2024年潮南區(qū)高三級考前測試試題數(shù)學(xué)本試題滿分150分，考試時間為120分鐘.注意事項：1.答題前，務(wù)必用黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學(xué)校、姓名和考生號.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.不按要求填涂的，答案無效.3.非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，請注意每題答題空間，預(yù)先合理安排；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（    ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2已知集合，若，則滿足集合A的個數(shù)為（    ）A1B2C3D43已知四邊形是平行四邊形，則（    ）ABCD4已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（    ）A8B9C10D115在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點在原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點，則ABCD6已知橢圓：的兩個焦點分別為，是上任意一點，則下列不正確的是（    ）A的離心率為B的最小值為2C的最大值為16D可能存在點，使得7在母線長為4的圓錐中，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的外接球的表面積為（    ）ABCD8已知 A，B，C是直線與函數(shù)（，）的圖象的三個交點，如圖所示其中，點，B，C兩點的橫坐標(biāo)分別為，若，則（    ）ABC的圖象關(guān)于中心對稱D在上單調(diào)遞減二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖，下列說法判斷正確的是（    ）A樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差B樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)C樣本乙的方差一定小于樣本甲的方差D樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)10已知拋物線：的焦點為，為坐標(biāo)原點，動點在上，若定點滿足，則（    ）A的準(zhǔn)線方程為B周長的最小值為5C四邊形可能是平行四邊形D的最小值為11已知定義城為R的函數(shù)滿足，且，則（    ）AB是偶函數(shù)CD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知二項式的展開式中第2項的二項式系數(shù)為6，則展開式中常數(shù)項為 .13已知圓經(jīng)過，三點，（i）則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；（ii）若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則的取值范圍是 .14的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的最大值為 四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，是中點，是中點.(1)證明：直線平面；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值.16已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線與軸垂直，求的極值.(2)若在只有一個零點，求.17假設(shè)甲同學(xué)每次投籃命中的概率均為.(1)若甲同學(xué)投籃4次，求恰好投中2次的概率.(2)甲同學(xué)現(xiàn)有4次投籃機會，若連續(xù)投中2次，即停止投籃，否則投籃4次，求投籃次數(shù)的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.(3)提高投籃命中率，甲學(xué)決定參加投籃訓(xùn)練，訓(xùn)練計劃如下：先投個球，若這個球都投進(jìn)，則訓(xùn)練結(jié)束，否則額外再投個.試問為何值時，該同學(xué)投籃次數(shù)的期望值最大？18已知雙曲線：的漸近線方程為，過點的直線交雙曲線于，兩點，且當(dāng)軸時，.(1)求的方程；(2)記雙曲線的左右頂點分別為，直線，的斜率分別為，求的值.(3)探究圓：上是否存在點，使得過作雙曲線的兩條切線，互相垂直.19在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，將函數(shù)及在第一象限內(nèi)的圖象分別記作，點在上.過作平行于軸的直線，與交于點，再過點作平行于軸的直線，與交于點.(1)若，請直接寫出的值；(2)若，求證：是等比數(shù)列；(3)若，求證：.1C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算和共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得到答案.【詳解】，即復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限.故選：C.2D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)求集合M，再分析集合A的元素構(gòu)成，轉(zhuǎn)化為子集個數(shù)即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：，且，可知集合A必有1，2兩個元素，可能有兩個元素，所以滿足集合A的個數(shù)即為集合的子集個數(shù)，共有個.故選：D.3A【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的加法，結(jié)合共線向量求解即得.【詳解】在中，由，得.故選：A4B【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的首項及公差，再結(jié)合前項和及通項公式求解即得.【詳解】由，得，解得，則等差數(shù)列的公差，于是，由，得，所以.