第七節(jié)數(shù)學(xué)歸納法(理) 點(diǎn) 擊 考 綱1.了 解 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 的 原 理 2.能 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 一 些 簡(jiǎn) 單 的 數(shù) 學(xué) 命 題 . 關(guān) 注 熱 點(diǎn)1.利 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 簡(jiǎn) 單 數(shù) 學(xué) 命 題 是 本 節(jié) 重點(diǎn) ， 其 中 歸 納 猜 想 證 明 這 一 類 型 仍 是 高 考的 熱 點(diǎn) 2.常 與 函 數(shù) 、 不 等 式 、 數(shù) 列 等 知 識(shí) 結(jié) 合 ， 在 知識(shí) 交 匯 處 命 題 . 1數(shù)學(xué)歸納法證 明 一 個(gè) 與 正 整 數(shù) n有 關(guān) 的 命 題 ， 可 按 下 列 步驟 ： (1)(歸 納 奠 基 )證 明 當(dāng) n取 第 一 個(gè) 值 n0(n0 N*)時(shí)命 題 成 立 ；(2)(歸 納 遞 推 )假 設(shè) n k(kn0， k N*)時(shí) 命 題 成立 ， 證 明 當(dāng) 時(shí) 命 題 也 成 立 只 要 完 成 這 兩 個(gè) 步 驟 ， 就 可 以 斷 定 命 題 對(duì) 從n0開 始 的 所 有 正 整 數(shù) n都 成 立 n k 1 2數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示 1 第 一 個(gè) 值 n0是 否 一 定 為 1呢 ？提示：不一定，要看題目中n的要求，如當(dāng)n3時(shí)，則第一個(gè)值n0應(yīng)該為3.2 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 的 兩 個(gè) 步 驟 有 何 關(guān) 系 ？提示：數(shù)學(xué)歸納法中兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推基礎(chǔ)，也叫歸納奠基，第二步是遞推的依據(jù)，也叫歸納遞推兩者缺一不可另外，在第二步中證明nk1時(shí)命題成立，必須利用歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法 解析：因?yàn)閚3，所以，第一步應(yīng)檢驗(yàn)n3.答案：C 解析：因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，an1a2，所以驗(yàn)證n1時(shí)，等式左端計(jì)算所得的項(xiàng)是1aa2.答案：C 答案：B 5 記 凸 k邊 形 的 內(nèi) 角 和 為 f(k)， 則 凸 k 1邊 形的 內(nèi) 角 和 f(k 1) f(k) _.解析：由凸k邊形變?yōu)橥筴1邊形時(shí)，增加了一個(gè)三角形，故f(k1)f(k).答案： 【思路導(dǎo)引】按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行 【方法探究】(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是數(shù)學(xué)歸納法的常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少(2)由nk到nk1時(shí)，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用nk時(shí)的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明提醒：第一，不要忘記歸納假設(shè)；第二，歸納假設(shè)后，可利用分析法和綜合法 1 是 否 存 在 常 數(shù) a， b， c使 等 式 1(n2 12)2(n2 22) n(n2 n2) an4 bn2 c對(duì) 一 切正 整 數(shù) n成 立 ？ 并 證 明 你 的 結(jié) 論 已 知 數(shù) 列 an滿 足 a1 0， a2 1， 當(dāng) n N*時(shí) ， an 2 an 1 an.求 證 ： 數(shù) 列 an的 第 4m 1項(xiàng)(m N*)能 被 3整 除 【思路導(dǎo)引】本題若從遞推式入手，設(shè)法求出通項(xiàng)公式，會(huì)相當(dāng)困難，這時(shí)，可轉(zhuǎn)向用數(shù)學(xué)歸納法證明【證明】(1)當(dāng)m1時(shí)，a4m1a5a4a3(a3a2)(a2a1)(a2a1)2a2a13a22a1303.即當(dāng)m1時(shí)，第4m1項(xiàng)能被3整除故命題成立 (2)假設(shè)當(dāng)mk(k1，k N*)時(shí)，a4k1能被3整除，則當(dāng)mk1時(shí)，a4(k1)1a4k5a4k4a4k32a4k3a4k22(a4k2a4k1)a4k23a4k22a4k1.顯然，3a4k2能被3整除，又由假設(shè)知a4k1能被3整除 3a4k22a4k1能被3整除即當(dāng)mk1時(shí)，a4(k1)1也能被3整除，命題也成立由(1)和(2)知，對(duì)于n N*，數(shù)列a n中的第4m1項(xiàng)能被3整除 【方法探究】用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題，由k過渡到k1時(shí)常使用“配湊法” 在證明nk1成立時(shí)，先將nk1時(shí)的原式進(jìn)行分拆、重組或者添加項(xiàng)等方式進(jìn)行整理，最終將其變成一個(gè)或多個(gè)部分的和，其中每個(gè)部分都能被約定的數(shù)(或式子)整除，從而由部分的整除性得出整體的整除性，最終證得nk1時(shí)也成立 2 試 證 當(dāng) n為 正 整 數(shù) 時(shí) ， f(n) 32n 2 8n 9能 被 64整 除 解析：首先在命題f(k1)中分析出含有命題f(k)的表達(dá)式作為第一項(xiàng)，為了使兩邊恒等，用多減少加的方法把f(k1)中的其余項(xiàng)拆為第二項(xiàng)，而第二項(xiàng)也含有命題的性質(zhì) 法一：(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)348964，命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，k