10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 1 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 小 結(jié) 思 考 題 作 業(yè)格 林 (Green)公 式平 面 上 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 的條 件全 微 分 方 程格 林 G reen.G . (17931841) 英 國 數(shù) 學(xué) 家 、 物 理 學(xué) 家 第 10章 曲 線 積 分 與 曲 面 積 分 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 2DD 1. 區(qū) 域 連 通 性 的 分 類 設(shè) D為 平 面 區(qū) 域 , 復(fù) 連 通 區(qū) 域單 連 通 區(qū) 域一 、 格 林 公 式否 則 稱 為 則 稱 D為 平 面復(fù) 連 通 區(qū) 域 .成 的 部 分 都 屬 于 D, 如 果 D內(nèi) 任 一 閉 曲 線 所 圍單 連 通 區(qū) 域 , 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 3 定 理 10.4(格 林 公 式 ) 設(shè) 閉 區(qū) 域 D由 分 段 光 滑的 曲 線 L圍 成 , LD yQxPyxyPxQ dddd)( 函 數(shù) P(x, y)及 Q(x, y)在 D上 具 有連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) , 則 有2. 格 林 公 式其 中 L是 D的 取 正 向 的 邊 界 曲 線 . 一 階 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 4 D Ll當(dāng) 觀 察 者 沿 邊 界 行 走 時 ,(1) P、 Q在 閉 區(qū) 域 D上 具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) ; (2) 曲 線 L是 封 閉 的 , 并 且 取 正 向 .注規(guī) 定 邊 界 曲 線 L的 正 向 .區(qū) 域 D總 在 他 的 左 邊 .D L D:記 為 LD yQxPyxyPxQ dddd)(格 林 公 式 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 5),()(),( 21 bxaxyxyxD ),()(),( 21 dycyxyyxD (1)先 對 簡 單 區(qū) 域 證 明 :證 明 LD yQxPyxyPxQ dddd)(若 區(qū) 域 D既 是 型X又 是 型Y即 平 行 于 坐 標 軸 的 直 線和 L至 多 交 于 兩 點 . xyO a bdc D )(1 xy )(2 xy A BC E )(2 yx )(1 yx 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 6 D )(2 yx )(1 yx D yxxQ dd dc yyyQ d),( 2 CBE yyxQ d),(同 理 可 證 LD xyxPyxyP d),(dddc yd dc yyyQ d),( 1 LD yQxPyxyPxQ dddd)( yyxQ d),( EAC yyxQ d),( dc yy yyxQ d),( )( )(21 xxQyy d)( )(21 CBE CAE yyxQ d),( LD yQxPyxyPxQ dddd)( L yyxQ d),( xyOdc A BC E化 為 二 次 積 分化為第二類曲線積分 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 7 DL(2) 再 對 一 般 區(qū) 域 證 明 : 1L 1D 2D3DD yxyPxQ dd)( 若 區(qū) 域 D由 按 段 光 滑(如 圖 )將 D分 成 三 個 既 是 型X又 是 型Y 的 區(qū) 域,1D yxyPxQ dd)( 2L3L321 DDD ,2D .3D的 閉 曲 線 圍 成 . xyO積 分 區(qū) 域 的 可 加 性 LD yQxPyxyPxQ dddd)( 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 8 L yQxP dd D yxyPxQ dd)( 321 dd)(DDD yxyPxQ yxyPxQ dd)( yxyPxQ dd)( yQxP dd yQxP dd LD yQxPyxyPxQ dddd)( yxyPxQ dd)(1D 2D3D yQxP dd1L 2L 3L DL 1L 2L3L1D 2D3D(L1, L2, L3對 D來 說 為 正 方 向 ) 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 91L 2L 3L(3) 對 復(fù) 連 通 區(qū) 域 證 明 : D yxyPxQ dd)(若 區(qū) 域 不 止 由 一 條 閉 曲 線 L yQxP dd 所 圍 成 . )dd( yQxP 2L( 3L 1L) D格 林 公 式且 邊 界 的 方 向 對 區(qū)的 曲 線 積 分 ,右 端 應(yīng) 包 括 沿 區(qū) 域 D的 全 部 邊 界域 D來 說 都 是 正 