乘法公式一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 要注意等式的特點(diǎn)： （1）等式的左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式的乘積，且這兩個(gè)二項(xiàng)式中，有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)； （2）等式的右邊是一個(gè)二項(xiàng)式，且為兩個(gè)因式中相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)的項(xiàng)的平方 值得注意的是，這個(gè)公式中的字母a，b可以表示數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式平方差公式可以作為多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的簡便公式，也可以逆用做為快速計(jì)算的工具 例下列各式中不能用平方差公式計(jì)算的是（） A（ab）（ab） B（a2b2）（a2b2） C（ab）（ab） D（b2a2）（a2b2） 解：根據(jù)上面平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，中，b是相同的項(xiàng)，a與a是性質(zhì)符號(hào)相反的項(xiàng)，故可使用；中a2是相同項(xiàng)，b2與b2是互為相反數(shù)符合公式特點(diǎn)；同樣也符合而中的兩個(gè)二項(xiàng)式互為相反數(shù)，不符合上述的等式的特征，因此不可使用平方差公式計(jì)算 例運(yùn)用平方差公式計(jì)算： （）（ x2y）（y x2）； （）（a3）（a29）（a3） 解：（）（ x2y）（y x2） （y x2）（y x2） (y)2（ x2）2 y2 x4 ； （）（a3）（a29）（a3） （a3）（a3）（a29） （a232）（a 29） （a29）（a29） a481 例計(jì)算： （）54.5245.52 ； （）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1) 分析：（）中的式子具有平方差公式的右邊的形式，可以逆用平方差公式；（）雖然沒有明顯的符合平方差公式的特點(diǎn)，值得注意的是，平方差公式中的字母a，b可以表示數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，我們可以把2x2+1看做公式中字母a，以便能夠利用公式正如前文所述，利用平方差可以簡化整式的計(jì)算解：（）54.5245.52 （54.545.5）(54.545.5) 1009 900 ； （）(2x2+3x+1)(2x2-3x+1) =(2x2+1)2-(3x)2 =4x4+4x2+1-9x2 =4x4-5x2+1 二、完全平方公式： (ab)2a 22abb 2(ab)2a 22abb 2二項(xiàng)式的平方，等于其中每一項(xiàng)（連同它們前面的符號(hào)）的平方，加上這兩項(xiàng)積的兩倍 完全平方公式是計(jì)算兩數(shù)和或差的平方的簡算公式，在有關(guān)代數(shù)式的變形和求值中應(yīng)用廣泛正確運(yùn)用完全平方公式就要抓住公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過與平方差公式的類比加深理解和記憶運(yùn)用中要防止出現(xiàn)（ab）2a2b2，或（ab）2a22abb2等錯(cuò)誤 需要指出的是，如同前面的平方差公式一樣，這里的字母a，b可以表示數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式 例利用完全平方公式計(jì)算： （）（3a5）2 ； （）（abc）2 分析：有關(guān)三項(xiàng)式的平方可以看作是二項(xiàng)式的平方，如（abc）2（ab）c2或a（bc）2，通過兩次應(yīng)用完全平方公式來計(jì)算 解：（）（3a5）2 （3a）22（3a）5 5 2 9a2 30a 25 （）（abc）2 （ab）c2 （ab）2 2（ab）c + c2 a 22abb 22ac2bc + c2 a 2b 2+ c22ac2ab2bc 例利用完全平方公式進(jìn)行速算. (1)1012 (2)992 解: (1)1012 分析:將1012變形為(100+1)2原式可 =(100+1)2 利用完全平方公式來速算. =1002+21001+12 =10201 解: (2)992 分析:將992變形為(100-1)2原式可 =(100-1)2 