2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案 北師大版選修2-1 知識(shí)與技能目標(biāo)理解橢圓的概念，掌握橢圓的定義、會(huì)用橢圓的定義解決實(shí)際問題；理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程及化簡(jiǎn)無理方程的常用的方法；了解求橢圓的動(dòng)點(diǎn)的伴隨點(diǎn)的軌跡方程的一般方法 過程與方法目標(biāo)（1）預(yù)習(xí)與引入過程當(dāng)變化的平面與圓錐軸所成的角在變化時(shí)，觀察平面截圓錐的截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是什么圖形？又是怎么樣變化的？特別是當(dāng)截面不與圓錐的軸線或圓錐的母線平行時(shí)，截口曲線是橢圓，再觀察或操作了課件后，提出兩個(gè)問題：第一、你能理解為什么把圓、橢圓、雙曲線和拋物線叫做圓錐曲線；第二、你能舉出現(xiàn)實(shí)生活中圓錐曲線的例子當(dāng)學(xué)生把上述兩個(gè)問題回答清楚后，要引導(dǎo)學(xué)生一起探究P41頁(yè)上的問題（同桌的兩位同學(xué)準(zhǔn)備無彈性的細(xì)繩子一條（約10cm長(zhǎng)，兩端各結(jié)一個(gè)套），教師準(zhǔn)備無彈性細(xì)繩子一條（約60cm，一端結(jié)個(gè)套，另一端是活動(dòng)的），圖釘兩個(gè)）當(dāng)套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出的圖形是橢圓啟發(fā)性提問：在這一過程中，你能說出移動(dòng)的筆小（動(dòng)點(diǎn)）滿足的幾何條件是什么？板書211橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）新課講授過程（i）由上述探究過程容易得到橢圓的定義板書把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓（ellipse）其中這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為時(shí)，橢圓即為點(diǎn)集（ii）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程提問：已知圖形，建立直角坐標(biāo)系的一般性要求是什么？第一、充分利用圖形的對(duì)稱性；第二、注意圖形的特殊性和一般性關(guān)系 無理方程的化簡(jiǎn)過程是教學(xué)的難點(diǎn)，注意無理方程的兩次移項(xiàng)、平方整理 設(shè)參量的意義：第一、便于寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二、的關(guān)系有明顯的幾何意義 類比：寫出焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（iii）例題講解與引申例1 已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義及給出的條件，容易求出引導(dǎo)學(xué)生用其他方法來解另解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因點(diǎn)在橢圓上，則例2 如圖，在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的軌跡是什么？分析：點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)移動(dòng)引起點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的伴隨點(diǎn)，因點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)可由點(diǎn)來表示，從而能求點(diǎn)的軌跡方程引申：設(shè)定點(diǎn)，是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程解法剖析：（代入法求伴隨軌跡）設(shè)，；（點(diǎn)與伴隨點(diǎn)的關(guān)系）為線段的中點(diǎn)，；（代入已知軌跡求出伴隨軌跡），點(diǎn)的軌跡方程為；伴隨軌跡表示的范圍例3如圖，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，求點(diǎn)的軌跡方程分析：若設(shè)點(diǎn)，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關(guān)系式，即得到點(diǎn)的軌跡方程解法剖析：設(shè)點(diǎn)，則，；代入點(diǎn)的集合有，化簡(jiǎn)即可得點(diǎn)的軌跡方程引申：如圖，設(shè)的兩個(gè)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在移動(dòng)，且，且，試求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程引申目的有兩點(diǎn)：讓學(xué)生明白題目涉及問題的一般情形；當(dāng)值在變化時(shí)，線段的角色也是從橢圓的長(zhǎng)軸圓的直徑橢圓的短軸 情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過作圖展示與操作，必須讓學(xué)生認(rèn)同：圓、橢圓、雙曲線和拋物線都是圓錐曲線，是因它們都是平面與圓錐曲面相截而得其名；必須讓學(xué)生認(rèn)同與體會(huì)：橢圓的定義及特殊情形當(dāng)常數(shù)等于兩定點(diǎn)間距離時(shí)，軌跡是線段；必須讓學(xué)生認(rèn)同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的兩個(gè)原則，及引入?yún)⒘康囊饬x，培養(yǎng)學(xué)生用對(duì)稱的美學(xué)思維來體現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧美；讓學(xué)生認(rèn)同與領(lǐng)悟：例1使用定義解題是首選的，但也可以用其他方法來解，培養(yǎng)學(xué)生從定義的角度思考問題的好習(xí)慣；例2是典型的用代入法求動(dòng)點(diǎn)的伴隨點(diǎn)的軌跡，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維方法，會(huì)用分析、聯(lián)系的觀點(diǎn)解決問題；通過例3培養(yǎng)學(xué)生的對(duì)問題引申、分段討論的思維品質(zhì)能力目標(biāo)（1） 想象與歸納能力：能根據(jù)課程的內(nèi)容能想象日常生活中哪些是橢圓、雙曲線和拋物線的實(shí)際例子，能用數(shù)學(xué)符號(hào)或自然語(yǔ)言的描述橢圓的定義，能正確且直觀地繪作圖形，反過來根據(jù)圖形能用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和數(shù)學(xué)符號(hào)表示（2） 思維能力：會(huì)把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會(huì)把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法；培養(yǎng)學(xué)生的會(huì)從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力（3） 實(shí)踐能力：培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際動(dòng)手能力，綜合利用已有的知識(shí)能力（4） 數(shù)學(xué)活動(dòng)能力：培養(yǎng)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究、驗(yàn)證與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)能力（5） 創(chuàng)新意識(shí)能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