向 . LD yQxPyxyPxQ dddd)(對 復(fù) 連 通 區(qū) 域 D, (L1, L2, L3對 D來 說 為 正 方 向 ) 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 10 1L2L 3L(3) 對 復(fù) 連 通 區(qū) 域 證 明 :由 (2)知 D yxyPxQ dd)( 3L )0,0( CE ECAB BA若 區(qū) 域 不 止 由 一 條 閉 曲 線添 加 直 線 段 ,AB .CE則 D的 邊 界 曲 線 由 ,AB ,2L ,BA,AFC ,CE ,3L EC CGA及 構(gòu) 成 . L yQxP dd所 圍 成 .AB 2L BA AFC CE )dd( yQxP EC CGA )dd( yQxP 2L( 3L 1L) G FD CEAB(L1, L2, L3對 D來 說 為 正 方 向 )對 復(fù) 連 通 區(qū) 域 D, 格 林 公 式且 邊 界 的 方 向 對 區(qū)的 曲 線 積 分 ,右 端 應(yīng) 包 括 沿 區(qū) 域 D的 全 部 邊 界域 D來 說 都 是 正 向 . 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 11 便 于 記 憶 形 式 : .dddd LD yQxPyxQP yx 格 林 公 式 的 實 質(zhì)之 間 的 聯(lián) 系 .溝 通 了 沿 閉 曲 線 的 積 分 與 二 重 積 分 LD yQxPyxyPxQ dddd)( 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 12 L xyyx dd (1) 計 算 平 面 的 面 積3. 簡 單 應(yīng) 用 LD yQxPyxyPxQ dddd)(格 林 公 式 .dd21 L xyyxA y x得 D yxdd2閉 區(qū) 域 D的 面 積 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 13 O xy 例 求 橢 圓解 由 公 式得 tttabA d)sin(cos21 220 2 .ab D所 圍 成 的 面 積 . L xyyxA dd21 20,sin,cos ttbytax 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 14 對 平 面 閉 曲 線 上 的 對 坐 標 曲 線 積 分 ,yPxQ 當(dāng) 比 較 簡 單 時 ,常 常 考 慮 通 過 格 林公 式 化 為 二 重 積 分 來 計 算 . DL yxyPxQyQxP dd)(dd 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 15D 計 算 .d)(d)3( L xyxyyxL是 圓 周 : 如 把 圓 周 寫 成 參 數(shù) 方 程 :,cos31 x再 將 線 積 分 化 為 定 積 分 計 算 ,用 格 林 公 式 易 求 .分 析 sin34y )20( 則 過 程 較 麻 煩 .9)4()1( 22 yx解 ,)( yxP 設(shè) yxQ 3由 格 林 公 式 3xQ,1yP D yxdd2 .18 L xyxyyx d)(d)3( O xy(2) 簡 化 曲 線 積 分 的 計 算例 DL yxyPxQyQxP dd)(dd 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 162.1 L yy yyxxyxI ,d)2e(de 3計 算其 中 L為 圓 周 xyx 222 解 ,eyP yxxyQ y 2e3 ,eyyP yyxQ e3 3yyPxQ 由 格 林 公 式 有 DL yxyPxQyQxP dd)(ddI 對 稱 性的 正 向 . O xy yxyD dd3 .0 D 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 17 則 曲 線 積 分為 取 正 向 的 圓 周設(shè) ,922 yxL L yxxxyxy ).(d)4(d)22( 2 18解 ,22 yxyP 設(shè) xxQ 42 由 格 林 公 式 42 xxQ,22 xyP L yxxxyxy d)4(d)22( 2 D yxxx dd)2242( D yxdd2 .18 DL yxyPxQyQxP dd)(dd 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 18 例 計 算 ,d)cose(d)sine( ymyxmyy xAO x .22 axyx 分 析但 由 myQ x cosexQ yP可 知 yPxQ 非 常 簡 單 .m,cose yx myx cose,sine myyP x 其 中 AO是 從 點 A(a,0)到 點 O(0,0)的 上 半 圓 周此 積 分 路 徑 AO不 是 閉 曲 線 ! O xy )0,(aA 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 19 O xy為 應(yīng) 用 格 林 公 式 再 補 充 一 段 曲 線 ,因 在 補 充 的 曲 線 上 還 要 算 曲 線 積 分 ,補 充 的 曲 線 要 簡 單 , 使 之 構(gòu) 成閉 曲 線 . 所 以因 而 這 里 補 加 直 線 段直 線 段 . 