自貢市普高2024屆第三次診斷性考試數(shù)學(xué)試題（文科）本試卷共6頁，23題（含選考題），全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上2選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效3非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效4選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的1已知集合，則（    ）ABCD2在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限3已知，則“”是“”的（    ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件4已知，則a，b，c的大小關(guān)系是（    ）ABCD5如圖是2024年青年歌手大獎(jiǎng)賽中，七位評委為甲、乙兩名選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖（其中m、n均為數(shù)字中的一個(gè)），在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，下列說法正確的是（    ）A甲選手得分的方差與n的值無關(guān)B甲選手得分的中位數(shù)一定不大于乙選手得分的中位數(shù)C甲選手得分的眾數(shù)與m的值無關(guān)D甲選手得分的平均數(shù)一定小于乙選手得分的平均數(shù)6已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（    ）ABCD27某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的所有棱中，最長棱的長度為（    ）ABCD48已知角滿足，則（    ）ABCD9設(shè)，分別為雙曲線（，）的上，下焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與的一條漸近線交于點(diǎn)，若軸，且點(diǎn)到的距離為，則 的離心率為（    ）ABCD10已知球O半徑為4，圓與圓為球體的兩個(gè)截面圓，它們的公共弦長為4，若，則兩截面圓的圓心距（    ）ABCD11函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，的圖象與y軸交于M點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)N在圖象上，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)C對稱，下列說法錯(cuò)誤的是（    ）A函數(shù)的最小正周期是B函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C函數(shù)在單調(diào)遞增D函數(shù)的圖象向右平移后，得到函數(shù)的圖象，則為奇函數(shù)12定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，若，下列命題：是周期函數(shù)；函數(shù)的圖象在處的切線方程為；函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為12；其中正確命題的個(gè)數(shù)為（    ）A4B3C2D1二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13若，滿足約束條件，則的最大值為 14函數(shù)，則 .15已知圓的圓心是拋物線的焦點(diǎn)，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則圓的半徑為 16如圖，D為的邊AC上一點(diǎn)，則的最小值為 .三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17某公司是無人機(jī)特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè)，產(chǎn)品無人機(jī)主要應(yīng)用于森林消防、物流運(yùn)輸、航空測繪、軍事偵察等領(lǐng)域，該公司生產(chǎn)的A、B兩種類型無人運(yùn)輸機(jī)性能都比較出色該公司分別收集了A、B兩種類型無人運(yùn)輸機(jī)在5個(gè)不同的地點(diǎn)測試的某項(xiàng)指標(biāo)數(shù)，（），數(shù)據(jù)如下表所示：地點(diǎn)1地點(diǎn)2地點(diǎn)3地點(diǎn)4地點(diǎn)5型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)24568型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)34445附：相關(guān)公式及數(shù)據(jù)：，(1)試求y與x間的相關(guān)系數(shù)，并利用說明與是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；（若，則線性相關(guān)程度很高）(2)從這5個(gè)地點(diǎn)中任抽2個(gè)地點(diǎn)，求抽到的這2個(gè)地點(diǎn)，型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)均高于型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)的概率18已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，成等比數(shù)列，求的最大值19如圖，在四棱錐中，已知底面是正方形，是棱上一點(diǎn)(1)若平面，證明：是的中點(diǎn)(2)若，問線段上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由20已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，函數(shù)在上的零點(diǎn)為證明：21已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、，四邊形的面積為且.(1)求橢圓E的方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓E相交于兩點(diǎn)P、Q（P在Q上方），線段上存在點(diǎn)M使得，求的最小值.（二）選考題：共10分請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，極徑與相交于M、N兩點(diǎn)(1)把和的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并求點(diǎn)M、N的直角坐標(biāo)；(2)若P為上的動點(diǎn)，求的取值范圍選修4-5：不等式選講23已知函數(shù)的最小值為(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，證明：1C【分析】運(yùn)用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出中的不等式，再運(yùn)用并集運(yùn)算即可.【詳解】中的不等式，得，即，又，.故選：C.2D【分析】依題意可得，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，所以，所以，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D3B【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式結(jié)合充分必要條件求解即可.【詳解】因?yàn)樗曰蛩曰蛘吖省啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件.故選：B.4A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以即；因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，故即；因?yàn)闉闇p函數(shù)，故即，綜上.