2024青島三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題: 本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題 目要求的.1已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（    ）AiBC1D2已知命題 ，則（     ）ABCD3為了得到 的圖象，只要把 的圖象上所有的點(diǎn)（     ）A向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長度B向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長度C向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長度D向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長度4某校高一有學(xué)生 980 人，在一次模擬考試中這些學(xué)生的數(shù)學(xué)成績 服從正態(tài)分布 ，已知 ，則該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績?cè)?110 分以上的人數(shù)大約為（     ）A784B490C392D2945定義 表示不超過 的最大整數(shù).例如: ，則（     ）ABC 是偶函數(shù)D 是增函數(shù)6在母線長為4，底面直徑為6的一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)體積最大的圓錐后，得到一個(gè)幾何體，則該幾何體的表面積為（     ）ABCD7已知函數(shù)，則滿足不等式的取值范圍為（     ）ABCD8已知 為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分 別為，焦距為，以 為直徑的圓與橢圓 在第一和第三象限分別交于 兩點(diǎn).且，則橢圓的離心率為（     ）ABCD二、選擇題: 本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要 求.全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分 9某新能源車廠家 2015 - 2023 年新能源電車的產(chǎn)量和銷量數(shù)據(jù)如下表所示年份201520162017201820192020202120222023產(chǎn)量（萬臺(tái))3.37.213.114.818.723.736.644.343.0銷量 （萬臺(tái))2.35.713.614.915.015.627.129.731.6記“產(chǎn)銷率” 年新能源電車產(chǎn)量的中位數(shù)為，則（     ）AB2015 - 2023 年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率與年份正相關(guān)C從 2015 -2023 年中隨機(jī)取 1 年，新能源電車產(chǎn)銷率大于 的概率為D從 2015 -2023 年中隨機(jī)取2年，在這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都大于 的條件下，這2年中新能源電車的產(chǎn)銷率都大于 的概率為10已知?jiǎng)狱c(diǎn) 分別在圓 和 上，動(dòng)點(diǎn) 在 軸上，則（     ）A圓的半徑為3B圓和圓相離C的最小值為D過點(diǎn)做圓的切線，則切線長最短為11若有窮整數(shù)數(shù)列滿足：，且，則稱具有性質(zhì).則（     ）A存在具有性質(zhì)的B存在具有性質(zhì)的C若具有性質(zhì)，則中至少有兩項(xiàng)相同D存在正整數(shù)，使得對(duì)任意具有性質(zhì)的，有中任意兩項(xiàng)均不相同三、填空題: 本題共 3 個(gè)小題，每小題 5 分，共 15 分.12已知等差數(shù)列的公差，首項(xiàng) ，是與的等比中項(xiàng)，記 為數(shù)列的前項(xiàng)和，則 13如圖，函數(shù) 的部分圖象如圖所示，已知點(diǎn)為的零點(diǎn)，點(diǎn)為的極值點(diǎn)，則函數(shù)的解析式為 .14已知長方體中，點(diǎn)為矩形 內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，記二面角的平面角為，直線與平面所成的角為，若 ，則三棱錐體積的最小值為 .四、解答題: 本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15設(shè)三角形的內(nèi)角、的對(duì)邊分別為、且(1)求角的大??；(2)若，邊上的高為，求三角形的周長16為了研究高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高是否太于 的關(guān)聯(lián)性，隨機(jī)調(diào)查了某中學(xué)部分 高三年級(jí)的學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表 （單位:人):性別身高合計(jì)低于 不低于 女14519男81018合計(jì)221537(1)依據(jù) 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián)?(2)從身高不低于 的15 名學(xué)生中隨機(jī)抽取三名學(xué)生，設(shè)抽取的三名學(xué)生中女生人數(shù) 為，求 的分布列及期望 .(3)若低于 的8 名男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，不低于 的10 名男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為 .請(qǐng)估計(jì)該中學(xué)男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù) 和方差.附: .0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817如圖所示，多面體，底面是正方形，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，側(cè)面與是全等的等腰梯形，其余棱長均為2.