通 常 是 補 充 與 坐 標 軸 平 行 的 L不 閉 合 + 邊 L , 使 L+ L閉 合 , 再 用 格 林 公 式 .由 格 林 公 式 D yxm dd ymyxmyy xOAAO x d)cose(d)sine( 281 am解 .OA axy 0,0OA的 方 程 為 a x0 d0故 0所 以 , I .81 2am 081 2amAO OA OA0 0 0myPxQ ymyxmyy xOA x d)cose(d)sine( )0,(aA 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 20 L xyyx d2d則 曲 線 積 分 222 yx設(shè) L為 正 向 圓 周 在 第 一 象 限 中 的 部 分 ,的 值 為 ( ).23解 L xyyx d2d 2121 LLLLL 00dd3 D yx 3 yPxQ4)2(3 2 .23 LO xy 22 2L1L DL yxyPxQyQxP dd)(dd D 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 210 (3) 二 重 積 分 化 為 線 積 分 計 算則 yPxQ解 令 ,0P 2e yxQ 例 為 頂 點 的 D y yx ,dde 2計 算 是其 中 D)1,0(),1,1(),0,0( BAO以 LD yQxPyxyPxQ dddd)(格 林 公 式 D y yxdde 2 BOABOA y yx de 2 OA y yx de 2 AB y yx de 2 BO y yx de 22e y ).e1(21 1 10 de 2 xx x 0 0 0 O x y 11 ABD三 角 形 閉 區(qū) 域 . 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 22 解 記 L所 圍 成 的 閉 區(qū) 域 為 D,其 中 L為 一 條 無 重 點 ,分 段 光 滑 且 不 經(jīng) 過 原 點 的 連 續(xù) 閉 曲 線 , L的 方 向 為例 L yx xyyx ,dd 22計 算令 ,22 yx yP 22 yx xQ ,022 時則 當(dāng) yx有 xQ yP222 22 )( yx xy 逆 時 針 方 向 . 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 23L L yx xyyx 22 dd即 L為 不 包 圍 原 點 的 任 一 閉 曲 線 .即 L為 包 圍 原 點 在 內(nèi) 的 任 一閉 曲 線 .由 格 林 公 式 ,)0,0()1( 時當(dāng) D ,)0,0()2( 時當(dāng) D應(yīng) 用 由 格 林 公 式 , 得 LD yQxPyxyPxQ dddd)(0yPxQ 作 位 于 D內(nèi) 圓 周 222: ryxl D L xyO D1rl xyOP、 Q在 閉 區(qū) 域 D上 具 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) ;曲 線 L是 封 閉 的 , 并 且 取 正 向 .記 D1由 L和 l所 圍 成 , L yx xyyx ,dd 22計 算 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 24 L yx xyyx 22 dd 20 2 2222 dsincos r rr L yx xyyx 22 dd.2 yxyPxQ dd 所 以0 0 l yx xyyx 22 dd sincosry rx1D yPxQ l yx xyyx 22 dd 222: ryxl 其 中 l 的 方 向 取逆 時 針 方 向 L1Drl xyO注 意 格 林 公 式 的 條 件對 復(fù) 連 通 區(qū) 域 D, 格 林 公 式 右 端 應(yīng) 包 括 沿且 邊 界 的 方 向區(qū) 域 D的 全 部 邊 界 的 曲 線 積 分 ,對 區(qū) 域 D來 說 都 是 正 向 . 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 25 解 記 L與 l 圍 成 的 閉 區(qū) 域 為 D1.設(shè) L為 圓 周在 L內(nèi) 部 作 有 向 橢 圓 l:順 時 針 方 向 .例 L yx yxxyI .4 dd 22求,022 時當(dāng) yx xQyP .422 的 正 向 yx 4: 22 yxLl xyO,4 222 yx l的 方 向 為1DI L yx yxxy 224 ddl l yx yxxy 224 dd而 lL yx yxxy 224 dd 格 林 公 式 yxyPxQD dd)(1 0 0l yx yxxy 224 dd cos2x siny 20 2 )sin(dcos2)cos2(dsin 法 一 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 26 l yx yxxy 224 dd 20 2 )sin(dcos2)cos2(dsin dcos2sin220 2 2222 20 d21 221 I所 以 0 .法 二 l yx yxxy 224 dd l yxxy dd12 yxD dd)11(1 22 2)2(1 22 4: 22 yxLl xyO 1DD2是 由 l 所 圍 區(qū) 域2224 yx 2224: yxl格 林 公 式2D l yxxy dd 2 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 27O x y 0 sin de yy D 研 究 生 考 題 (數(shù) 學(xué) 一 )(10分 )已 知 平 面 區(qū) 域 ,0,0),( yxyxDL為 D的 正 向 邊 界 .