N*)時(shí)，f(k)32k28k9能被64整除由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)即f(k1)9f(k)64(k1) nk1時(shí)命題也成立根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)任意的n N *，命題都成立 法二：(1)當(dāng)n1時(shí)，f(1)348964，命題顯然成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，k N*)時(shí)，f(k)32k28k9能被64整除由歸納假設(shè)，設(shè)32k28k964m(m為大于或等于1的自然數(shù))，將32k264m8k9代入到f(k1)中得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)， nk1時(shí)命題成立根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)任意的n N *，命題都成立. 【方法探究】“歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式其一般思路是：通過觀察有限個(gè)特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式 猜想f(n)n(n2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n2時(shí)，等式S1S2Sn1n(Sn1)恒成立當(dāng)n2時(shí)，由上面計(jì)算知，等式成立假設(shè)nk(k2)時(shí)，等式成立，即 (2009山東高考12分)等 比 數(shù) 列 an的 前 n項(xiàng) 和 為 Sn，已 知 對(duì) 任 意 的 n N*， 點(diǎn) (n， Sn)均 在 函 數(shù) y bxr(b0且 b1， b， r均 為 常 數(shù) )的 圖 象 上 (1)求 r的 值 ；(2)當(dāng) b 2時(shí) ， 記 bn 2(log2an 1)(n N*)， 【評(píng)價(jià)探究】用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小，對(duì)第二類形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)n值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明提醒：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時(shí)成立得nk1時(shí)成立，主要方法有：放縮法；利用基本不等式法；作差比較法等 【考向分析】從 近 兩 年 的 高 考 試 題 來 看 ，用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 與 正 整 數(shù) 有 關(guān) 的 不 等 式 以 及與 數(shù) 列 有 關(guān) 的 命 題 是 高 考 的 熱 點(diǎn) ， 題 型 為 解 答題 ， 主 要 考 查 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 數(shù) 學(xué) 命 題 的 能力 ， 同 時(shí) 考 查 學(xué) 生 分 析 問 題 、 解 決 問 題 的 能 力 ，難 度 為 中 高 檔 預(yù) 計(jì) 2012年 高 考 可 能 會(huì) 以 數(shù) 列 、 有 關(guān) 的 等 式或 不 等 式 的 證 明 為 主 要 考 點(diǎn) ， 重 點(diǎn) 考 查 學(xué) 生 運(yùn)用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 解 決 問 題 的 能 力 解析：可代入驗(yàn)證n4時(shí)，左邊30，右邊28，左邊右邊，n5時(shí)，左邊55，右邊47，左邊右邊，故選B.答案：B 2 (2010西安模擬)某 個(gè) 命 題 與 正 整 數(shù) n有 關(guān) ，若 n k(k N*)時(shí) 該 命 題 成 立 ， 那 么 可 推 得 當(dāng) n k 1時(shí) 該 命 題 也 成 立 ， 現(xiàn) 已 知 當(dāng) n 5時(shí) 該 命題 不 成 立 ， 那 么 可 推 得 ( )A 當(dāng) n 6時(shí) 該 命 題 不 成 立B 當(dāng) n 6時(shí) 該 命 題 成 立C 當(dāng) n 4時(shí) 該 命 題 不 成 立D 當(dāng) n 4時(shí) 該 命 題 成 立 解析：如果n4時(shí)命題成立，那么由題設(shè)，n5時(shí)命題也成立上面的判斷作為一個(gè)命題，那么它的逆否命題是：如果n5時(shí)命題不成立，那么n4時(shí)命題也不成立原命題成立，它的逆否命題一定成立答案：C 3 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 “ 1 2 22 2n 1 2n 1(n N*)” 的 過 程 中 ， 第 二 步 假 設(shè) n k時(shí) 等 式 成 立 ， 則 當(dāng) n k 1時(shí) 應(yīng) 得 到 ( )A 1 2 22 2k 2 2k 1 2k 1 1B 1 2 22 2k 2k 1 2k 1 2k 1C 1 2 22 2k 1 2k 1 2k 1 1D 1 2 22 2k 1 2k 2k 1 2k 解析：當(dāng)nk時(shí)，等式為12222k12k1.那么當(dāng)nk1時(shí)，左邊12222k12k，因此只需在歸納假設(shè)兩端同時(shí)添加2k，即12222k12k2k12k.答案：D 4 下 列 代 數(shù) 式 (其 中 k N*)能 被 9整 除 的 是 ( )A 6 67k B 2 7k 1C 2(2 7k 1) D 3(2 7k)解析：(1)當(dāng)k1時(shí)，顯然只有3(27k)能被9整除(2)假設(shè)當(dāng)kn(n N*)時(shí)，命題成立，即3(27n)能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36.這就是說，kn1時(shí)命題也成立由(1)(2)可知，命題對(duì)任何k N*都成立答案：D 答案：A