《高等數(shù)學(xué)上冊(cè)導(dǎo)數(shù)的概念PPT》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)上冊(cè)導(dǎo)數(shù)的概念PPT（27頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第 二 章微 積 分 學(xué) 的 創(chuàng) 始 人 : 德 國(guó) 數(shù) 學(xué) 家 Leibniz 微 分 學(xué) 導(dǎo) 數(shù) 描 述 函 數(shù) 變 化 快 慢微 分 描 述 函 數(shù) 變 化 程 度都 是 描 述 物 質(zhì) 運(yùn) 動(dòng) 的 工 具 (從 微 觀(guān) 上 研 究 函 數(shù) )導(dǎo) 數(shù) 與 微 分 導(dǎo) 數(shù) 思 想 最 早 由 法 國(guó)數(shù) 學(xué) 家 Ferma 在 研 究極 值 問(wèn) 題 中 提 出 .英 國(guó) 數(shù) 學(xué) 家 Newton 一 、 引 例二 、 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義三 、 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義四 、 函 數(shù) 的 可 導(dǎo) 性 與 連 續(xù) 性 的 關(guān) 系五 、 單 側(cè) 導(dǎo) 數(shù)第 一 節(jié) 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè)

2、返 回 結(jié) 束 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念 第 二 章 一 、 引 例1. 變 速 直 線(xiàn) 運(yùn) 動(dòng) 的 速 度設(shè) 描 述 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 位 置 的 函 數(shù) 為)(tfs 0t則 到 的 平 均 速 度 為0t t v )()( 0tftf 0tt 而 在 時(shí) 刻 的 瞬 時(shí) 速 度 為0t lim0ttv )()( 0tftf 0tt 221 tgs so )( 0tf )(tf t自 由 落 體 運(yùn) 動(dòng)機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 xyo )(xfy C2. 曲 線(xiàn) 的 切 線(xiàn) 斜 率曲 線(xiàn) )(: xfyC N T0 xM在 M 點(diǎn) 處 的 切 線(xiàn) x割 線(xiàn) M N 的 極 限

3、 位 置 M T(當(dāng) 時(shí) ) 割 線(xiàn) M N 的 斜 率 tan )()( 0 xfxf 0 xx切 線(xiàn) MT 的 斜 率 tank tanlim lim0 xxk )()( 0 xfxf 0 xx 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 兩 個(gè) 問(wèn) 題 的 共 性 : so 0t )( 0tf )(tf t瞬 時(shí) 速 度 lim0ttv )()( 0tftf 0tt 切 線(xiàn) 斜 率 xyo )(xfy C N T0 xM x lim0 xxk )()( 0 xfxf 0 xx所 求 量 為 函 數(shù) 增 量 與 自 變 量 增 量 之 比 的 極 限 .類(lèi) 似 問(wèn) 題 還 有 :加 速

4、 度角 速 度線(xiàn) 密 度電 流 強(qiáng) 度 是 速 度 增 量 與 時(shí) 間 增 量 之 比 的 極 限是 轉(zhuǎn) 角 增 量 與 時(shí) 間 增 量 之 比 的 極 限是 質(zhì) 量 增 量 與 長(zhǎng) 度 增 量 之 比 的 極 限是 電 量 增 量 與 時(shí) 間 增 量 之 比 的 極 限 變化率問(wèn)題 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 二 、 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義定 義 1 . 設(shè) 函 數(shù) )(xfy 在 點(diǎn) 0 x0limxx 0 0)()( xx xfxf xyx 0lim )()( 0 xfxfy 0 xxx 存 在 , )(xf 并 稱(chēng) 此 極 限 為)(xfy 記 作 :;0 xxy ;)

5、( 0 xf ;dd 0 xxxy 0d )(d xxxxf 即 0 xxy )( 0 xf xyx 0limx xfxxfx )()(lim 000 h xfhxfh )()(lim 000 則 稱(chēng) 函 數(shù)若 的 某 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 , 在 點(diǎn) 0 x 處 可 導(dǎo) , 在 點(diǎn) 0 x 的 導(dǎo) 數(shù) . 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 運(yùn) 動(dòng) 質(zhì) 點(diǎn) 的 位 置 函 數(shù) )(tfs so 0t )( 0tf )(tf t在 時(shí) 刻 的 瞬 時(shí) 速 度0t lim0ttv )()( 0tftf 0tt曲 線(xiàn) )(: xfyC 在 M 點(diǎn) 處 的 切 線(xiàn) 斜 率 xyo )(