試 證 : ;dededede)1( sinsinsinsin L xyL xy xyyxxyyx .2dede)2( 2sinsin L xy xyyx證 左 邊 = L0 sin de yy ,)dee( 0 sinsin xxx右 邊 = 0 sin de xx,)dee( 0 sinsin xxx法 一 0 sin de xxxxxx(1) 2ee sinsin xx L xyL xy xyyxxyyx dededede sinsinsinsin 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 28 .2dede)2( 2sinsin L xy xyyx 0 sinsin )dee( xxx已 知 平 面 區(qū) 域 ,0,0),( yxyxDL為 D的 正 向 邊 界 .試 證 : ;dededede)1( sinsinsinsin L xyL xy xyyxxyyx證 (2) 由 于 ,2ee sinsin xx故 由 (1)得 L xy xyyx dede sinsin .2 2研 究 生 考 題 (數(shù) 學(xué) 一 )(10分 ) 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 29 證 法 二 (1) 根 據(jù) 格 林 公 式 , 得左 邊 =右 邊 = ,d)ee( sinsin xD y ,d)ee( sinsin xD y 因 為 D關(guān) 于 xy 對 稱 , 所 以 d)ee( sinsin xD y d)ee( sinsin xD y O xy D L LD yQxPyxyPxQ dddd)(研 究 生 考 題 (數(shù) 學(xué) 一 )(10分 ).2dede)2( 2sinsin L xy xyyx已 知 平 面 區(qū) 域 ,0,0),( yxyxDL為 D的 正 向 邊 界 .試 證 : ;dededede)1( sinsinsinsin L xyL xy xyyxxyyx L xyL xy xyyxxyyx dededede sinsinsinsin 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 30 證 法 二 由 (1)知 L xy xyyx dede sinsind)ee( sinsin xD y d)ee( sinsin xD x d2 D .2 2 L xy xyyx dede sinsin d)ee( sinsin xD y d)ee( sinsin xD y L xy xyyx dede sinsin + +研 究 生 考 題 (數(shù) 學(xué) 一 )(10分 ).2dede)2( 2sinsin L xy xyyx已 知 平 面 區(qū) 域 ,0,0),( yxyxDL為 D的 正 向 邊 界 .試 證 : ;dededede)1( sinsinsinsin L xyL xy xyyxxyyx 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 31 G 1 ddL yQxP 2 ddL yQxP B如 果 在 區(qū) 域 G內(nèi) 有二 、 平 面 上 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān)的 條 件 A L1 L21. 平 面 上 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 的 定 義否 則 與 路 徑 有 關(guān) .則 稱 曲 線 積 分 L yQxP dd 在 G內(nèi) 與 路 徑 無 關(guān) , xyO 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 32 2.平 面 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) 的 條 件定 理 10.5的 各 分 量 在 區(qū) 域 D上 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) ,則 以 下 三 個(1)對 D中 任 意 分 段 光 滑 的 閉 曲 線 L, 總 有;0d),(d),( yyxQxyxPL(2)曲 線 積 分 yyxQxyxPL d),(d),( 在 D內(nèi) 與(3) yyxQxyxP d),(d),( 在 D內(nèi) 是 某 個 二 元函 數(shù) 的 全 微 分 ,即 存 在 u(x, y), 使 得路 徑 無 關(guān) ; .d),(d),(),(d yyxQxyxPyxu ),(),(),( yxQyxPyxF 設(shè) 向 量 函 數(shù)命 題 等 價 ： 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 33 證 定 理 中 的 三 個 條 件 互 為 充 要 條 件 . 