故選：A.5A【分析】去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，根據(jù)莖葉圖可以分別求出甲選手和乙選手得分的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的值或表達(dá)式，再逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】對于A，甲選手去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，只有，所以甲選手得分的方差與n的值無關(guān)，故A正確；對于B，甲選手去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，乙選手去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，甲選手得分的中位數(shù)是，乙選手得分的中位數(shù)是，故B錯(cuò)誤；對于C，甲選手去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后， 當(dāng)，甲選手得分的眾數(shù)是，當(dāng)，甲選手得分的眾數(shù)是和，故C錯(cuò)誤； 對于D，甲選手去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，甲選手得分的平均數(shù)是，乙選手去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，乙選手得分的平均數(shù)是，因?yàn)槠渲衜為數(shù)字中的一個(gè)，所以，故D錯(cuò)誤.故選：A.6C【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，向量共線的坐標(biāo)表示列式作答.【詳解】向量，則，又，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.故選：C7C【分析】把幾何體放入棱長為2的正方體中，即可得出幾何體的所有棱中，最長棱的長度.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是四棱錐，放入棱長為2的正方體中，如圖所示，則該四棱錐的所有棱中，最長棱為，長度為.故選：C.8D【分析】結(jié)合題意運(yùn)用倍角公式和化正弦余弦為正切，即可求解.【詳解】由得，即，.故選：D.9B【分析】首先表示出雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)，依題意求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出直線的方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式及得到、的關(guān)系，即可求出離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，上焦點(diǎn)，下焦點(diǎn)，由，解得，不妨取，則直線的方程為，即，又點(diǎn)到的距離為，則，即，又，所以，即，所以離心率.故選：B10D【分析】根據(jù)球心與截面圓心連線垂直圓面，求得兩個(gè)圓面所成二面角，再根據(jù)直角三角形以及勾股定理求解即可.【詳解】設(shè)圓與圓公共弦為，其中點(diǎn)為，則，所以，所以在中，所以，在中，所以，所以在中，所以.故選：D.11C【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)M、N關(guān)于點(diǎn)C對稱得到點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而得到最小正周期；B選項(xiàng)，根據(jù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱和最小正周期得到B正確；C選項(xiàng)，求出，將代入解析式求出，從而利用整體法判斷出在不單調(diào)；D選項(xiàng)，求出，得到其奇偶性.【詳解】A選項(xiàng)，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)C對稱，故，設(shè)的最小正周期為，則，故，A正確；B選項(xiàng)，可以看出函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，又的最小正周期，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，B正確；C選項(xiàng)，又，故，故將代入解析式得，解得，又，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，滿足要求，故，又當(dāng)時(shí)，故，則，當(dāng)時(shí)，由于在上不單調(diào)，故在上不單調(diào)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，定義域?yàn)镽，又，為奇函數(shù)，D正確.故選：C12B【分析】對于，由，由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)的周期為2，從而即可判斷；對于，先求解時(shí)的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求解切線斜率，點(diǎn)斜式求解直線方程即可求解；對于，畫出和的的圖象，數(shù)形結(jié)合即得解；對于，利用函數(shù)的周期性求解即可【詳解】因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于對稱，又是R上的偶函數(shù)，則，所以，即，所以函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期為2，故正確；當(dāng)時(shí)，所以，所以，又，所以的在處的切線方程為，即，故錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對稱，畫出和的圖象如圖所示：由圖可得和的圖象有12個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于直線對稱，則所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于12×112，故正確；因?yàn)榈闹芷跒?，所以，故正確故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：(1) 直接法： 令則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)；(2) 零點(diǎn)存在性定理法：判斷函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性) 可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3) 數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間主要利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，有時(shí)可結(jié)合函數(shù)的圖象輔助解題.136【分析】首先根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，之后在圖中畫出直線，在上下移動的過程中，結(jié)合的幾何意義，可以發(fā)現(xiàn)直線過B點(diǎn)時(shí)取得最大值，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)解析式，求得最大值.【詳解】根據(jù)題中所給的約束條件，畫出其對應(yīng)的可行域，如圖所示：由，可得，畫出直線，將其上下移動，結(jié)合的幾何意義，可知當(dāng)直線在y軸截距最大時(shí)，z取得最大值，由，解得，此時(shí)，故答案為6.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在求解的過程中，首先需要正確畫出約束條件對應(yīng)的可行域，之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式，判斷z的幾何意義，之后畫出一條直線，上下平移，判斷哪個(gè)點(diǎn)是最優(yōu)解，從而聯(lián)立方程組，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入求值，要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種：斜率型、截距型、距離型；根據(jù)不同的形式，應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.142【分析】分和兩種情況列方程求解即可.