19.1 矩形2.矩形的判定第19章 矩形、菱形與正方形 復(fù)習(xí)引入導(dǎo)入新課問 題 1 矩 形 的 定 義 是 什 么 ？有 一 個 角 是 直 角 的 平 行 四 邊 形 叫 做 矩 形 .問 題 2 矩 形 有 哪 些 性 質(zhì) ？矩 形 邊 ：角 ：對 角 線 ：對 邊 平 行 且 相 等四 個 角 都 是 直 角對 角 線 互 相 平 分 且 相 等 思 考 工 人 師 傅 在 做 門 窗 或 矩 形 零 件 時 ， 如 何 確 保 圖 形 是 矩 形 呢 ？現(xiàn) 在 師 傅 帶 了 兩 種 工 具 （ 卷 尺 和 量 角 器 ） ， 他 說 用 這 兩 種 工 具 的 任意 一 種 就 可 以 解 決 問 題 ， 這 是 為 什 么 呢 ？這 節(jié) 課 我 們 一 起 探 討 矩 形 的 判 定 吧 . 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng) 歷 矩 形 判 定 定 理 的 猜 想 與 證 明 過 程 ， 理 解 并 掌 握 矩 形 的 判 定 定 理 （ 重 點 ）2.能 應(yīng) 用 矩 形 的 判 定 解 答 簡 單 的 證 明 題 和 計 算 題 .(難 點 ) 講授新課矩形的判定定理1：一類 比 平 行 四 邊 形 的 定 義 也 是 判 定 平 行 四 邊 形 的 一 種 方 法 ， 那 么 矩 形 的 定義 也 是 判 定 矩 形 的 一 種 方 法 .問 題 1 除 了 定 義 以 外 ， 判 定 矩 形 的 方 法 還 有 沒 有 呢 ？矩 形 是 特 殊 的平 行 四 邊 形 .類 似 地 ， 那 我 們 研 究矩 形 的 性 質(zhì) 的 逆 命 題 是 否 成 立 . 問 題 2 上 節(jié) 課 我 們 研 究 了 矩 形 的 四 個 角 ， 知 道 它 們 都 是 直 角 ， 它 的 逆 命題 是 什 么 ？ 成 立 嗎 ？逆 命 題 ： 四 個 角 是 直 角 的 四 邊 形 是 矩 形 .成 立問 題 3 至 少 有 幾 個 角 是 直 角 的 四 邊 形 是 矩 形 ？A BD C(有 一 個 角 是 直 角 ) A BD C(有 二 個 角 是 直 角 ) A BD C(有 三 個 角 是 直 角 )猜 測 ： 有 三 個 角 是 直 角 的 四 邊 形 是 矩 形 . 已 知 ： 如 圖 ,在 四 邊 形 ABCD中 , A= B= C=90 .求 證 ： 四 邊 形 ABCD是 矩 形 .證 明 : A= B= C=90 , A+ B=180 , B+ C=180 ， AD BC,AB CD. 四 邊 形 ABCD是 平 行 四 邊 形 ， 四 邊 形 ABCD是 矩 形 . AB CD證一證 矩 形 的 判 定 定 理 1：有 三 個 角 是 直 角 的 四 邊 形 是 矩 形 .歸納總結(jié)幾 何 語 言 描 述 ：在 四 邊 形 ABCD中 ， A= B= C=90 , 四 邊 形 ABCD是 矩 形 .AB CD 思 考 一 個 木 匠 要 制 作 矩 形 的 踏 板 他 在 一 個 對 邊 平 行 的 長 木 板 上 分 別沿 與 長 邊 垂 直 的 方 向 鋸 了 兩 次 ， 就 能 得 到 矩 形 踏 板 為 什 么 ？有 三 個 角 是 直 角 的 四 邊 形 是 矩 形 . 例 1 如 圖 ， ABCD的 四 個 內(nèi) 角 的 平 分 線 分 別 相 交 于 E、 F、 G、 H，求 證 ： 四 邊 形 EFGH為 矩 形 證 明 ： 在 ABCD中 ， AD BC, DAB+ ABC=180 . AE與 BG分 別 為 DAB、 ABC的 平 分 線 , AB DCHEF G 四 邊 形 EFGH是 矩 形 同 理 可 證 AED= EHG=90 , AFB=90 ， GFE=90 . BAE+ ABF= DAB+ ABC=90 .12 12 上 節(jié) 課 我 們 已 經(jīng) 知 道 “矩 形 的 對 角 線 相 等 ”， 反 過 來 ， 小 明 猜 想 “對 角線 相 等 的 四 邊 形 是 矩 形 ”， 你 覺 得 對 嗎 ？ 我 猜 想 ： 對 角 線相 等 的 平 行 四 邊形 是 矩 形 .不 對 ， 等 腰 梯 形的 對 角 線 也 相 等 .