證 明 方 式 :)2()1( 0d),(d),( yyxQxyxPL 在 D內(nèi) 與 路 徑 無 關(guān) . DA BL1L 2如 圖 , 在 (1)的 條 件 下 yyxQxyxPL d),(d),( 0 yyxQxyxP d),(d),( yyxQxyxP d),(d),( 1L2L yyxQxyxPL d),(d),(2 于 是 ,yyxQxyxPL d),(d),(1 .d),(d),(2 yyxQxyxPL yyxQxyxPL d),(d),( )1()3()2()1( 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 34 :)3()2( 由 條 件 (2)yyxQxyxPAB d),(d),( yyxQxyxP d),(d),( ),( 00 yx ),( yx),( yxu只 需 證 xu yu由 偏 導(dǎo) 定 義 limxu ),(),( yxuyxxu x0 x ),( yxxu yyxQxyxP d),(d),( ),( 00 yx ),( yxx 在 D內(nèi) 與 路 徑 無 關(guān)yyxQxyxPL d),(d),( yyxQxyxPyxu d),(d),(),(d 設(shè) A(x0, y0), B(x, y)是 D內(nèi) 任 意 兩 點 , 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 35 ),( yxx xyO D ),( yxxM yyxQxyxP d),(d),( ),( yx yyxQxyxP d),(d),( ),( yx ),( yxPxu 于 是 , ),( yxxu ),( yxu xyxP d),( xyxxP ),( 積 分 中 值 定 理0lim xxu ),( yxxP ),( yxPP連 續(xù)同 理 可 證 ),( yxQyu 所 以 , ),( yxxu yyxQxyxP d),(d),( ),( 00 yx ),( yxx .d),(d),(),(d yyxQxyxPyxu xx x),( 00 yx ),( yxu ),( yxB),( 00 yxA 0 ）（ 10 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 36 :)1()3( 不 妨 設(shè) 封 閉 曲 線其 參 數(shù) 方 程 為 ),(),( tyytxx ,10 ttt ),(),( 00 tytx )(),( 11 tytx 都 對 應(yīng) A點 , 則 ACBA yyxQxyxP d),(d),( 10 d)()(),()()(),(tt ttytytxQtxtytxP易 證 )()(),()()(),()(),( tytytxQtxtytxPtytxu 是原 函 數(shù) . )(),()(),( 0011 tytxutytxu )()( AuAu .0yyxQxyxPyxu d),(d),(),(d .0d),(d),( yyxQxyxPLACBA是 光 滑 的 , 化 為 定 積 分 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 37 推 論 10.1(曲 線 積 分 的 基 本 定 理 )積 分 L rF d區(qū) 域 G內(nèi) 的 一 個 向 量 場 , ),(),(),( yxQyxPyxF 設(shè) 向 量 函 數(shù)續(xù) , 是 平 面P(x, y)及 Q(x, y)都 在 G內(nèi) 連且 存 在 一 個 數(shù) 量 函 數(shù) f (x, y),使 得 ,fF 則 曲 線在 G內(nèi) 與 路 徑 無 關(guān) , 且 ).()(d AfBfrFL 其 中 L為 位 于 區(qū) 域 G內(nèi) 起 點 為 A、 終 點 為 B的 任 意 分分 段 光 滑 曲 線 . 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 38 定 理 10.6下 兩 個 命 題 等 價 ：(1)曲 線 積 分 yyxQxyxPL d),(d),( 在 D內(nèi) 與xQyP (2) 在 D內(nèi) 恒 成 立 .路 徑 無 關(guān) ;的 各 分 量 在 單 連 通 區(qū) 域 D上 有 一 階 連 續(xù) 偏 導(dǎo) 數(shù) , ),(),(),( yxQyxPyxF 設(shè) 向 量 函 數(shù) 則 以證 在 D內(nèi) 任 取 一 條 閉 曲 線 C, 都 有.0dd yQxPC格 林 公 式 CG yQxPyxyPxQ dddd閉 曲 線 C所 包 圍 的 區(qū) 域 G完 全 位 于 D內(nèi) ,:)2()1( 0 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 39 0dd yxyPxQGxQyP ,由 于 的 連 續(xù) 性 , 在 D內(nèi) 恒可 以 得 到 xQyP 成 立 . :)1()2( 在 D內(nèi) 任 取 一 條 閉 曲 線 C, 單 連 通 的 , 因 為 D是閉 曲 線 C所 包 圍 的 區(qū) 域 G完 全 位 于 D內(nèi) ,格 林 公 式 yxyPxQyQxP GC dddd 0所 以 , 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) . 