6、xfy C N T0 xM x lim0 xxk )()( 0 xfxf 0 xx )( 0tf )( 0 xf 說(shuō) 明 : 在 經(jīng) 濟(jì) 學(xué) 中 , 邊 際 成 本 率 ,邊 際 勞 動(dòng) 生 產(chǎn) 率 和 邊 際 稅 率 等 從 數(shù) 學(xué) 角 度 看 就 是 導(dǎo) 數(shù) .機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 0limxx 0 0)()( xx xfxf xyx 0lim )()( 0 xfxfy 0 xxx 若 上 述 極 限 不 存 在 , 在 點(diǎn) 不 可 導(dǎo) . 0 x若 ,lim0 xyx 也 稱(chēng) )(xf 在 0 x若 函 數(shù) 在 開(kāi) 區(qū) 間 I 內(nèi) 每 點(diǎn) 都 可 導(dǎo) ,此 時(shí)

7、導(dǎo) 數(shù) 值 構(gòu) 成 的 新 函 數(shù) 稱(chēng) 為 導(dǎo) 函 數(shù) .記 作 : ;y ;)(xf ;ddxy .d )(d xxf注 意 : )( 0 xf 0)( xxxf xxfd )(d 0就 說(shuō) 函 數(shù) 就 稱(chēng) 函 數(shù) 在 I 內(nèi) 可 導(dǎo) . 的 導(dǎo) 數(shù) 為 無(wú) 窮 大 .機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 例 1. 求 函 數(shù) Cxf )( (C 為 常 數(shù) ) 的 導(dǎo) 數(shù) . 解 : y xCCx 0lim 0即 0)( C例 2. 求 函 數(shù) )N()( nxxf n .處 的 導(dǎo) 數(shù)在 ax 解 : ax afxf )()(ax lim)(af ax ax nnax lim(

8、limax 1nx 2 nxa 32 nxa )1 na1 nan x xfxxf )()(0lim x 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 說(shuō) 明 ：對(duì) 一 般 冪 函 數(shù) xy ( 為 常 數(shù) ) 1)( xx例 如 ， )( x )( 21 x 2121 x x21 x1 )( 1 x 11 x 21x)1( xx )( 43 x 4743 x（ 以 后 將 證 明 ）機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 h xhxh sin)sin(lim0 例 3. 求 函 數(shù) xxf sin)( 的 導(dǎo) 數(shù) . 解 : ,xh 令 則)(xf h xfhxf )()( 0li

9、m h 0lim h )2cos(2 hx 2sinh)2cos(lim0 hxh 2 2sinh h xcos即 xx cos)(sin 類(lèi) 似 可 證 得 xx sin)(cos h 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 )1(ln xh例 4. 求 函 數(shù) xxf ln)( 的 導(dǎo) 數(shù) . 解 : )(xf h xfhxf )()( 0lim h h xhxh ln)ln(lim0 hh 1lim0 )1(ln xh即 xx 1)(ln 0lim h h1 x1xx1 0limh )1(ln xh hx elnx1 x1 xhhh 1lim0或 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè)

10、返 回 結(jié) 束 則令 ,0 hxt 原 式 h tfhtfh 2 )()2(lim0 )(lim0 tfh )( 0 xf 是 否 可 按 下 述 方 法 作 :例 5. 證 明 函 數(shù) xxf )( 在 x = 0 不 可 導(dǎo) . 證 : h fhf )0()0( hh 0h,1 0h,1h fhfh )0()0(lim0 不 存 在 , .0不 可 導(dǎo)在即 xx例 6. 設(shè) )( 0 xf 存 在 , 求 極 限 .2 )()(lim 000 h hxfhxfh 解 : 原 式 0lim h hhxf 2)( 0 )( 0 xf h hxf2 )( 0 )( 0 xf)(21 0 xf )

11、(21 0 xf )( 0 xf )(2 )hh )( 0 xf機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 三 、 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義 xyo )(xfy C T0 xM曲 線(xiàn) )(xfy 在 點(diǎn) ),( 00 yx 的 切 線(xiàn) 斜 率 為)(tan 0 xf 若 ,0)( 0 xf 曲 線(xiàn) 過(guò) 上 升 ;若 ,0)( 0 xf 曲 線(xiàn) 過(guò) 下 降 ; xyo 0 x ),( 00 yx若 ,0)( 0 xf 切 線(xiàn) 與 x 軸 平 行 , 稱(chēng) 為 駐 點(diǎn) ;),( 00 yx ),( 00 yx 0 x若 ,)( 0 xf 切 線(xiàn) 與 x 軸 垂 直 .曲 線(xiàn) 在 點(diǎn) 處 的),