故選：B5D【分析】由任意角的三角函數(shù)的定義求得，然后展開二倍角公式求【詳解】解：角的頂點在原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點，則.故選D【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查任意角的三角函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題6D【分析】求出橢圓的長短半軸長及半焦距，再結(jié)合橢圓的性質(zhì)逐項分析計算即可.【詳解】橢圓：的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A，的離心率，A正確；對于B，由，得，因此，B正確；對于C，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；對于D，當(dāng)不在x軸上時，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，當(dāng)在x軸上時，上述不等式成立，因此最大為，D錯誤.故選：D7C【分析】根據(jù)給定條件，求出圓錐底面圓半徑，根據(jù)外接球的球心總在圓錐的高所在的直線上，借助勾股定理建立等量關(guān)系即可求出外接球的半徑.【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為，依題意，解得，圓錐的高，顯然圓錐的外接球的球心在線段上，設(shè)球的半徑為連接，則由，得，解得，即，所以該圓錐的外接球的表面積故選：C8B【分析】根據(jù)給定條件，可得，進(jìn)而求得，結(jié)合，得到，再逐項分析判斷即可.【詳解】由，得，而，且點A在圖象的下降部分，則，于是，顯然是直線與的圖象的三個連續(xù)的交點，由點橫坐標(biāo)，即，解得，解得，則，而，因此，所以，對于A，A錯誤；對于B，B正確；對于C，的圖象關(guān)于不對稱，C錯誤；對于D，當(dāng)時，當(dāng)，即時，函數(shù)取得最小值，又，因此在上不單調(diào)，D錯誤.故選：B【點睛】思路點睛：給定的部分圖象求解解析式，一般是由函數(shù)圖象的最高（低）點定A，求出周期定，由圖象上特殊點求.9BCD【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)分布的最小值和最大值判斷A；根據(jù)眾數(shù)、方差、中位數(shù)的概念，并結(jié)合圖象判斷BCD.【詳解】對于A，甲的數(shù)據(jù)介于1.5,7.5之間，極差小于或等于6；乙的數(shù)據(jù)分布于2.5,8.5，極差小于或等于6；從而甲和乙的極差可能相等，A錯誤；對于B，根據(jù)頻率分布直方圖可知，甲的眾數(shù)介于2.5,5.5)之間，乙的眾數(shù)介于(5.5,6.5，乙的眾數(shù)大于甲的眾數(shù)，B正確；對于C，甲的數(shù)據(jù)比較分散，乙的數(shù)據(jù)比較集中，因此乙的方差小于甲的方差，C正確；對于D，甲的各組頻率依次為：，其中位數(shù)位于3.5,4.5)之間，乙的各組頻率依次為：，其中位數(shù)位于5.5,6.5)之間，所以甲的中位數(shù)小于乙的中位數(shù)，D正確.故選：BCD10BD【分析】首先表示出拋物線的焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，由距離公式得到方程，即可求出，求出拋物線方程，即可判斷A；根據(jù)拋物線的定義判斷B，求出點坐標(biāo)，即可判斷C；設(shè)，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運算分析求解.【詳解】對于選項A：因為拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，又點滿足，則，整理得，解得或（舍去），即拋物線，所以準(zhǔn)線方程為，焦點為，故A錯誤；對于選項B：過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義可知，則周長，當(dāng)且僅當(dāng)、三點共線時取等號，所以周長的最小值為，故B正確；對于選項C：過點作的平行線，交拋物線于點，即，解得，即，則，所以四邊形不是平行四邊形，故C錯誤；對于選項D：設(shè)，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為，故D正確；故選：BD11ABC【分析】通過對抽象等式中的自變量進(jìn)行賦值求值，依次判斷函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性，再利用周期性求出若干值，對選項依次判斷求解.【詳解】對于A項，由，令，則，故A項正確；對于B項，令，則，因，故，令，則，所以函數(shù)關(guān)于點成中心對稱，令，則，令，則，由可得：，由可知：，且函數(shù)的定義域為，則函數(shù)是偶函數(shù)，故B項正確；對于C項，令，則，因為，代入上式中得，故得：，故C項正確；對于D項，由上可知：，則，故函數(shù)的一個周期為4，故，令，則，所以，則，故D項錯誤故選：ABC【點睛】結(jié)論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：（1）關(guān)于對稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對稱，則，若函數(shù)關(guān)于點中心對稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.1260【分析】首先根據(jù)展開式中第2項的二項式系數(shù)為6求出，再根據(jù)二項式的展開式通項公式求出常數(shù)項.【詳解】由題意得：，所以，二項式的展開式的通項公式為：，令得：，所以故答案為：60.13 【分析】空1：設(shè)圓的一般方程，再代入三個點得到方程組，解出即可；空2：首先求出直線的方程，再求出其對稱方程，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到不等式，解出即可.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為，其中，則，解得，圓的方程為，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；由題意知，直線的斜率為，直線方程為，與的交點為，所以直線關(guān)于對稱的直線的斜率為，故對稱直線的方程為，即，由知，圓心為，半徑為2，因為對稱直線與圓有公共點，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：；.14【分析】利用正余弦定理，結(jié)合三角恒等變換得到，再利用基本不等式即可得解.