利用完全平方公式來速算. =1002-21001+12 =9801 例計(jì)算： （）99298100；（）49512 499 解：（）99298100 （100）298100 10021009800 10000 2009800 ； （）49512499 （501）（50）2499 250012499 例已知ab8，ab10，求a2b2，（ab）2的值 分析：由前面的公式變形可以知道：a 2 b 2(ab)22ab，(ab)2(ab)24ab 解：由于a 2 b 2(ab)22ab，(ab)2(ab)24ab而ab8，ab10 所以 a 2 b 2(ab)22ab 82 2 10 44 (ab)2(ab)24ab82 4 10 24 三：練習(xí) 1利用乘法公式進(jìn)行計(jì)算： (1) (x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1) (2) (3x+2)2-(3x-5)2(3) (x-2y+1)(x+2y-1) (4) (2x+3y)2(2x-3y)2(5) (2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2 (6) (x2+x+1)(x2-x+1) 解：(1) 原式=(x2-1)(x2+1)(x4+1) =(x4-1)(x4+1) =x8-1. (2)解法1：原式=(9x2+12x+4) -(9x2-30x+25) =9x2+12x+4-9x2+30x-25 =42x-21 解法2：原式=(3x+2)+(3x-5)(3x+2) -(3x-5) =(6x-3)7 =42x-21. (3)原式=x-(2y-1)x+(2y-1) =x2-(2y-1)2 =x2-(4y2-4y+1) =x2-4y2+4y-1 (4)原式=(2x+3y)(2x-3y)2 =(4x2-9y2)2 =16x4-72x2y2+81y4 (5) 原式=(2x+3) -(3x-2)2 =(-x+5)2 =x2-10x+25 (6) 原式=(x2+1)+x(x2+1) -x =(x2+1)2-x2 =(x4+2x2+1) -x2 =x4+x2+1 2已知：a+b=5, ab=3，求：(1) (a-b)2 ；(2) a2+b2 ； 解：(1) (a-b)2=(a+b)2-4ab =52-43 =13 (2) a2+b2=(a+b)2-2ab =52-23 =19. 在線測(cè)試選擇題1在下列多項(xiàng)式的乘法中，可以用平方差公式計(jì)算的是（） A、(x+1)(1+x) B、( a+b)(b- a) C、(-a+b)(a-b) D、(x2-y)(x+y2) 2下列各式計(jì)算正確的是（） A、(a+4)(a-4)=a2-4 B、(2a+3)(2a-3)=2a2-9 C、(5ab+1)(5ab-1)=25a2b2-1 D、(a+2)(a-4)=a2-8 3(- x+2y)(- x-2y)的計(jì)算結(jié)果是（） A、 x2-4y2 B、4y2- x2 C、 x2+4y2 D、- x2-4y2 4(abc+1)(-abc+1)(a2b2c2+1)的結(jié)果是（）。 A、a4b4c4-1 B、1-a4b4c4 C、-1-a4b4c4 D、1+a4b4c4 5下列各式計(jì)算中，結(jié)果錯(cuò)誤的是（ ） A、a(4a+1)+(2a+b)(b-2a)=a+b2. B、 C、m2-(5m+3n)(5m-3n)+6(2m-n)(n+2m)=3n2 D、 答案與解析答案：1、B 2、C 3、A 4、B 5、D解析：1B ( a+b)(b- )=(b+ a)(b- a).符合平方差公式的特點(diǎn)，故選B。 2C(a+4)(a-4)=a2-42=a2-16, 故A錯(cuò)； (2a+3)(2a-3)=(2a)2-32=4a2-9，故B錯(cuò)。 (5ab+1)(5ab-1)=(5ab)2-12=25a2b2-1，故C正確； (a+2)(a-4)=a2+(2-4)a+2(-4)=a2-2a-8，故D錯(cuò)。 3A原式=(- x)2-(2y)2= x2-4y2. 4B原式=(1+abc)(1-abc)(1+a2b2c2) =12-(abc)2(1+a2b2c2) =(1-a2b2c2)(1+a2b2c2) =1-a4b4c4. 5D 才正確，差一個(gè)符號(hào)。 