12、( 00 yx切 線(xiàn) 方 程 : )( 000 xxxfyy 法 線(xiàn) 方 程 : )()(1 000 xxxfyy )0)( 0 xf xyo 0 x,)( 0 時(shí) xf 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 11 1 1 例 7. 問(wèn) 曲 線(xiàn) 3 xy 哪 一 點(diǎn) 有 垂 直 切 線(xiàn) ? 哪 一 點(diǎn) 處的 切 線(xiàn) 與 直 線(xiàn) 131 xy 平 行 ? 寫(xiě) 出 其 切 線(xiàn) 方 程 .解 : )(3 xy 3231 x ,1313 2x ,0 xy0 x令 ,311313 2 x 得 ,1x 對(duì) 應(yīng) ,1y則 在 點(diǎn) (1,1) , (1,1) 處 與 直 線(xiàn) 131 xy平 行 的

13、切 線(xiàn) 方 程 分 別 為),1(1 31 xy )1(1 31 xy即 023 yx故 在 原 點(diǎn) (0 , 0) 有 垂 直 切 線(xiàn) 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 處 可 導(dǎo)在 點(diǎn) xxf )(四 、 函 數(shù) 的 可 導(dǎo) 性 與 連 續(xù) 性 的 關(guān) 系定 理 1. 處 連 續(xù)在 點(diǎn) xxf )(證 : 設(shè) )(xfy 在 點(diǎn) x 處 可 導(dǎo) , )(lim0 xfxyx 存 在 , 因 此 必 有 ,)( xfxy 其 中 0lim0 x故 xxxfy )( 0 x 0所 以 函 數(shù) )(xfy 在 點(diǎn) x 連 續(xù) .注 意 : 函 數(shù) 在 點(diǎn) x 連 續(xù) 未 必 可 導(dǎo)

14、 .反 例 : xy xyoxy 在 x = 0 處 連 續(xù) , 但 不 可 導(dǎo) .即 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 在 點(diǎn) 0 x 的 某 個(gè) 右 鄰 域 內(nèi)五 、 單 側(cè) 導(dǎo) 數(shù) )(xfy 若 極 限 x xfxxfxy xx )()(limlim 0000則 稱(chēng) 此 極 限 值 為 )(xf 在 處 的 右 導(dǎo) 數(shù) ,0 x 記 作)( 0 xf即 )( 0 xf x xfxxfx )()(lim 000 (左 )(左 )0( x )0( x)( 0 xf 0 x例 如 , xxf )( 在 x = 0 處 有,1)0( f 1)0( f xyoxy 定 義 2 .

15、設(shè) 函 數(shù)有 定 義 ,存 在 , 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 定 理 2. 函 數(shù) 在 點(diǎn) 0 x)(xfy ,)()( 00 存 在與 xfxf 且 )( 0 xf .)( 0 xf)( 0 xf 存 在 )( 0 xf )( 0 xf簡(jiǎn) 寫(xiě) 為 在 點(diǎn) 處 右 導(dǎo) 數(shù) 存 在0 x定 理 3. 函 數(shù) )(xf)(xf 在 點(diǎn) 0 x 必 右 連 續(xù) . (左 )(左 )若 函 數(shù) )(xf )(af )(bf與都 存 在 , 則 稱(chēng) )(xf顯 然 :)(xf 在 閉 區(qū) 間 a , b 上 可 導(dǎo) ,)( baCxf 在 開(kāi) 區(qū) 間 內(nèi) 可 導(dǎo) ,),( ba在

16、閉 區(qū) 間 上 可 導(dǎo) ., ba 可 導(dǎo) 的 充 分 必 要 條 件是 且 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 內(nèi) 容 小 結(jié)1. 導(dǎo) 數(shù) 的 實(shí) 質(zhì) :3. 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義 :4. 可 導(dǎo) 必 連 續(xù) , 但 連 續(xù) 不 一 定 可 導(dǎo) ;5. 已 學(xué) 求 導(dǎo) 公 式 :6. 判 斷 可 導(dǎo) 性 不 連 續(xù) , 一 定 不 可 導(dǎo) .直 接 用 導(dǎo) 數(shù) 定 義 ;看 左 右 導(dǎo) 數(shù) 是 否 存 在 且 相 等 .)(C )( x)(sinx )(cosxaxf )( 02. axfxf )()( 00 )(lnx;0 ;1x;cosx ;sinx x1增 量 比 的

