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2019-2020年高三數(shù)學下 18.1《總體特征數(shù)之方差》學案 滬教版 【目標引領】 1． 學習目標： 理解樣本數(shù)據(jù)的方差，標準差的意義和作用，學會計算數(shù)據(jù)的方差、標準差，并使學生領會通過合理的抽樣對總體的穩(wěn)定性水平作出科學的估計的思想。掌握從實際問題中提取數(shù)據(jù)，利用樣本數(shù)據(jù)計算方差，標準差，并對總體穩(wěn)定性水平估計的方法。 2． 學法指導： ①．方差和標準差計算公式： 設一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則 樣本方差：s2=〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕 樣本標準差：s= ②．方差和標準差的意義：描述一個樣本和總體的波動大小的特征數(shù)。標準差大說明波動大。 【教師在線】 1． 解析視屏： ①若給定一組數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為 ②若給定一組數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為；特別地，當時，則有的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都減去相同的一個常數(shù)，其方差是不變的，即不影響這組數(shù)據(jù)的波動性； ③方差刻畫了數(shù)據(jù)相對于均值的平均偏離程度；對于不同的數(shù)據(jù)集，當離散程度越大時，方差越大； ④方差的單位是原始測量數(shù)據(jù)單位的平方，對數(shù)據(jù)中的極值較為敏感，標準差的單位與原始測量數(shù)據(jù)單位相同，可以減弱極值的影響。 2． 經(jīng)典回放： 例1： 要從甲乙兩名跳遠運動員中選拔一名去參加運動會，選拔的標準是：先看他們的平均成績，如果兩人的平均成績相差無幾，就要再看他們成績的穩(wěn)定程度。為此對兩人進行了15次比賽，得到如下數(shù)據(jù)：（單位：cm）： 甲 755 752 757 744 743 729 721 731 778 768 761 773 764 736 741 乙 729 767 744 750 745 753 745 752 769 743 760 755 748 752 747 如何通過對上述數(shù)據(jù)的處理，來作出選人的決定呢？ 解：甲≈750.2 乙≈750.6 s甲≈16.4 s乙≈9.6 甲乙兩名跳遠運動員的平均成績相差無幾，乙的成績較穩(wěn)定，所以選拔乙去參加運動會比較合適。 點評：總體平均數(shù)描述一總體的平均水平，方差和標準差描述數(shù)據(jù)的波動情況或者叫穩(wěn)定程度。 例2：證明方差的兩個性質(zhì) ①．若給定一組數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為 ②．若給定一組數(shù)據(jù)，方差為s2，則的方差為； 解：設一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為=，則 樣本方差：s2=〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕 另一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為=a,則 樣本方差=〔（ax1—a）２+（ax2—a）2+…+（axn—a）2〕 =a2〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕 =. 同樣：另一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為 =a+b, 樣本方差=〔（ax1+b—a-b）２+（ax2+b—a-b）2+…+（axn+b—a-b）2〕 = a2〔（x1—）２+（x2—）2+…+（xn—）2〕 =. 點評：特別地，當時，則有的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都減去相同的一個常數(shù)，其方差是不變的，即不影響這組數(shù)據(jù)的波動性。 【同步訓練】 1．若的方差為3，則的方差為. 2．在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)如下：，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為 （ ） A． B． C． D． 3. 從甲乙兩個總體中各抽取了一個樣本： 甲 6 5 8 4 9 6 乙 8 7 6 5 8 2 根據(jù)以上數(shù)據(jù)，說明哪個波動小？ 4.甲乙兩人在相同條件下個射擊20次，命中的環(huán)數(shù)如下： 甲 7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 5 6 6 7 8 7 9 10 9 6 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 9 6 5 8 6 9 6 8 7 7 問誰射擊的情況比較穩(wěn)定？ 5．為了考察甲乙兩種小麥的長勢，分別從中抽取10株苗，測得苗高如下： 甲 12 13 14 15 10 16 13 11 15 11 乙 11 16 17 14 13 19 6 8 10 16 哪種小麥長得比較整齊？ 6．從A、B兩種棉花中各抽10株，測得它們的株高如下：(CM) A、 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 B、 27 16 44 27 44 16 40 16 40 40 (1) 哪種棉花的苗長得高？ (2) 哪種棉花的苗長得整齊？ 【拓展嘗新】 7．“用數(shù)據(jù)說話”，這是我們經(jīng)?？梢月牭降囊痪湓?，但數(shù)據(jù)有時也會被利用，從而產(chǎn)生誤導。例如，一個企業(yè)中，絕大多數(shù)是一線工人，他們的年收入可能是一萬元左右，另有一些經(jīng)理層次的人，年收入可以達到幾十萬元。這時年收入的平均數(shù)會比中位數(shù)大得多。盡管這時中位數(shù)比平均數(shù)更合理些，但是這個企業(yè)的老板到人力市場去招聘工人時，也許更可能用平均數(shù)來回答有關工資待遇方面的提問。你認為“我們單位的收入比別的單位高”這句話應當怎么理解？ 【解答】 1．12 2．D 3．甲波動小 4．乙情況比較穩(wěn)定 5．甲種小麥長得比較整齊 6．乙種棉花的苗長得高，甲種棉花的苗長得整齊。 7．從收入的平均數(shù)及數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度（兩極分化的程度）來分析。