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 40 例 計 算 曲 線 積 分 ,d)(d)21( 22 yyxxyxyL 其 中 L是 )1,1()0,0(222 到上 從yyx 的 一 段 有 向 弧 .xyO )1,1(B解 ,21),( 2yxyyxP ,)(),( 2yxyxQ yP )(2 yx xQ曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) . L上 述 定 理 的 簡 單 應(yīng) 用 ： (1) 簡 化 曲 線 積 分 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 41 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) . xyO )1,1(BL所 以可 以 用 有 向 折 線代 替 有 向 弧 L.如 圖 . 于 是 , ,d)(d)21( 22 yyxxyxyL yyxxyxy d)(d)21( 22 yyxxyxy d)(d)21( 22 10 dx 0 0 00 10 2d)1( yy .34 ,d)(d)21( 22 yyxxyxyL ).1,1()0,0(2: 22 到上 從yyxL ABOAL 1 0ABOA )0,1(A1 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 42xyO 解 .1523原 式 = yyxxxyx d)(d)2( 422 10 2dxx yy d)1(10 4 xyxxxQ 2)( 42 xxyxyyP 2)2( 2 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) .例 L yyxxxyx .d)(d)2( 422計 算 為其 中 L.2sin)1,1()0,0( xyBO 的 曲 線 弧到 點由 點 xQyP )0,0( )1,1( )1,1(B )0,1( 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 43 考 慮 表 達 式如 果 存 在 一 個 函 數(shù) yyxQxyxP d),(d),( ),( yxu 使 得),(d yxu則 稱 yyxQxyxP d),(d),( 并 將的 一 個稱 為 yyxQxyxPyxuu d),(d),(),( yyxQxyxP d),(d),( 全 微 分 式 ,為 一原 函 數(shù) . yyxQxyxP d),(d),()2( 求 的 原 函 數(shù) .定 理 的 簡 單 應(yīng) 用 ： 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 44 由例 ,ddd 2x xyyxxy .ddd 2y yxxyyx 可 知 : ,dd 2x xyyx 2 dd y yxxy 都 是 分 別 是 上 面 的,xy ,xy yx yxxyxy dd)(d ,dd yxxy 原 函 數(shù) .全 微 分 式 . 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 45 下 面 說 明 一 般 怎 樣 判 斷 全 微 分 式求 原 函 數(shù)xQyP 由 定 理 , yyxQxyxP d),(d),( 是 一 個 全 微 分 式 ,即 ),(d yxu yyxQxyxP d),(d),( (1) 判 斷 全 微 分 式 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 46 xQyP 若 ),( ),( 00 d),(d),(yx yx yyxQxyxP xyxPxx d),(0 0 ),( 0yxC ),( yxByyxQyy d),(0 0 D(x0, y) yyxQyy d),(0 xyxPxx d),(0或 則 O xy ),( 00 yxA(2) 求 原 函 數(shù)),( yxu ),( yxu ),( ),( 00 d),(d),(yx yx yyxQxyxPACBADB 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 47 例 ?d)2e(d)e( 是 否 為 全 微 分 式問 yyxxx yy 用 曲 線 積 分 求 其 一 個 原 函 數(shù) .如 是 ,解 在 全 平 面 成 立 .e xQyP y 所 以 上 式 是 全 微 分 式 . .e2 22 yxx y 因 而 一 個 原 函 數(shù) 是 ： 全 平 面 為 單 連 通 域 , yyxxxyxu yyx y d)2e(d)e(),( ),( )0,0( yyxy y d)2e(0 xxx d)e(0 0 xyO法 一 )0,(x(x,y) 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 48 這 個 原 函 數(shù) 也 可 用 下 法 “ 分 組 ” 湊 出 : 222ed yxx y .e2),( 22 yxxyxu y yyxxx yy d)2e(d)e( )dede( yxx yy )e(d yx )d2d( yyxx 222d yx ),( yxu法 二 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 49 因 為 函 數(shù) u滿 足 Pxxu y e故 yy 2)( 從 而所 以 , .2e),( 22 Cyxxyxu y 問 是 否 為 全 微 分 式 ?yyxxx yy d)2e(d)e( 用 曲 線 積 分 求 其 一 個 原 函 數(shù) .