2024年河北省石家莊市高考數(shù)學(xué)模擬試卷附解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1集合中的最大負(fù)角為（   ）ABCD2已知，則的虛部為（    ）ABCD23已知平面內(nèi)的向量在向量上的投影向量為，且，則的值為（    ）AB1CD4設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，成等差數(shù)列，則與的關(guān)系是（    ）ABCD5已知變量x和y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：x12345y66788根據(jù)上表可得回歸直線方程，據(jù)此可以預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，（）A8.5B9C9.5D106現(xiàn)將四名語(yǔ)文教師，三名心理教師，兩名數(shù)學(xué)教師分配到三所不同學(xué)校，每個(gè)學(xué)校三人，要求每個(gè)學(xué)校既有心理教師又有語(yǔ)文教師，則不同的安排種數(shù)為（    ）A216B432C864D10807已知橢圓為左右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).若點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，則的離心率是（    ）ABCD8已知函數(shù)，則下列命題不正確的是（    ）A有且只有一個(gè)極值點(diǎn)B在上單調(diào)遞增C存在實(shí)數(shù)，使得D有最小值二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9下列說(shuō)法中，正確的是（    ）A一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位數(shù)為12B兩組樣本數(shù)據(jù)，和，的方差分別為，若已知（），則C已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D已知一系列樣本點(diǎn)（）的回歸方程為，若樣本點(diǎn)與的殘差（殘差實(shí)際值模型預(yù)測(cè)值）相等，則10若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的值可以是（    ）ABCD211已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（ ）A的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱B C D 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知集合，若集合恰有兩個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .13已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為 .14如圖，在梯形中，將沿直線翻折至的位置，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，過(guò)點(diǎn)的平面截三棱錐的外接球所得的截面面積的最小值是 .四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15已知函數(shù)在處的切線為軸(1)求的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間16如圖，三棱錐中，為線段的中點(diǎn).(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求直線與平面所成角的正弦值.17有無(wú)窮多個(gè)首項(xiàng)均為1的等差數(shù)列，記第個(gè)等差數(shù)列的第項(xiàng)為，公差為.(1)若，求的值；(2)若為給定的值，且對(duì)任意有，證明：存在實(shí)數(shù)，滿足，；(3)若為等比數(shù)列，證明：.18設(shè)橢圓E：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率，直線垂直x軸交x軸于T，過(guò)T的直線l1交橢圓E于，兩點(diǎn)，連接，(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，（）求的值； （）如圖：過(guò)P作x軸的垂線l，過(guò)A作PT的平行線分別交PB，l于M，N，求的值19在函數(shù)極限的運(yùn)算過(guò)程中，洛必達(dá)法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)和滿足下列條件：且（或，）；在點(diǎn)的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；（可為實(shí)數(shù)，也可為），則(1)用洛必達(dá)法則求；(2)函數(shù)（，），判斷并說(shuō)明的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)已知，求的解析式參考公式：， 1C【分析】利用任意角的定義與集合所表示的角即可得解.【詳解】因?yàn)椋约现械淖畲筘?fù)角為.故選：C.2D【分析】利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算和四則運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)，繼而得的虛部.【詳解】由，則，的虛部為2.故選：D.3A【分析】先根據(jù)條件，確定向量的夾角，再根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)求模.【詳解】因?yàn)?，又，所?所以：，所以.故選：A4A【分析】先利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求公比，然后求出和觀察它們之間的關(guān)系即可.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，成等差?shù)列，所以，所以，解得，所以，則.故選：A.5D【分析】根據(jù)給定的數(shù)表，求出樣本的中心點(diǎn)，進(jìn)而求出即可得解.【詳解】依題意，即樣本的中心點(diǎn)為，于是，解得，即，當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè).故選：D6B【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合分組分配列式計(jì)算得解.【詳解】求不同的安排種數(shù)需要分成3步，把3名心理教師分配到三所學(xué)校，有種方法，再把4名語(yǔ)文教師按分成3組，并分配到三所學(xué)校，有種方法，最后把2名數(shù)學(xué)教師分配到只有1名語(yǔ)文教師的兩所學(xué)校，有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的安排種數(shù)為.故選：B7B【分析】根據(jù)題意，得到點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，從而，在中，利用正弦定理得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】由直線，且點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，如圖所示，可得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，且,故在中，則,故又的傾斜角為，則， 故在中，有，又由，可得，即，又因?yàn)椋?故選：B.8C【分析】由條件可得函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，然后求導(dǎo)判斷其單調(diào)性與極值，即可得到結(jié)果.【詳解】由得，令，則函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以與單調(diào)性、圖象變換等基本一致，由得，列表如下：0由表知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在時(shí)，取得極小值（最小值），所以在上單調(diào)遞增，即B正確；在時(shí)，取得唯一極值（極小值，也是最小值），即A、D都正確，C錯(cuò)誤.故選：C9BC【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)百分位數(shù)的運(yùn)算公式得到答案；B選項(xiàng)，利用平均數(shù)定義得到，根據(jù)方差的計(jì)算公式得到；C選項(xiàng)，由正態(tài)分布的對(duì)稱性得到C正確；D選項(xiàng)，由題意得到，得到D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，故從小到大從第4個(gè)和第5個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為第40百分位數(shù)，即，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，（），故，故，故，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，關(guān)于對(duì)稱，所以，C正確；D選項(xiàng)，由題意得，整理得，D錯(cuò)誤.故選：BC10AB【分析】根據(jù)題意分和兩種情況討論， 當(dāng)時(shí)，有，通過(guò)求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值得出結(jié)論驗(yàn)證；當(dāng)時(shí)，令，求導(dǎo)判斷出函數(shù)存在零點(diǎn)設(shè)為，即可判斷，最后綜合得出的取值范圍.