中考解析：乘法公式平方差公式考點(diǎn)掃描: 熟練掌握平方差公式，靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算 名師精講: 1平方差公式：(a+b）(ab)=a2b2即兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差平方差公式的左邊是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，而右邊正好是這兩個(gè)數(shù)的平方差 2平方差公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式 中考典例: 1（湖北武漢）觀察下列各式(x1)(x+1)=x21,(x1)(x2+x+1)=x31，(x1)(x3+x2+x+1)=x41，根據(jù)前面各式的規(guī)律可得(x1)(xn+xn1+x+1)=_ 考點(diǎn)：平方差公式的延伸 評(píng)析：該題是一個(gè)探索規(guī)律性的試題，要通過觀察把握住給出的等式中的不變量和變量與變量間的變化規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)其結(jié)果為xn+11 真題專練: 1（廣東?。┗啠?x+y)(xy)x2= 2（德陽市）化簡：x2(x+y)(xy) 答案：1、原式=x2y2x2=y2 2、原式=x2(x2y2)=x2x2+y2=y2 完全平方公式考點(diǎn)掃描: 熟練掌握完全平方公式，靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算 名師精講: 1完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2，即：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或者減去）它們的積的2倍 2公式中的字母a、b，可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式公式可推廣：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即三個(gè)數(shù)的和的平方，等于各個(gè)數(shù)的平方和加上每兩個(gè)數(shù)的積的2倍 3如果一個(gè)多項(xiàng)式能化成另一個(gè)多項(xiàng)式的平方，就把這個(gè)多項(xiàng)式叫做完全平方式如，a22ab+b2=(ab)2；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2，則a22ab+b2和a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式 中考典例: 1（北京西城區(qū)）下列各式計(jì)算正確的是（ ） A、(x1)2=x22x+1B、(x1)2=x21 C、x3+x3=x6D、x6x3=x2 考點(diǎn)：完全平方公式及冪的運(yùn)算性質(zhì) 評(píng)析：該題是考查學(xué)生對(duì)公式及冪的運(yùn)算法則掌握的情況，所以解決此題就要對(duì)公式特別是完全平方公式及冪的運(yùn)算法則掌握熟練，由完全平方公式(ab)2=a22ab+b2可以判定A對(duì)，B不對(duì)，由整式的加減可判定C不對(duì)，再根據(jù)同底數(shù)冪除法的法則確定D也不對(duì)，因此只有選A 說明：當(dāng)該題確定A選項(xiàng)后，其他選項(xiàng)也可以不考慮，因?yàn)閿?shù)學(xué)試題中一般不會(huì)出現(xiàn)多選題 真題專練: 1(上海市)下列計(jì)算中，正確的是（ ） A、a3a2=a6B、(a+b)(ab)=a2b2 C、(a+b)2=a2+b2 D、(a+b)(a2b)=a2ab4b2 2（湖南長沙）下列關(guān)系式中，正確的是（ ） A、(ab)2=a2b2B、(a+b)(ab)=a2b2 C、(a+b)2=a2+b2D、(a+b)2=a22ab+b2 3（德陽市）已知x(x1)(x2y)=3求： 的值 答案：1、B2、B3、由x(x1)(x2y)=3得xy=3， = = 當(dāng)xy=3時(shí)，原式= 課外拓展：乘法公式漫談初一要學(xué)習(xí)兩個(gè)乘法公式，即平方差公式和完全平方公式，初學(xué)者對(duì)于各乘法公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義往往不易掌握，運(yùn)用時(shí)容易混淆，因此要學(xué)習(xí)好乘法公式，必須注意以下幾點(diǎn) 一、注意乘法公式的推導(dǎo) 乘法公式是直接計(jì)算特殊的多項(xiàng)式乘法得來的，即： 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2； 完全平方公式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 由此可見，理解乘法公式要與多項(xiàng)式乘法聯(lián)系起來，這樣對(duì)公式才理解的深、記得準(zhǔn)、記得牢，一旦把公式忘記了，自己也可以把公式推導(dǎo)出來 