(1)證明:平面；(2)若點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角的正弦值為，求.18在平面內(nèi)，若直線將多邊形分為兩部分，多邊形在兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的離心率為2，點(diǎn)為右支上一動(dòng)點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，且與的漸近線交于兩點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，直線為的等線.(1)求的方程;(2)若是四邊形的等線，求四邊形的面積;(3)設(shè)，點(diǎn)的軌跡為曲線，證明:在點(diǎn)處的切線為的等線19已知 為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線 在點(diǎn) 處的切線與曲線 在點(diǎn) 處的切線平行，且兩切線間的距離為，其中 .(1)求實(shí)數(shù) 的值;(2)若點(diǎn) 分別在曲線 上，求 與 之和的最大值;(3)若點(diǎn) 在曲線 上，點(diǎn) 在曲線 上，四邊形 為正方形，其面積為，證明: 附:ln2 0.693.1D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)虛部的定義即可得解.【詳解】由，得，所以，所以，其虛部為.故選：D.2D【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷即可.【詳解】命題 為全稱量詞命題，則為：.故選：D3A【分析】利用誘導(dǎo)公式統(tǒng)一函數(shù)名，再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論【詳解】，由誘導(dǎo)公式可知：又則，即只需把圖象向右平移個(gè)單位.故選：A4C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出，即可估計(jì)人數(shù).【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，又因?yàn)楦咭挥袑W(xué)生980人，所以該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績?cè)?10分以上的人數(shù)大約為故選：C5B【分析】A選項(xiàng)，取特殊值，判斷出A選項(xiàng)的真假；B選項(xiàng)，設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，可得與的關(guān)系，可得，判斷出B選項(xiàng)的真假；C選項(xiàng)，取特殊值，利用偶函數(shù)定義驗(yàn)證，判斷出C的真假；D中，取特殊值，判斷出函數(shù)不是增函數(shù)，判斷出D的真假.【詳解】A選項(xiàng)，取，則，顯然，所以A不正確；B選項(xiàng)，設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以，故B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以不是偶函?shù)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，所以，所以不是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.6C【分析】該幾何體的表面包括原圓柱側(cè)面，原圓柱一個(gè)底面及圓錐側(cè)面，分別計(jì)算出各面面積即可得.【詳解】體積最大的圓錐的母線為，則.故選：C.7B【分析】首先推導(dǎo)出關(guān)于直線成軸對(duì)稱，令，對(duì)，求導(dǎo)，可得的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性與對(duì)稱性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以，所以關(guān)于直線成軸對(duì)稱，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)或時(shí)，所以，且，所以要使得成立，則，解得，故不等式的取值范圍為故選：B8D【分析】求得為直徑的圓的方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組可得，根據(jù)已知可是，求解即可得橢圓的離心率.【詳解】以 為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，解得，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以，解得或（舍去）.所以.故橢圓的離心率為.故選：D.9ACD【分析】由中位數(shù)定義可判斷A；求得每年的產(chǎn)銷率，可判斷B；由B可得產(chǎn)銷率大于的有2個(gè)年份，可得概率判斷C；利用條件概率公式求解可判斷D.【詳解】對(duì)于A：由中位數(shù)的定義可知，故A正確；對(duì)于B：2015 - 2023 年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率依次為：所以2015 - 2023 年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率隨年份的增加，有時(shí)增加，有時(shí)減少，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由B可知，從2015 - 2023 年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率大于的有2個(gè)年份，所以從2015 2023年中隨機(jī)取1年，新能源電車產(chǎn)銷率大于的概率為，對(duì)于D：設(shè)事件A表示“從2015 - 2023 年中隨機(jī)取2年，這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都大于 m”， 事件B表示“從2015 - 2023 年中隨機(jī)取2年，這2年中新能源電車的產(chǎn)銷率大于”，所以所以故D正確.故選：ACD.10BD【分析】求出兩個(gè)圓的圓心、半徑判斷AB；求出圓關(guān)于對(duì)稱的圓方程，利用圓的性質(zhì)求出最小值判斷C；利用切線長定理求出最小值判斷D.