【詳解】根據(jù)題意：，即，兩式相加，解得：，當(dāng)時(shí)，最大，故A錯(cuò)誤由，可得到，所以，所以，故C錯(cuò)誤；由以上可得：，而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確.當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由，所以中最小項(xiàng)為，故D正確.故選：BD.10BCD【分析】根據(jù)焦距相等可判斷A；根據(jù)橢圓和雙曲線定義，結(jié)合余弦定理整理可判斷B；根據(jù)B中變形可判斷C；由B中結(jié)論，結(jié)合的范圍可判斷D.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，對(duì)于A中，因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，可得，所以，即，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義，可得，所以，又由余弦定理得，可得，所以，所以B正確；對(duì)于C中，由，可得，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)?，所以，由可得，所以，所以D正確.故選：BCD.11BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求異面直線夾角的取值范圍，判斷A的真假；平面平面，B選項(xiàng)很好判斷；先確定點(diǎn)位置，再展開成平面，轉(zhuǎn)化成平面上兩點(diǎn)之間的距離問題判斷C的真假；先得到是線段上一點(diǎn)，連接并與交于點(diǎn)，分當(dāng)與重合，在線段（不含點(diǎn)）上，在線段（不含點(diǎn)，）上和與重合四種情況，得到截面積的最大值，判斷D的真假.【詳解】對(duì)于，如圖：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則則，因?yàn)樗?，故，則的取值范圍為，故A不正確；對(duì)于B，在正方體中，平面平面，顯然成立.故B正確；對(duì)于C：正方體的棱長為2，為空間中的一動(dòng)點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，在上取點(diǎn)，使,如圖：由得，即，故為線段上一點(diǎn).將平面沿展開至與平面共面，如下圖：易知：，則.在平面圖中，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，為，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，又，可知是線段上一點(diǎn)，如圖：連接并與交于點(diǎn).當(dāng)與重合時(shí)，平面與平面重合，此時(shí)截面面積為4.當(dāng)在線段（不含點(diǎn)）上時(shí)，平面截正方體所得截面為三角形，且當(dāng)與重合時(shí)，截面為，此時(shí)截面面積最大，由三邊長均為，故此時(shí)截面面積最大值為.當(dāng)在線段（不含點(diǎn)）上時(shí)，如圖：延長與交于點(diǎn)，作平行于并與交于點(diǎn)，則截面為等腰梯形，設(shè)，則，梯形的高，面積為.由圖可知：梯形的面積一定小于矩形的面積，且矩形面積為，所以.當(dāng)與重合時(shí)，截面為矩形，面積為.故平面截正方體所得截面面積的最大值為，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中截面的處理思路：（1）直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)平面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程；（2）作平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找到幾何體與截面的交線；（3）作延長線找交點(diǎn)法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點(diǎn)，然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線；（4）輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面.1215【分析】集合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.【詳解】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，得，令，則，所以系數(shù)為，故答案為：15.13#【分析】根據(jù)題意，求得且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得到，再聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合拋物線的定義，即可求解.【詳解】設(shè)到直線的距離為，因?yàn)?，可得，所以，所以，即且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，所以，則，聯(lián)立方程組，解得，由拋物線的定義，可得.故答案為：14或 【分析】就參數(shù)進(jìn)行分類討論函數(shù)在的最大值，結(jié)合求出的值，或判斷值不存在即得.【詳解】當(dāng)時(shí)， ，由 可得， 此時(shí)；當(dāng)時(shí)， 或.若，則由 可得，因，故無解；若，則由 可得，此時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，因區(qū)間的長度至少為，故，而顯然不成立,故舍去；綜上，a的值為或.