同 學(xué) 們 ， 在 生 產(chǎn) 生 活 中 我 們 經(jīng) 常 會(huì) 遇 到 一 些 數(shù) 學(xué) 問(wèn)題 ， 僅 用 數(shù) (或 形 )來(lái) 描 述 和 表 達(dá) 某 些 事 物 的 特 征 、 規(guī) 律等 是 不 行 的 。 必 須 把 數(shù) 和 形 結(jié) 合 起 來(lái) 進(jìn) 行 描 述 和 表 達(dá) ，才 能 讓 讀 者 清 楚 地 明 白 表 達(dá) 和 描 述 的 含 義 。 下 面 我 們 就來(lái) 一 起 研 究 數(shù) 與 形 相 結(jié) 合 的 問(wèn) 題 。 1 在 生 動(dòng) 有 趣 的 活 動(dòng) 中 觀 察 、 尋 找 圖 形的 特 點(diǎn) ， 結(jié) 合 圖 形 從 不 同 的 角 度 觀 察 得 出 不同 的 數(shù) 學(xué) 規(guī) 律 。 2 應(yīng) 用 “ 數(shù) 形 結(jié) 合 ” ， 訓(xùn) 練 和 培 養(yǎng) 數(shù) 學(xué)思 維 能 力 ， 發(fā) 散 思 維 能 力 和 創(chuàng) 造 性 思 維 能 力 。 3 通 過(guò) 以 形 助 數(shù) 的 直 觀 生 動(dòng) 性 ， 體 會(huì) 數(shù)形 結(jié) 合 ， 感 受 數(shù) 學(xué) 的 趣 味 性 。 知 識(shí) 要 點(diǎn) 1： 利 用 正 方 形 找 規(guī) 律 。 （ 重 點(diǎn) ） 從 1開(kāi) 始 ， 連 續(xù) 幾 個(gè) 奇 數(shù) 的 和 等 于 奇 數(shù) 個(gè) 數(shù)的 平 方 。 如 ：知 識(shí) 要 點(diǎn) 2： 利 用 畫(huà) 圖 來(lái) 找 規(guī) 律 。 （ 難 點(diǎn) ） 某 些 抽 象 的 數(shù) 學(xué) 加 法 ， 可 以 轉(zhuǎn) 化 成 圖 形來(lái) 計(jì) 算 ， 通 過(guò) 畫(huà) 圖 更 容 易 發(fā) 現(xiàn) 其 中 的 規(guī) 律 。 【 例 1】 （ 教 材 P107） （ 1） 觀 察 一 下 ， 上 面 的 圖 和 下 邊 的 算式 有 什 么 關(guān) 系 ？ 把 算 式 補(bǔ) 充 完 整 。 1= 1+3= 1+3+5= （ 2） 請(qǐng) 你 利 用 上 面 發(fā) 現(xiàn) 的 規(guī) 律 寫(xiě) 一 寫(xiě) ，算 一 算 。 1+3+5+7= 1+3+5+7+9+11+13= 2（ ） 2（ ） 2（ ）2（ ） 2（ ） 29 【 解 題 點(diǎn) 撥 】 通 過(guò) 計(jì) 算 可 以 發(fā) 現(xiàn) 規(guī) 律 。 算 式 左 邊 的 加 數(shù)是 大 正 方 形 右 上 角 的 小 正 方 形 和 其 他 “ L” 形 圖 形 所 包 含的 小 正 方 形 個(gè) 數(shù) 之 和 ， 正 好 是 每 行 或 每 列 小 正 方 形 個(gè) 數(shù)的 平 方 ?！?規(guī) 范 解 答 】【 技 巧 歸 納 】 運(yùn) 用 數(shù) 形 結(jié) 合 發(fā) 現(xiàn) 規(guī) 律 ， 即 借 助 圖 形 分 析并 觀 察 數(shù) 的 運(yùn) 算 中 的 規(guī) 律 。 動(dòng) 腦 練 一 練 計(jì) 算 ： 1+3+5+7+ +2013+2015 提 示 ： 這 個(gè) 算 式 用 一 般 方 法 計(jì) 算 難 度 很大 。 通 過(guò) 觀 察 ， 各 個(gè) 加 數(shù) 是 連 續(xù) 的 奇 數(shù) ， 可以 利 用 例 題 中 的 數(shù) 與 形 轉(zhuǎn) 化 思 想 進(jìn) 行 解 答 。 【 例 2】 （ 教 材 P107） 計(jì) 算 你 能 發(fā) 現(xiàn) 什 么 規(guī)律 ？ 641321161814121【 解 題 點(diǎn) 撥 】 （ 1） 通 過(guò) 觀 察 算 式 可 以 發(fā) 現(xiàn) 加 數(shù) 的 規(guī) 律 ：從 第 二 個(gè) 數(shù) 開(kāi) 始 ， 每 個(gè) 數(shù) 是 前 一 個(gè) 數(shù) 的 1/2。 （ 2） 規(guī) 律 探 索 。1/2+1/4=3/4 3/4+1/8=7/8 7/8+1/16=15/16 計(jì) 算 規(guī) 律 ： 題 目 的 答 案 是 ： 1-最 后 一 個(gè) 數(shù) 。 一 個(gè) 一 個(gè) 加 下 去 可 以 發(fā) 現(xiàn) ： 計(jì) 算 結(jié) 果 越 來(lái) 越 接 近 于 1。 （ 3） 畫(huà) 圖 分 析 ： 用 一 個(gè) 圓 或 一 條 線 段 表 示 單 位“ 1” 。