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，對(duì)于A，圓的半徑為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，圓和圓相離，B正確；對(duì)于C，圓關(guān)于軸對(duì)稱的圓為，連接交于點(diǎn)，連接，由圓的性質(zhì)得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合，且是線段分別與圓和圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)的圓的切線長，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：BD  11ACD【分析】對(duì)A、D：舉出符合題意的例子即可得；對(duì)B：根據(jù)所給定義，借助反證法設(shè)，中有個(gè)，個(gè)，從而有，推出矛盾；對(duì)C：，中的最大值為，則存在，使得或，若存在，使，先證：，可以取遍到之間所有的整數(shù)，再對(duì)分類討論，即可得證；【詳解】對(duì)A：取數(shù)列，易得其滿足題意，此時(shí)該數(shù)列具有性質(zhì)，故A正確；對(duì)B：假設(shè)存在數(shù)列具有性質(zhì)，則，且，設(shè)中有個(gè)，則有個(gè)，則有，即，其與為整數(shù)矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：設(shè)，中的最大值為，則存在，使得或，若存在，使，下證：，可以取遍到之間所有的整數(shù)，假設(shè)存在正整數(shù)使得，中各項(xiàng)均不為，令集合，設(shè)是集合中元素的最大值，則有，這與矛盾，所以，可以取遍到之間所有的整數(shù)，若，則，的取值只能為，中的數(shù)，此時(shí)，中必有兩項(xiàng)相同，若，則，的取值只能為，中的數(shù)，此時(shí)，中必有兩項(xiàng)相同，若，則，中一定有異于和的正整數(shù)，再由，可以取遍到之間所有的整數(shù)，所以，中必有兩項(xiàng)相同，當(dāng)，同理可證：，可以取遍到之間所有的整數(shù)，從而，中必有兩項(xiàng)相同，故C正確；對(duì)D：取數(shù)列，此時(shí)該數(shù)列具有性質(zhì)，且中任意兩項(xiàng)均不相同，即存在，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是對(duì)“性質(zhì)”的定義的理解，靈活利用反證法是解答的關(guān)鍵.12105【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程，即可求出公差，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】等差數(shù)列中， ，是與的等比中項(xiàng)，設(shè)公差為，所以，即，解得或（不合題意，舍去）；所以故答案為：13【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的周期及向量數(shù)量積公式計(jì)算可得，再由函數(shù)零點(diǎn)可得，即可得解析式.【詳解】由圖可得，又，則，則，則，化簡得，又，則，則有，解得，又，則，即.故答案為：.14【分析】根據(jù)題意，判斷得的軌跡為拋物線一部分，建立平面直角坐標(biāo)系，寫出直線和拋物線段的方程，由題意，計(jì)算點(diǎn)到線段的最短距離，再由等體積法計(jì)算三棱錐最小體積.【詳解】如圖，作平面，垂足為，再作，垂足為，連接，則，由，則，又、平面，故，則，由拋物線定義可知，的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線一部分，所以的軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線一部分，當(dāng)點(diǎn)到線段距離最短時(shí)，三角形面積最小，即三棱錐體積最小，取中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，則直線的方程為：，即，拋物線的方程為，則，由題意，令，得，代入，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以到直線的最短距離為：，因?yàn)椋?，所以三棱錐體積的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵是能判斷出點(diǎn)的軌跡為拋物線一部分，再建立平面直角坐標(biāo)系，求解到直線的最短距離，利用等體積法求解三棱錐的最小體積.15(1)(2)【分析】（1）利用內(nèi)角和為化簡，利用二倍角公式化簡，再利用輔助角公式化簡即可求得；（2）由面積公式和余弦定理，聯(lián)立方程組求解三角形即可.【詳解】（1）因?yàn)?，為的?nèi)角，所以，因?yàn)椋钥苫癁椋?，即，即，因?yàn)椋獾茫?，即?）由三角形面積公式得，代入得：，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，即，所以的周長為.16(1)可以認(rèn)為性別與身高有關(guān)聯(lián)(2)分布列見解析，1(3)平均數(shù)約為174，方差約為59【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得，結(jié)合附表，即可求解；根據(jù)小概率值 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別與身高有關(guān)聯(lián) （2）根據(jù)題意，得到變量的可能取值為，求得相應(yīng)的概率，得出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；（3）根據(jù)題意，求得18名男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，結(jié)合分層抽樣的方差的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】（1）解：零假設(shè)：性別與身高無關(guān)聯(lián)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得，由此可知根據(jù)小概率值 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，零假設(shè)不成立，可以認(rèn)為性別與身高有關(guān)聯(lián)（2）解：由題意，可得隨機(jī)變量的可能取值為，可得所以隨機(jī)變量的分布列為:0123所以，期望為，（3）解：由題意知，18名男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)，18 名男生身高數(shù)據(jù)的方差 ，所以，該中學(xué)男生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)約為174，方差約為59.17(1)證明見解析(2)1【分析】（1）取中點(diǎn)，通過證明平面，平面平面，得證平面.