2021年高考全國統(tǒng)一考試（理科數(shù)學）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 設(shè)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)，利用共軛復數(shù)的定義以及復數(shù)的加減法可得出關(guān)于、的等式，解出這兩個未知數(shù)的值，即可得出復數(shù).【詳解】設(shè)，則，則，所以，解得，因此，.故選：C.2. 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，故，因此，.故選：C.3. 已知命題命題，則下列命題中為真命題的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦函數(shù)的有界性確定命題的真假性，由指數(shù)函數(shù)的知識確定命題的真假性，由此確定正確選項.【詳解】由于，所以命題為真命題；由于在上為增函數(shù)，所以，所以命題為真命題；所以為真命題，、為假命題.故選：A4. 設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.【詳解】由題意可得，對于A，不是奇函數(shù)；對于B，是奇函數(shù)；對于C，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，定義域不關(guān)于原點對稱，不是奇函數(shù).故選：B5. 在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長為2，則，所以.故選：D6. 將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓，每名志愿者只分配到1個項目，每個項目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（ ）A. 60種B. 120種C. 240種D. 480種【答案】C【解析】【分析】先確定有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個項目中分配2名志愿者，其余各項目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個元素，四個項目看成四個不同的位置，四個不同的元素在四個不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.7. 把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達式；解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達式.【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應(yīng)當?shù)玫降膱D象，根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，令,則,所以,所以；解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.8. 在區(qū)間與中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)從區(qū)間中隨機取出的數(shù)分別為，則實驗的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域為，設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域為，分別求出對應(yīng)的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的的概率公式即可解出【詳解】如圖所示：設(shè)從區(qū)間中隨機取出的數(shù)分別為，則實驗的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域為，其面積為設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域為，即圖中的陰影部分，其面積為，所以故選：B.9. 魏晉時劉徽撰寫的海島算經(jīng)是關(guān)測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高如圖，點，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（ ）A. 表高B. 表高C. 表距D. 表距【答案】A【解析】【分析】利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出【詳解】如圖所示：由平面相似可知，而，所以，而，即故選：A.10. 設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否編號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.當時，由時，畫出的圖象如下圖所示：由圖可知，故.綜上所述，成立.故選：D【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法可以快速解答.11. 設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可【詳解】設(shè)，由，因為，所以，因為，當，即時，即，符合題意，由可得，即；當，即時，即，化簡得，顯然該不等式不成立故選：C【點睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值12. 設(shè)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.詳解】,所以;下面比較與的大小關(guān)系.記,則,，由于所以當0<x<2時，,即,所以在上單調(diào)遞增，所以,即,即;令,則,由于，在x>0時,所以,即函數(shù)在0,+)上單調(diào)遞減，所以,即,即b<c;綜上，,故選：B.【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_【答案】4【解析】【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線中對應(yīng)關(guān)系，聯(lián)立求解，再由關(guān)系式求得，即可求解.【詳解】由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），故焦距.故答案為：4.【點睛】本題為基礎(chǔ)題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計算并聯(lián)立關(guān)系式求解是關(guān)鍵.14. 已知向量，若，則_【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出【詳解】因為，所以由可得，解得故答案為：【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設(shè)，注意與平面向量平行的坐標表示區(qū)分15. 記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，則_【答案】【解析】【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，所以，所以，解得（負值舍去）.故答案為：.16. 以圖為正視圖，在圖中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為_（寫出符合要求的一組答案即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由題意結(jié)合所給的圖形確定一組三視圖的組合即可.【詳解】選擇側(cè)視圖為，俯視圖為，如圖所示，長方體中，分別為棱的中點，則正視圖，側(cè)視圖，俯視圖對應(yīng)的幾何體為三棱錐.故答案為：.【點睛】三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分17. 某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和（1）求，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認為有顯著提高）【答案】（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計算方法，計算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進行判斷.【詳解】（1），.（2）依題意，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標的均值較舊設(shè)備有顯著提高.18. 如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點，且（1）求；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長；（2）求出平面、法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）平面，四邊形為矩形，不妨以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則、，則，則，解得，故；（2）設(shè)平面的法向量為，則，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，所以，因此，二面角的正弦值為.19. 記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關(guān)系,進而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關(guān)系求得.【詳解】（1）由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列;（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，,當n=1時，,當n2時,顯然對于n=1不成立,.【點睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和與項的關(guān)系，數(shù)列的前n項積與項的關(guān)系，其中由,得到，進而得到是關(guān)鍵一步；要熟練掌握前n項和，積與數(shù)列的項的關(guān)系，消和（積）得到項（或項的遞推關(guān)系），或者消項得到和（積）的遞推關(guān)系是常用的重要的思想方法.20. 設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)證明:【答案】（1）；（2）證明見詳解【解析】【分析】（1）由題意求出，由極值點處導數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，又是函數(shù)的極值點，所以，解得；（2）由（1）得，且，當 時，要證， ，即證，化簡得；同理，當時，要證， ，即證，化簡得；令，再令，則，令，當時，單減，假設(shè)能取到，則，故；當時，單增，假設(shè)能取到，則，故；綜上所述，在恒成立21. 已知拋物線的焦點為，且與圓上點的距離的最小值為（1）求；（2）若點在上，是的兩條切線，是切點，求面積的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；（2）設(shè)點、，利用導數(shù)求出直線、，進一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.【詳解】（1）拋物線的焦點為，所以，與圓上點的距離的最小值為，解得；（2）拋物線的方程為，即，對該函數(shù)求導得，設(shè)點、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點為這兩條直線的公共點，則，所以，點、的坐標滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達定理可得，所以，點到直線的距離為，所以，由已知可得，所以，當時，的面積取最大值.（二）選考題，共10分請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計分選修4-4：坐標系與參數(shù)方程（10分）22. 在直角坐標系中，的圓心為，半徑為1（1）寫出的一個參數(shù)方程;（2）過點作的兩條切線以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求這兩條切線的極坐標方程【答案】（1），（為參數(shù)）；（2）或.【解析】【分析】（1）直接利用圓心及半徑可得的圓的參數(shù)方程；（2）先求得過（4，1）的圓的切線方程，再利用極坐標與直角坐標互化公式化簡即可.【詳解】（1）由題意，的普通方程為，所以參數(shù)方程為，（為參數(shù)）（2）由題意，切線的斜率一定存在，設(shè)切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于1可得，解得，所以切線方程為或，將，代入化簡得或選修4-5：不等式選講（10分）23. 已知函數(shù)（1）當時，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集.（2）利用絕對值不等式化簡，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，表示數(shù)軸上的點到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點到和的距離之和不小于，當或時所對應(yīng)的數(shù)軸上的點到所對應(yīng)的點距離之和等于6，數(shù)軸上到所對應(yīng)的點距離之和等于大于等于6得到所對應(yīng)的坐標的范圍是或，所以的解集為.（2）依題意，即恒成立，當且僅當時取等號，,故，所以或，解得.所以的取值范圍是.