【詳解】，若，則或，即或，解得.故答案為：2.15【分析】首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再求出圓心到直線的距離，設(shè)圓的半徑為，則，解得即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，所以圓心到直線的距離，又，設(shè)圓的半徑為，則，解得.故答案為：16【分析】設(shè)，則，在中，運(yùn)用余弦定理可得，再由，得，代入根據(jù)二次函數(shù)的最值可求得當(dāng)時(shí)，有最小值，據(jù)此即可求解.【詳解】設(shè)，則，在中，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)取最小值，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解三角形的余弦定理，二次函數(shù)的最值，三角形的面積公式，關(guān)鍵在于表示的長，求得何時(shí)取得最小值，屬于中檔題.17(1)，與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(2)【分析】（1）根據(jù)題干所給數(shù)據(jù)及公式求出相關(guān)系數(shù)，即可判斷；（2）利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）依題意，所以，因?yàn)?，所以與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；（2）將地點(diǎn)1，2，3，4，5分別記為，任抽2個(gè)地點(diǎn)的可能情況有：，共10種情況，其中在地點(diǎn)3，4，5，型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)均高于型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)，記型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)均高于型無人運(yùn)輸機(jī)指標(biāo)數(shù)為事件，則包含的基本事件為，共3個(gè)，所以18(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)作差得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可；（2）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，即可得到的通項(xiàng)公式，結(jié)合的單調(diào)性及求和公式計(jì)算可得.【詳解】（1）數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，有，可得：，即，變形可得，故數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列；（2）由（1）可知數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列，若，成等比數(shù)列，則有，即，解得，所以，所以單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)或時(shí)，取得最大值，且19(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）連接交于，連接，則由線面平行的性質(zhì)可得，再由為的中點(diǎn)，可證得結(jié)論；（2）由已知條件結(jié)合線面垂直的判定定理可得平面，則可求出，然后利用線面垂直的判定定理證得平面，則，設(shè)線段上存在點(diǎn)滿足條件，則設(shè)，然后由可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：連接交于，連接，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)（2）因?yàn)椋倪呅问钦叫?，所以，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以，設(shè)線段上存在點(diǎn)，使點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，所以線段上存在點(diǎn)，且時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為.20(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）法一：由已知導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)性質(zhì)可得的范圍，再令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，利用不等式放縮即可求解.法二：，設(shè)新函數(shù)，利用零點(diǎn)存在性定理得，再證明單調(diào)性即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）法一：由（1）可知若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則，即，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上存在唯一零點(diǎn)，所以，即，令，則，所以在上單調(diào)遞減，故，所以，又，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以.法二：因?yàn)?，由?）可知若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則，即，設(shè)，而在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，令，所以在上單調(diào)遞增，所以，而，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理21(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件和橢圓中的關(guān)系，求出的值，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，把直線方程代入橢圓方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，韋達(dá)定理，將用表示，消k得；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，也滿足；從而點(diǎn)M在直線上，再結(jié)合橢圓定義及點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性求得距離和的最小值即可，注意檢驗(yàn)存在性.【詳解】（1）由題意即，解得，所以，所以橢圓E的方程為；（2）因?yàn)?，所以點(diǎn)在橢圓E外，設(shè)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，由得，解得或，所以，由得，所以，則，消去k得；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，也滿足，所以點(diǎn)M在直線上且在橢圓E的內(nèi)部，設(shè)關(guān)于直線對稱點(diǎn)，則，解得，所以，此時(shí)直線方程為，由得，點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部，使得的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍22(1)(2)【分析】(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系求解即可.(2)利用角變量將表示成三角形式，利用三角函數(shù)的有界性，求解取值范圍.【詳解】（1）即又聯(lián)立解得或即或.（2）設(shè),不妨設(shè),則             所以的取值范圍為.23(1)(2)證明見解析【分析】（1）分類討論x的取值，求出對應(yīng)的函數(shù)解析式，結(jié)合圖形即可求解；（2）由（1）知，結(jié)合柯西不等式計(jì)算即可求解.【詳解】（1），作出函數(shù)的圖形，如圖，由圖可知的最小值為.（2）由（1）知，所以，根據(jù)柯西不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，.