如 是 , xxu y d)e( 2e 2xxy )(y由 此 得 yx y 2e y的 待 定 函 數(shù)法 三 )(e yxy yu Cyyyy 2d2)( 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 50 解 ,2)( 2 xyxyyyP )()( xyxyxxQ ,),( 2xyyxP )(),( xyyxQ xQyP 積 分 與 路 徑 無 關(guān)設(shè) 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) ,yxyxxyL d)(d2 具 有 連 續(xù) 的 導(dǎo) 數(shù) ,其 中 ,0)0( 且 )1,1( )0,0( 2 .d)(d yxyxxy 計 算即 xyxy 2)( 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 51xyO 10 d0 x .21 (1,0) 10 dyy xyxy 2)( 由 Cxx 2)(0C知 2)( xx )1,1(設(shè) 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) ,yxyxxyL d)(d2 具 有 連 續(xù) 的 導(dǎo) 數(shù) ,其 中 ,0)0( 且 )1,1( )0,0( 2 .d)(d yxyxxy 計 算 )1,1( )0,0( 2 d)(d yxyxxy ,0)0( 由 )1,1( )0,0( 22 dd yyxxxy 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 52x yO法 二 )1,1( )1,1( )0,0( 2 d)(d yxyxxy )1,0( 10 d0 yy 10 2d1 xx0 1 022x .21 設(shè) 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) ,yxyxxyL d)(d2 具 有 連 續(xù) 的 導(dǎo) 數(shù) ,其 中 ,0)0( 且 )1,1( )0,0( 2 .d)(d yxyxxy 計 算 )1,1( )0,0( 22 dd yyxxxy 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 53 ),()( 在設(shè) 函 數(shù) xf 內(nèi) 具 有 一 階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) ,L是 上 半 平 面 (y 0)內(nèi) 的 有 向 分 段 光 滑 曲 線 ,為 (a, b), 終 點 為 (c, d). ,d1)(d)(11 222 yxyfyyxxxyfyyI L 記(1) 證 明 曲 線 積 分 I 與 路 徑 L無 關(guān) ;(2) 當(dāng) ab = cd 時 , 求 I 的 值 .證 )(11 2 xyfyyyyP 因 為 1)( 22 xyfyyxxxQ)(1)( 2 xyfxyyxyf 所 以 在 上 半 平 面 內(nèi) 曲 線 積 分 I 與 路 徑 L無 關(guān) .(1)例 其 起 點 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 54.badc 解(2) 由 于 曲 線 積 分 I 與 路 徑 L無 關(guān) , yxyfyyxxxyfyyI L d1)(d)(11 222 L是 上 半 平 面 (y 0)內(nèi) 的 有 向 分 段 光 滑 曲 線 ,起 點 (a, b), 終 點 (c, d). ),( dc所 以 xbxfbbI ca d)(11 2 ycyfyycdb d1)( 22 xbxbfbac ca d)( bcdcycyfcdb d)( ttfttfbadc cdbcbcab d)(d)( (2) 當(dāng) ab = cd 時 ,求 I 的 值 .0t t法 一 xyO ),( ba ),( bc 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 55 解(2) yxyfyyxxxyfyyI L d1)(d)(11 222 L是 上 半 平 面 (y 0)內(nèi) 的 有 向 分 段 光 滑 曲 線 ,起 點 (a, b), 終 點 (c, d).(2) 當(dāng) ab = cd 時 ,求 I 的 值 .法 二 I ,d)(d)( yxyxfxxyyfL 2dd y yxyxL badc 2dd y yxyxL 設(shè) F(x)為 f (x)的 一 個 原 函 數(shù) , 則 yxyxfxxyyfL d)(d)( )()( abFcdF.badcI 由 此 得 L yxd ),( ),( dc bayx ,0)d()( xyxyfL )dd()( yxxyxyfL 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 56 例 求 解 有 的 微 分 方 程 可 以 由 多 元 函 數(shù) 全 微 分 的 逆 運xyy (是 可 分 離 、解 將 方 程 寫 成因 為 左 端 是 全 微 分 式所 以 方 程 變 成得 通 解 .Cxy 三 、 全 微 分 方 程 又 是 齊 次 方 程 )(d xy算 解 出 . xyyx dd 0dd xyyx 0)(d xy 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 57 1. 