【詳解】依題意，在上恒成立，當(dāng)時(shí)，令，則，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故，故，則不等式成立；當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)?，故在?nèi)必有零點(diǎn)，設(shè)為，則，則，故，不合題意，舍去；綜上所述，.故選：AB.【點(diǎn)睛】恒成立問(wèn)題求參數(shù)注意分類討論；適當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)通過(guò)函數(shù)的最值分析參數(shù)的取值.11BCD【分析】對(duì)A、B，利用賦值法進(jìn)行計(jì)算即可得；對(duì)C、D，利用賦值法后結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的累加及等差數(shù)列公式法求和即可得.【詳解】對(duì)A：令，則有，即，令，則有，又，故，不關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則有，兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，令，則有，故B正確；對(duì)C：令，則有，即，則，故C正確；對(duì)D：令，則有，即，則，即，又，故，則，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題C、D選項(xiàng)關(guān)鍵在于利用賦值法，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的累加及等差數(shù)列公式法求和.12【分析】解二次不等式化簡(jiǎn)集合，再利用二次不等式解的形式與交集的結(jié)果即可得解.【詳解】因?yàn)?，又集合恰有兩個(gè)元素，所以恰有兩個(gè)元素1和2，所以.故答案為：.13【分析】設(shè)過(guò)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，運(yùn)用雙曲線的定義和條件可得，再由漸近線的斜率和余弦定理，結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【詳解】解：設(shè)過(guò)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線于點(diǎn)，由雙曲線的定義可得，由，可得，由可得，在三角形中，由余弦定理可得：，即有，化簡(jiǎn)可得，則雙曲線的離心率故答案為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程和定義法，以及余弦定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題14【分析】當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，此時(shí)到底面的距離最大，即此時(shí)平面平面，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，是三棱錐的外接球球心，當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)點(diǎn)的平面與垂直時(shí)，截外接球的截面面積最小，此時(shí)，截面的圓心就是點(diǎn)，從而求解.【詳解】當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，由于底面的面積是定值，所以此時(shí)到底面的距離最大，平面平面，且平面平面，取的中點(diǎn)，則，故平面，取的中點(diǎn)，則，又，且，則，又，故是三棱錐的外接球球心，且該外接球的半徑；顯然，當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)點(diǎn)的平面與垂直時(shí)，截外接球的截面面積最小，此時(shí)，截面的圓心就是點(diǎn)，記其半徑為，則；由于，平面，所以平面，而平面，則，則，在中，故；又，故，又，故由余弦定理有，故所求面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：取的中點(diǎn)，由，確定點(diǎn)是三棱錐的外接球球心.15(1)，(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得且，即可得到方程組，解得即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明的單調(diào)性，即可求出的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，依題意且，所以，解得.（2）由（1）可得函數(shù)的定義域?yàn)?，又，令，則，所以（）在定義域上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.16(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一及全等三角形的性質(zhì)，利用線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可求解；（2）利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出直線的方向向量與平面的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量的夾角與線面角的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，為線段的中點(diǎn)，所以因?yàn)?，所以，故AB又為線段的中點(diǎn)，所以又，平面.所以平面又平面，所以平面平面（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹形痪€，所以，又，所以因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以又，平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，又，平面，所以平面以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、所在的直線為、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)，則，由，解得所以.又平面的法向量設(shè)直線與平面所成角為，則,所以直線與平面所成角為.17(1)；(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列的遞推公式，再通過(guò)構(gòu)造得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，并根據(jù)（1）的結(jié)果，證明等式；（3）根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，首先證明，再利用求和，即可證明.【詳解】（1）由題意得，又，所以；（2）證明：因?yàn)?，所以，即，所以，因此，所以，又，即，因此，所以存在實(shí)數(shù)，滿足；（3）證明：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，其中為的公比，于是，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋虼?，又，所以，因此，即，所?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用題意，并能正確表示和公差為.18(1)(2)（i）2；（ii）1【分析】（1）根據(jù)條件，列出關(guān)于的方程組，利用待定系數(shù)法，即可求解；（2）（）首先設(shè)直線的方程，并聯(lián)立橢圓方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，即可求解；（）首先設(shè)直線的傾斜角分別為,根據(jù)正弦定理利用角表示邊長(zhǎng)，再求比值，利用（）的結(jié)論，即可求解.【詳解】（1）由題意知 解得，所以橢圓E的方程為；（2）（）易知，設(shè)直線的方程為，由直線過(guò)知，聯(lián)立方程得，變形得：，即；（）設(shè)直線的傾斜角分別為,則，,，在中，在中，所以由知，即，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第一問(wèn)的轉(zhuǎn)化比較巧妙，轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的方程，利用韋達(dá)定理即可求解，第二問(wèn)巧妙設(shè)傾斜角，利用三角函數(shù)表示的值.19(1)(2)僅在時(shí)存在1個(gè)零點(diǎn)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用洛必達(dá)法則求解即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合的單調(diào)性求解即可；（3）利用累乘法求出的表達(dá)式，然后結(jié)合，利用洛必達(dá)法則求極限即可.【詳解】（1）（2），所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，所以僅在時(shí)存在1個(gè)零點(diǎn)（3），所以，將各式相乘得，兩側(cè)同時(shí)運(yùn)算極限，所以，即，令，原式可化為，又，由（1）得，故，由題意函數(shù)的定義域?yàn)?，綜上，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查新定義，注意理解新定義，結(jié)合洛必達(dá)法則的適用條件，構(gòu)造函數(shù)，從而利用洛必達(dá)法則求極限.