從 圖 上 可 以 看 出 ， 這 些 分 數(shù) 不 斷 加 下 去 ， 總 和 就 是 1。 【 規(guī) 范 解 答 】 1641321161814121 【 技 巧 歸 納 】 （ 1） 有 些 問(wèn) 題 利 用 畫(huà) 圖 的 方 法 解 決 起 來(lái) 更簡(jiǎn) 單 。 從 上 圖 中 可 以 直 觀 地 看 出 隨 著 加 數(shù) 的 不 斷 增 加 ，圓 的 面 積 和 線 段 的 長(zhǎng) 度 越 來(lái) 越 接 近 1， 當(dāng) 有 無(wú) 限 多 項(xiàng) 相 加時(shí) 其 結(jié) 果 為 1。 （ 2） 數(shù) 形 結(jié) 合 的 方 法 確 實(shí) 是 一 種 很 好 的數(shù) 學(xué) 方 法 ， 它 能 幫 助 我 們 把 復(fù) 雜 的 問(wèn) 題 簡(jiǎn) 單 化 ， 把 抽 象的 問(wèn) 題 直 觀 化 、 形 象 化 。 動(dòng) 腦 練 一 練 按 規(guī) 律 繼 續(xù) 寫(xiě) 下 去 ， 試 試 看 。 【 例 3】 停 車 場(chǎng) 上 有 兩 輪 摩 托 車 和 小 轎 車共 18輛 ， 一 共 有 56個(gè) 輪 子 。 兩 輪 摩 托 車和 小 轎 車 各 有 多 少 輛 ?【 解 題 點(diǎn) 撥 】 “ 雞 兔 同 籠 ” 問(wèn) 題 是 我 國(guó) 古 代 著 名 的 數(shù)學(xué) 趣 題 ， 它 在 生 產(chǎn) 、 生 活 中 有 著 十 分 廣 泛 的 應(yīng) 用 。 本題 就 是 一 道 “ 雞 兔 同 籠 ” 的 數(shù) 學(xué) 問(wèn) 題 ， 題 中 的 “ 兩 輪摩 托 車 ” 相 當(dāng) 于 “ 雞 ” ， “ 小 轎 車 ” 相 當(dāng) 于 “ 兔 ” ，怎 樣 運(yùn) 用 “ 雞 兔 同 籠 ” 的 解 題 策 略 求 出 兩 輪 摩 托 車 和 小 轎 車 的 輛 數(shù) 呢 ? 一 是 列 表 法 。 根 據(jù) 題 中 提 供 的 數(shù) 據(jù) ， 按 順 序 列 表 分 析 ：從 表 中 可 以 看 出 ， 當(dāng) 兩 輪 摩 托 車 有 8輛 ， 小 轎 車 有 10輛 時(shí) ，車 輪 剛 好 是 56個(gè) ， 符 合 題 意 。 二 是 假 設(shè) 法 。 假 設(shè) 停 車 場(chǎng) 停 的 都 是 兩 輪 摩 托 車 ， 則 有 輪 子18 2=36(個(gè) )， 與 題 中 56個(gè) 輪 子 相 比 較 ， 少 了 20個(gè) 輪 子 。一 輛 小 轎 車 比 一 輛 兩 輪 摩 托 車 多 2個(gè) 輪 子 ， 所 以 小 轎 車 有20 2=10(輛 )， 由 此 求 出 摩 托 車 有 8輛 。 假 設(shè) 停 車 場(chǎng) 停 的 都是 小 轎 車 ， 又 應(yīng) 該 怎 樣 分 析 ?怎 樣 推 算 呢 ?請(qǐng) 同 學(xué) 們 想 一 想 ，試 一 試 。 三 是 方 程 法 。 設(shè) 兩 輪 摩 托 車 有 x輛 ， 則 小 轎 車 有 (18-x)輛 。 根 據(jù) “ 兩 輪 摩 托 車 的 車 輪 數(shù) +小 轎 車 的 車 輪 數(shù) =車 輪 總數(shù) ” 列 出 方 程 ， 從 而 求 出 兩 輪 摩 托 車 和 小 轎 車 的 輛 數(shù) 。 【 規(guī) 范 解 答 】 設(shè) 兩 輪 摩 托 車 有 x輛 ， 則 小 轎 車 有 (18-x)輛 。 2x+4(18-x)=56 2x+72-4x=56 2x=16 x=8 18-8=10（ 輛 ） 答 ： 兩 輪 摩 托 車 有 8輛 ， 小 轎 車 有 10輛 。 【 技 巧 歸 納 】 解 決 “ 雞 兔 同 籠 ” 問(wèn) 題 的 方 法 有 很 多 ， 如列 表 法 、 假 設(shè) 法 、 方 程 法 等 ， 同 學(xué) 們 可 以 選 擇 自 己 喜 歡的 方 法 去 做 。 如 果 是 用 方 程 來(lái) 解 決 這 個(gè) 問(wèn) 題 ， 那 么 一 般設(shè) 其 中 的 一 種 動(dòng) 物 有 x只 ， 另 一 種 動(dòng) 物 有 (總 只 數(shù) -x)只 ，再 根 據(jù) 腳 的 數(shù) 量 列 方 程 求 解 。 動(dòng) 腦 練 一 練 長(zhǎng) 江 小 學(xué) 舉 行 環(huán) 保 知 識(shí) 競(jìng) 賽 ， 一 共 有 20道 題 。 比 賽 規(guī) 則 是 每 答 對(duì) 一 道 題 得 5分 ， 不答 不 扣 分 ， 答 錯(cuò) 一 道 題 倒 扣 3分 。 趙 放 回 答了 所 有 題 目 ， 結(jié) 果 得 了 84分 。 他 答 對(duì) 了 多 少道 題 ？