17、 極 限 ;切 線(xiàn) 的 斜 率 ; 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 思 考 與 練 習(xí)1. 函 數(shù) 在 某 點(diǎn) 處 的 導(dǎo) 數(shù))(xf 0 x )( 0 xf )(xf區(qū) 別 : )(xf 是 函 數(shù) , )( 0 xf 是 數(shù) 值 ;聯(lián) 系 : 0)( xxxf )( 0 xf注 意 :有 什 么 區(qū) 別 與 聯(lián) 系 ? )()( 00 xfxf ？ 與 導(dǎo) 函 數(shù) 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 2. 設(shè) )( 0 xf 存 在 , 則 ._)()(lim 000 h xfhxfh3. 已 知 ,)0(,0)0( 0kff 則 ._)(lim0 xxfx )

18、( 0 xf 0k4. 若 ),( x 時(shí) , 恒 有 ,)( 2xxf 問(wèn) )(xf 是 否 在0 x 可 導(dǎo) ?解 : 由 題 設(shè) )0(f 00 )0()( x fxf x0由 夾 逼 準(zhǔn) 則 0 )0()(lim0 x fxfx 0 故 )(xf 在 0 x可 導(dǎo) , 且 0)0( f機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 5. 設(shè) 0, 0,sin)( xxa xxxf , 問(wèn) a 取 何 值 時(shí) , )(xf 在),( 都 存 在 , 并 求 出 .)(xf解 : )0(f 00sinlim0 x xx 1 )0(f 00lim 0 xxax a故 1a 時(shí) ,1)0( f

19、 此 時(shí) )(xf 在 ),( 都 存 在 , )(xf 0,cos xx 0,1 x顯 然 該 函 數(shù) 在 x = 0 連 續(xù) . 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 作 業(yè) P85 2 , 5 , 6, 9, 13, 14(2) , 16 , 18 第 二 節(jié) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 牛 頓 (1642 1727)偉 大 的 英 國(guó) 數(shù) 學(xué) 家 , 物 理 學(xué) 家 , 天 文學(xué) 家 和 自 然 科 學(xué) 家 . 他 在 數(shù) 學(xué) 上 的 卓 越貢 獻(xiàn) 是 創(chuàng) 立 了 微 積 分 . 1665年 他 提 出 正流 數(shù) (微 分 ) 術(shù) ,次 年 又 提 出 反 流 數(shù)

20、 (積 分 )術(shù) ,并 于 1671年 完 成 流 數(shù) 術(shù) 與 無(wú) 窮 級(jí) 數(shù) 一 書(shū) (1736年 出 版 ). 他還 著 有 自 然 哲 學(xué) 的 數(shù) 學(xué) 原 理 和 廣 義 算 術(shù) 等 . 萊 布 尼 茲 (1646 1716)德 國(guó) 數(shù) 學(xué) 家 , 哲 學(xué) 家 . 他 和 牛 頓 同 為微 積 分 的 創(chuàng) 始 人 , 他 在 學(xué) 藝 雜 志上 發(fā) 表 的 幾 篇 有 關(guān) 微 積 分 學(xué) 的 論 文 中 ,有 的 早 于 牛 頓 , 所 用 微 積 分 符 號(hào) 也 遠(yuǎn) 遠(yuǎn) 優(yōu) 于 牛 頓 . 他 還 設(shè) 計(jì) 了 作 乘 法 的 計(jì) 算 機(jī) , 系 統(tǒng) 地 闡 述 二 進(jìn) 制 計(jì)數(shù) 法 ,

21、并 把 它 與 中 國(guó) 的 八 卦 聯(lián) 系 起 來(lái) . 備 用 題 解 : 因 為1. 設(shè) )(xf 存 在 , 且 ,12 )1()1(lim0 x xffx 求 ).1(fx xffx 2 )1()1(lim0 所 以 .2)1( f x fxfx 2 )1()1(lim0 )( )1()(1(lim21 0 x fxfx 1)1(21 f 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束 )(xf 在 0 x 處 連 續(xù) , 且 xxfx )(lim0 存 在 ， 證 明 :)(xf 在 0 x 處 可 導(dǎo) .證 ： 因 為 xxfx )(lim0 存 在 ， 則 有 0)(lim0 xfx又 )(xf 在 0 x 處 連 續(xù) , 0)0( f所 以 xxfx )(lim0即 )(xf 在 0 x 處 可 導(dǎo) .2. 設(shè) x fxfx )0()(lim0 )0(f 故 機(jī) 動(dòng) 目 錄 上 頁(yè) 下 頁(yè) 返 回 結(jié) 束