不 對 ， 矩 形 是特 殊 的 平 行 四邊 形 ， 所 以 它的 對 角 線 不 僅相 等 且 平 分 .思 考 你 能 證 明 這 一 猜 想 嗎 ？矩形的判定定理2二 已 知 ： 如 圖 ,在 ABCD中 ,AC , DB是 它 的 兩 條 對 角 線 , AC=DB.求 證 ： ABCD是 矩 形 .證 明 ： AB = DC,BC = CB,AC = DB, ABC DCB , ABC = DCB. AB CD, ABC + DCB = 180 , ABC = 90 , ABCD是 矩 形 （ 矩 形 的 定 義 ） . A BCD證一證 矩 形 的 判 定 定 理 2：對 角 線 相 等 的 平 行 四 邊 形 是 矩 形 .歸納總結(jié)幾 何 語 言 描 述 ：在 平 行 四 邊 形 ABCD中 ， AC=BD， 平 行 四 邊 形 ABCD是 矩 形 .A BCD 思 考 數(shù) 學(xué) 來 源 于 生 活 ， 事 實 上 工 人 師 傅 為 了 檢 驗 兩 組 對 邊 相 等 的 四 邊形 窗 框 是 否 成 矩 形 ， 一 種 方 法 是 量 一 量 這 個 四 邊 形 的 兩 條 對 角 線 長 度 ，如 果 對 角 線 長 相 等 ， 則 窗 框 一 定 是 矩 形 ， 你 現(xiàn) 在 知 道 為 什 么 了 嗎 ？對 角 線 相 等 的 平 行 四 邊 形 是 矩 形 . 例 2 如 圖 ,矩 形 ABCD的 對 角 線 AC、 BD相 交 于 點 O， E、 F、 G、 H分 別是 AO、 BO、 CO、 DO上 的 一 點 ,且 AE=BF=CG=DH.求 證 :四 邊 形 EFGH是 矩 形 . B CDEF GHOA證 明 ： 四 邊 形 ABCD是 矩 形 ， AC=BD（ 矩 形 的 對 角 線 相 等 )，AO=BO=CO=DO（ 矩 形 的 對 角 線 互 相 平 分 ） ， AE=BF=CG=DH， OE=OF=OG=OH， 四 邊 形 EFGH是 平 行 四 邊 形 ， EO+OG=FO+OH， 即 EG=FH， 四 邊 形 EFGH是 矩 形 . 小結(jié)有 一 個 角 是 直 角 的 平 行 四 邊 形 是 矩 形 .對 角 線 相 等 的 平 行 四 邊 形 是 矩 形 .有 三 個 角 是 直 角 的 四 邊 形 是 矩 形 .矩 形 的 判定 定 義判 定 定理 當(dāng)堂練習(xí)1.下 列 各 句 判 定 矩 形 的 說 法 是 否 正 確 ？ （ 1） 對 角 線 相 等 的 四 邊 形 是 矩 形 ； ( )（ 2） 對 角 線 互 相 平 分 且 相 等 的 四 邊 形 是 矩 形 ； ( )（ 3） 有 一 個 角 是 直 角 的 四 邊 形 是 矩 形 ； ( )（ 5） 有 三 個 角 是 直 角 的 四 邊 形 是 矩 形 ； ( )（ 6） 四 個 角 都 相 等 的 四 邊 形 是 矩 形 ； ( )（ 4） 有 三 個 角 都 相 等 的 四 邊 形 是 矩 形 ; ( ) （ 7） 一 組 對 角 互 補 的 平 行 四 邊 形 是 矩 形 ； ( ) 2.如 圖 ,直 線 EF MN,PQ交 EF、 MN于 A、 C兩 點 ,AB、 CB、 CD、AD分 別 是 EAC、 MCA、 ACN、 CAF的 平 分 線 ,則 四 邊 形ABCD是 （ ） A.梯 形 B.平 行 四 邊 形 C.矩 形 D.不 能 確 定DE FM NQ PAB C C 3.如 圖 ， 在 ABCD中 , 1= 2中 .此 時 四 邊 形 ABCD是 矩 形 嗎 ？ 為 什 么 ？ AB CDO12解 ： 四 邊 形 ABCD是 矩 形 .理 由 如 下 ： 四 邊 形 ABCD是 平 行 四 邊 形 AO=CO,DO=BO.又 1= 2， AO=BO， AC=BD， 四 邊 形 ABCD是 矩 形 . 4.如 圖 ， 平 行 四 邊 形 ABCD中 ， 對 角 線 AC、 BD相 交 于 點 O， 延 長 OA到 N， 使 ON OB， 再 延 長 OC至 M， 使 CM AN.求 證 ： 四 邊 形 NDMB為 矩 形 證 明 ： 四 邊 形 ABCD為 平 行 四 邊 形 ， AO OC， OD OB. AN CM， ON OB， ON OM OD OB， 四 邊 形 NDMB為 平 行 四 邊 形 ， MN BD， 平 行 四 邊 形 NDMB為 矩 形