（2) 以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由直線與平面所成角的正弦值為，利用向量法求出的值即可.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)閭?cè)面是等腰梯形，所以，又，所以，和都是邊長為2的等邊三角形，得，所以四邊形為等腰梯形，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槭堑冗吶切危?，又，平面，所以平面，平面，所以平面平面，平面平面，平面，故平?（2）在梯形中，等腰梯形中由勾股定理得，取中點(diǎn)，由（1）知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，得設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，所以.解得（負(fù)值舍去)，所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以的長為1.18(1)(2)12(3)證明見解析【分析】（1）利用已知等量關(guān)系建立方程，求解各個(gè)元素，得到雙曲線方程即可.（2）利用給定定義，求解關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，最后得到四邊形面積即可.（3）利用給定條件和新定義證明即可.【詳解】（1）由題意知，顯然點(diǎn)在直線的上方，因?yàn)橹本€為的等線，所以，解得，所以的方程為（2）設(shè)，切線，代入得:故，該式可以看作關(guān)于的一元二次方程，所以，即方程為當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，也成立 漸近線方程為，不妨設(shè)在上方，聯(lián)立得，故，所以是線段的中點(diǎn)，因?yàn)榈竭^的直線距離相等，則過點(diǎn)的等線必定滿足:到該等線距離相等，且分居兩側(cè)，所以該等線必過點(diǎn)，即的方程為，由，解得，故 .所以，所以，所以，所以（3）設(shè)，由，所以，故曲線的方程為 由（*）知切線為，也為，即，即 易知與在的右側(cè)，在的左側(cè)，分別記到的距離為，由（2）知，所以由得 因?yàn)?，所以直線為的等線 .【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是利用給定定義和條件，然后結(jié)合前問結(jié)論，得到，證明即可19(1) ， (2)(3)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）（法一）由（1）知：，記直線的傾斜角分別為，斜率分別為，則，則,利用導(dǎo)數(shù)可求得的最大值，同理求得的最值；（法二）由（1）知：，點(diǎn)在圓，再證直線與圓和曲線均相切，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求解；（3）由對(duì)稱性可知和分別關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，其中，所以，令，求導(dǎo)得到的單調(diào)性，進(jìn)而證得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，解得，所以在處的切線方程為:，所以在處的切線方程為:，所以，解得.（2）（法一）由（1）知：，記直線的傾斜角分別為，斜率分別為，所以，設(shè)且，所以,令，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以在均單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，所以.當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，最大為.同理，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且也關(guān)于直線對(duì)稱，所以最大為，所以與之和的最大值為.（法二）由（1）知:，點(diǎn)在圓上.下面證明：直線與圓和曲線均相切，因?yàn)閳A的圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切，即，除點(diǎn)外，圓上的點(diǎn)均在直線下方,又因?yàn)?，則，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，除點(diǎn)外，曲線上的點(diǎn)均在直線上方.所以，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，最大為，同理，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且也關(guān)于直線對(duì)稱，所以最大為，綜上知:與之和的最大值為.（3）因?yàn)榍€與與曲線與有唯一交點(diǎn)，且關(guān)于對(duì)稱，并分居兩側(cè)，所以曲線的上的點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的最小距離，且此時(shí)這兩點(diǎn)只能為，假設(shè)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，因?yàn)?，所以與重合，與重合，所以是函數(shù)與函數(shù)的圖象的唯一對(duì)稱軸，所以和分別關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，其中，所以，即，又因?yàn)椋?，所以為方程的根，即的零點(diǎn)為，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增，故，所以，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是得到的表達(dá)式，從而有，則為方程的根，再利用導(dǎo)數(shù)和零點(diǎn)存在性定理即可證明不等式.