二、注意掌握乘法公式的結(jié)構(gòu)特征 乘法公式的結(jié)構(gòu)特征是各公式的本質(zhì)所在在學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察其結(jié)構(gòu)特征，并會(huì)用語言加以表述 平方差公式：(a+b)(a-b)a2-b2； 結(jié)構(gòu)特征：公式的左邊是兩個(gè)數(shù)和與這兩個(gè)數(shù)差的積，而右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方差 完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2. 結(jié)構(gòu)特征：公式的左邊是兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，而右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的2倍 三、注意弄清乘法公式中的字母含義 公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式，只要符合公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以利用公式例如： (2m+5n)(2m-5n)=(2m)2-(5n)2=4m2-25n2. (4x+3y)2=(4x)2+24x3y+(3y)2=16x2+24xy+9y2. 四、注意運(yùn)用公式容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤 在學(xué)習(xí)中不少同學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)如下錯(cuò)誤： (1)(a+b)(a+b)=a2+b2； (2)(a+b)2a2+b2；(a-b)2a2-b2 錯(cuò)誤(1)的原因是模仿平方差公式所至，切記只有平方差公式，沒有平方和公式；錯(cuò)誤(2)的原因是與積的平方(ab)2=a2b2相混淆對(duì)于這些錯(cuò)誤，同學(xué)們只要利用多項(xiàng)式的乘法計(jì)算一下，即可得到驗(yàn)證 五、注意掌握公式的形式變形 平方差公式的常見變形： (1)位置變化：(a+b)(-b+a)_； (2)符號(hào)變化：(-a-b)(a-b)=_； (3)系數(shù)變化：(3a+2b)(3a-2b)_； (4)指數(shù)變化：(a3+b2)(a3-b2)_； (5)項(xiàng)數(shù)變化：(a+2b-c)(a-2b+c)=_； (6)連用變化：(a+b)(a-b)(a2+b2)=_. 只要掌握了平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，這些變形即可得解。 完全平方公式的常見變形： (1)a2+b2(a+b)2-2ab(a-b)2+2ab； (2)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)； (3)(a+b)2-(a-b)24ab 這些變形應(yīng)用十分廣泛，因而要熟記這些變形公式 六、注意公式的靈活運(yùn)用 1連續(xù)運(yùn)用乘法公式 例1計(jì)算(x+3)(x-3)(x2+9) 解：原式(x2-9)(x2+9)x4-81 例2計(jì)算(m+n)(m-n)(m2-n2) 解：原式=(m2-n2)(m2-n2)(m2-n2)2m4-2m2n2+n4 說明：例1是兩次運(yùn)用平方差公式；例2是先運(yùn)用平方差公式，再運(yùn)用完全平方公式 2靈活選用乘法公式 例3計(jì)算(x+3y)(x-3y)2 分析：本題若先根據(jù)積的乘方性質(zhì)，再用完全平方公式計(jì)算比較復(fù)雜，而先用平方差公式，再運(yùn)用完全平方公式，簡捷明快，富有較強(qiáng)的靈活性 解：原式=(x2-9y2)2=x4-18x2y2+81y4. 3逆用乘法公式 例4計(jì)算(1-y)2-(1+y)2 分析：本題的常規(guī)解法是先用完全平方公式將(1-y)2和(1+y)2展開，再合并同類項(xiàng)，若能想到平方差公式逆用，其解法非常簡便。 解：原式=(1-y)+(1+y)(1-y)-(1+y)=-4y. 4變形運(yùn)用乘法公式 例5已知x+y=4，且x-y=10，則2xy=_.(天津市中考題) 分析：本題的常規(guī)解法是解二元一次方程組，而運(yùn)用完全平方公式的變形公式求解，會(huì)更巧妙、靈活。 解： 4xy=(x+y)2-(x-y)2=16-100=-84. 2xy=-42.