【詳解】由余弦定理得，兩式相減得，因為，所以，由正弦定理得，即，所以，則，因為在中，不同時為，故，所以，又，所以，則，故，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，又，所以，即的最大值為.故答案為：.【點睛】易錯點睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正各項均為正；二定積或和為定值；三相等等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤15(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取的中點，借助三角形中位線及平行四邊形性質(zhì)，利用線面平行的判斷推理即得.（2）以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）在四棱錐中，取的中點，連接，由為的中點，得，在正方形中，是中點，得，則且，即四邊形為平行四邊形，因此，又平面平面，所以直線平面.（2）由底面，且四邊形為正方形，得直線兩兩垂直，以A為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)，則，由，得，而，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)平面與平面的夾角的為， ，所以平面與平面的夾角的余弦值為.16(1)極小值，無極大值；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合幾何意義求出，再分析單調(diào)性求出極值.（2）由函數(shù)零點的意義，等價變形得在只有一解，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象只有一個交點求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)得，依題意，則，當(dāng)時，當(dāng)時，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值.（2）函數(shù)在只有一個零點，等價于在只有一個零點，設(shè)，則函數(shù)在只有一個零點，當(dāng)且僅當(dāng)在只有一解，即在只有一解，于是曲線與直線只有一個公共點，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，當(dāng)時，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在取得極小值同時也是最小值，當(dāng)時，；當(dāng)時，畫山大致的圖象，如圖，在只有一個零點時，所以在只有一個零點吋，.17(1)(2)分布列見解析，期望為(3)當(dāng)時，甲同學(xué)投籃次數(shù)的期望最大.【分析】（1）根據(jù)伯努利實驗?zāi)Ｐ图纯傻玫酱鸢福唬?）根據(jù)步驟列出分布列，再根據(jù)期望公式即可得到答案；（3）設(shè)中同學(xué)投籃似次數(shù)為，再得到的可能取值，寫出其分布列，計算出其期望，利用作差法研究其單調(diào)性即可得到最大值.【詳解】（1）依題意，甲同學(xué)投籃4次，恰好投中2次的概率.（2）投籃次數(shù)的可能取值為2，3，4，所以的分布列為：234所以.（3）設(shè)甲同學(xué)投籃似次數(shù)為，則的可能值為，于是，數(shù)學(xué)期望，令，則，因為顯然為單調(diào)遞減函數(shù)，則數(shù)列是遞減的，當(dāng)時，當(dāng)時，即有，因此最大，所以當(dāng)時，甲同學(xué)投籃次數(shù)的期望最大.18(1)；(2)；(3)存在.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可得的方程.（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率坐標(biāo)公式求解即得.（3）設(shè)出雙曲線的兩條切線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合判別式求出兩條切線交點的軌跡方程，再判斷與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】（1）由對稱性知，雙曲線過點，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由（1）得，設(shè)，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，由消去x得，顯然，則，即，所以.（3）圓上存在點，使得過作雙曲線的兩條切線互相垂直.若雙曲線的兩條切線有交點，則兩條切線的斜率存在且不為0，設(shè)雙曲線的兩條切線分別為，將代入消去得：，由得，解得，因此，設(shè)兩條切線的交點坐標(biāo)為，則，即有，且，即，于是是方程的兩根，而，則，即，從而兩條切線們交點的軌跡為圓，而的圓心為，半徑為1，圓的圓心，半徑為3，顯然，滿足，即圓與圓相交，所以圓上存在點，使得過作雙曲線的兩條切線互相垂直.【點睛】方法點睛：引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚侔岩C明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)19(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）按照給定條件依次計算即可.（2）由給定條件，可得及，再變形遞推公式，結(jié)合等比數(shù)列定義判斷即得.（3）由（2）的結(jié)論求得，再分奇偶探討并結(jié)合不等式性質(zhì)放縮得，然后利用不等式性質(zhì)及等比數(shù)列前n項和公式求解即得.【詳解】（1）當(dāng)時，即，在中，當(dāng)時，即，所以.（2）依題意，由可得，由在上，得，又，則，整理得，于是，且，兩式相除得，又由，得，所以是以為公比的等比數(shù)列.（3）若，由（2）得，顯然，則，又，則，又，于是，則，從而，因此，從而，所以.【點睛】思路點睛：第二問根據(jù)問題式借助點的橫縱坐標(biāo)關(guān)系及函數(shù)關(guān)系構(gòu)造相關(guān)數(shù)列即可證明；第三問根據(jù)上問結(jié)論先得出通項公式，再判定的奇偶數(shù)項的大小與范圍，借助遞推關(guān)系得出，之后作差仍要借助遞推關(guān)系式推出，依次放縮累加即可證明結(jié)論.