定 義 0d),(d),( yyxQxyxP則 若 有 全 微 分 形 式如 0dd yyxx )(21),( 22 yxyxu 全 微 分 方 程或 恰 當(dāng) 方 程yyxx ddd 是 全 微 分 方 程 . .xQyP 所 以 0dd yyxx ),( yxu yyxQxyxPyxu d),(d),(),(d 全 微 分 方 程 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 58 2.解 法 0d),(d),( yyxQxyxP(1) 應(yīng) 用 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) ; xQyP 通 解 為 yyxQxyxPyxu yx yx d),(d),(),( ),( ),( 00 ,d),(d),( 00 0 xyxPyyxQ xxyy Cyxu ),(2) 用 直 接 湊 全 微 分 的 方 法 ; 全 微 分 方 程(3) 用 不 定 積 分 的 方 法 . yyxx yyxQxyxP 00 d),(d),( 0 ),( 0yxC ),( yxBD(x0, y) O xy ),( 00 yxA因 為 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 59 .1dd 32 的 通 解求 方 程 x yxxxy 解例 將 方 程 整 理 得,1 xQyP 0d)1(d)( 32 yxxyxx 全 微 分 方 程因 為 (1) 用 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān)),( yxu .43 43 xyyxx yx yxxxx 00 32 d)1(d)( yxxyxxyx d)1(d)(),( )0,0( 32 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 60 (2) 湊 微 分 法yd yd 0)43d( 43 xxxyy )dd( xyyx xx d2 xx d3 0)(d d d 0原 方 程 的 通 解 為 .43 43 Cxxxyy xy 33x 44x 0d)1(d)( 32 yxxyxx 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 61 (3) 不 定 積 分 法 yxxxu 32 xyxx 43 43yu yu又,1)( xyCx 1)( yC ,)( yyC 原 方 程 的 通 解 為 .43 43 Cxxxyy 0d)1(d)( 32 yxxyxx ),(yCx x1 )(yC xyxxyxu d)(),( 32因 為所 以所 以所 以 xu yu 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 62 .0d3d2 4 223 的 通 解求 方 程 yy xyxyx解 46yxyP 全 微 分 方 程將 左 端 重 新 組 合yy d12 .1 32 Cyxy 原 方 程 的 通 解 為 )1(d 32yxy 例 )d3d2( 423 yyxxyx xQ d dy1 32yx 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 63 格 林 公 式 LD yQxPyxyPxQ dddd)(四 、 小 結(jié)單 (復(fù) )連 通 區(qū) 域 的 概 念 格 林 公 式 的 應(yīng) 用格 林 公 式 的 實 質(zhì)的 聯(lián) 系 .溝 通 了 沿 閉 曲 線 的 積 分 與 二 重 積 分 之 間注 意 使 用 條 件 與 路 徑 無 關(guān) 的 等 價 命 題 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 64x yO思 考 題 .)( dd)0,1( )1,0( 2 yx xyyxI計 算 曲 線 積 分 .)0,1()1,0( 的 直 線 段至為 自 積 分 路 徑其 中 BAL 是 非 題解 因 為 xQyx xyyP 422 )(故 曲 線 積 分 與 路 徑 無 關(guān) . )1,0( A )0,1(B AO yx xyyxI 2)( dd OB yx xyyx 2)( dd 01 2)0( d0 yy 10 2)0( d0 x x 0 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 65 非 因 為 在 定 理 10.6中 ,要 求 所 考 慮 區(qū) 域 G是且 函 數(shù) P(x, y), Q(x, y)及 其 偏 導(dǎo) 數(shù) 在 G上對 本 題 來 說 ,當(dāng) 且 僅 當(dāng) ,時xy 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) ,上 述 解 法 中 點 (0,0)在 直 線 ,上xy 從 而.)( dd)0,1( )1,0( 2 yx xyyxI計 算 曲 線 積 分 為其 中 L.)0,1()1,0( 的 直 線 段至自 積 分 路 徑 BA xQyx xyyP 422 )(單 連 通 的 ,連 續(xù) , P、 Q及 其 偏不 滿 足 定 理 10.6的 條 件 . 10.3 格 林 公 式 及 其 應(yīng) 用 66 作 業(yè)習(xí) 題 冊完 全 掌 握 課 后 題