故答案為：或.15(1)84.80分，中位數(shù)84.67分；(2)分布列見解析，1；(3)11家【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解；（2）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)及根據(jù)已知條件求出隨機(jī)變量的取值，利用古典概型的概率公式求出隨機(jī)變量相應(yīng)取值的概率，進(jìn)而得出隨機(jī)變量的分布列，利用期望公式即可求解；（3）根據(jù)已知條件及正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）這 50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)為：由頻率分布直方圖得內(nèi)， 解得中位數(shù) (分) .（2）這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中考核成績不低于88分的企業(yè)有家，其中考核成績?cè)趦?nèi)的企業(yè)有家，由題意可知，的可能取值為，,Y的分布列為：Y012P.（3）由題意得, (家) ，估計(jì)該市 500家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績高于 95.32分的有11家.16(1)答案見解析(2)【分析】（1）由，定義域?yàn)?，求?dǎo)，令，討論當(dāng)取不同的值時(shí)的正負(fù)情況，即可得到的單調(diào)性；（2）法一：由可化為，令，討論取正、負(fù)、零時(shí)恒成立，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍；法二：由可得，令，即恒成立，由，則令，則恒成立，討論取正、負(fù)、零時(shí)的單調(diào)情況，得到極值，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，令，又，?dāng)，即時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，令，解得其中，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.綜上：在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）法一：不妨設(shè)，則，同除以得，所以令， 當(dāng)時(shí)，恒成立， ，若恒成立，符合題意，當(dāng)恒成立，令則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，若，同理恒成立，由知，當(dāng)所以不存在滿足條件的.綜上所述：.法二：.令，則只需在單調(diào)遞增，即恒成立，令，則恒成立；又，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增成立；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，又，故不恒成立.不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，解得，綜上，.17(1)證明見解析，(2)【分析】（1）設(shè)，連接，即可證明平面，平面、平面，再由錐體的體積公式計(jì)算可得；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出直線與平面所成角的正弦值最大值，再由點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算可得.【詳解】（1）設(shè)，連接，為底面圓的內(nèi)接正三角形，為中點(diǎn)，又，；，；平面平面平面平面，平面平面平面平面，又平面，又平面，又平面，所以，又平面，平面平面平面；為中點(diǎn)，即，又平面，平面，平面平面，又平面，.（2）為中點(diǎn)，又，為中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，設(shè)直線與平面所成角為，令，則，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)到平面的距離.18(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合橢圓方程可得，結(jié)合題意列式求即可；（2）分析可知切線的方程為，進(jìn)而可得坐標(biāo)，利用交軌法可得點(diǎn)的軌跡方程為，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，由得則，且，可得，由題意可得：，解得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，即，結(jié)合在圓上一點(diǎn)處的切線方程猜測(cè)橢圓上的一點(diǎn)處的切線方程為，下面證明這個(gè)猜想：聯(lián)立方程，消去y整理得，即，整理得，解得，可知直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，即切線的方程為，令得，令知：得，因?yàn)?，則直線，又因?yàn)?，則直線，由知：，點(diǎn)的軌跡方程為，即存在定點(diǎn)，使得為定值6，即的坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程分析可知切線的方程為，進(jìn)而結(jié)合題意分析求解.19(1)是，理由見解析(2)的可能值為.證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，推得，取，得到，即可求解；（2）若是“數(shù)列”，且為等差數(shù)列，得到，進(jìn)而得到存在，使得，求得，得到的值，進(jìn)而求得的可能值；設(shè)數(shù)列公差為，得到，求得，雞兒推得，得到答案.【詳解】（1）解：數(shù)列的通項(xiàng)公式為，對(duì)任意的，都有，取，則，所以 是“數(shù)列”.（2）解：數(shù)列為等差數(shù)列，若是“數(shù)列”，且，則，對(duì)任意的，由題意存在，使得，即，顯然，所以，即，.所以是8的正約數(shù)，即，時(shí)，；時(shí)；時(shí)；時(shí).綜上，的可能值為.若對(duì)任意，存在，使得成立，所以存在，設(shè)數(shù)列公差為，則，可得，對(duì)任意，則，取，可得，所以數(shù)列是“數(shù)列”.