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2019-2020 年高中物理 3.5 共點(diǎn)力的平衡條件 2 教案 粵教版必修 1 【本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 共點(diǎn)力平衡的幾種解法 二. 知識要點(diǎn)： （一）共點(diǎn)力的平衡： 1. 共點(diǎn)力：作用在物體的同一點(diǎn)，或作用線相交于一點(diǎn)的幾個力。 2. 平衡狀態(tài)：物體保持勻速直線運(yùn)動或靜止叫平衡狀態(tài)。 3. 共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件為：或 （二）共點(diǎn)力平衡的幾種解法 1. 力的合成、分解法：對于三力平衡，一般根據(jù)“任意兩個力的合力與第三個力等大反 向”的關(guān)系，借助三角函數(shù)、相似三角形等手段求解；或?qū)⒛骋粋€力分解到另外兩個力的 反方向上，得到的這兩個分力勢必與另外兩個力等大、反向；對于多個力的平衡，利用先 分解再合成的正交分解法。 2. 矢量三角形法：物體受同一平面內(nèi)三個互不平行的力作用平衡時，這三個力的矢量箭 頭首尾相接，構(gòu)成一個矢量三角形；反之，若三個力矢量箭頭首尾相接恰好構(gòu)成三角形， 則這三個力的合力必為零，利用三角形法，根據(jù)正弦定理、余弦定理或相似三角形等數(shù)學(xué) 知識可求得未知力。 矢量三角形作圖分析法，優(yōu)點(diǎn)是直觀、簡便，但它僅適于處理三力平衡問題。 3. 相似三角形法：相似三角形法，通常尋找的是一個矢量三角形與三個結(jié)構(gòu)（幾何）三 角形相似，這一方法也僅能處理三力平衡問題。 4. 正弦定理法：三力平衡時，三個力可構(gòu)成一封閉三角形，若由題設(shè)條件尋找到角度關(guān) 系，則可用正弦定理列式求解。 5. 三力匯交原理：如果一個物體受到三個不平行外力的作用而平衡，這三個力的作用線 必在同一平面上，而且必為共點(diǎn)力。 6. 正交分解法：將各力分別分解到 x 軸上和 y 軸上，運(yùn)用兩坐標(biāo)軸上的合力等于零的條 件，多用干三個以上共點(diǎn)力作用下的物體的平衡，值得注意的是，對“x、y 方向選擇時， 盡可能使落在 x、y 軸上的力多；被分解的力盡可能是已知力。不宜分解待求力。 7. 動態(tài)作圖：如果一個物體受到三個不平行外力的作用而處于平衡，其中一個力為恒力， 第二個力的方向一定，討論第二個力的大小和第三個力的大小和方向。 三. 重難點(diǎn)分析： 1. 怎樣根據(jù)物體平衡條件，確定共點(diǎn)力問題中未知力的方向？ 在大量的三力體（桿）物體的平衡問題中，最常見的是已知兩個力，求第三個未知力。 解決這類問題時，首先作兩個已知力的示意圖，讓這兩個力的作用線或它的反向延長線相 交，則該物體所受的第三個力（即未知力）的作用線必定通過上述兩個已知力的作用線的 交點(diǎn)，然后根據(jù)幾何關(guān)系確定該力的方向（夾角） ，最后可采用力的合成、力的分解、拉密 定理、正交分解等數(shù)學(xué)方法求解。 2. 一個物體受到 n 個共點(diǎn)力作用處于平衡，其中任意一個力與其余（n-1）個力的合力 有什么關(guān)系？ 根據(jù)二力平衡條件，一個物體受 n 個力平衡可看作是任意一個力和其余（n-1）個力的 合力應(yīng)滿足平衡條件，即任意一個力和其余（n-1）個力的合力滿足大小相等、方向相反、 作用在同一直線上。 3. 怎樣分析物體的平衡問題 物體的平衡問題是力的基本概念及平行四邊形定則的直接應(yīng)用，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)力和 運(yùn)動關(guān)系的基礎(chǔ)。 （1）明確分析思路和解題步驟 解決物理問題必須有明確的分析思路．而分析思路應(yīng)從物理問題所遵循的物理規(guī)律本 身去探求。物體的平衡遵循的物理規(guī)律是共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件：，要用該規(guī)律去 分析平衡問題，首先應(yīng)明確物體所受該力在何處“共點(diǎn)” ，即明確研究對象．在分析出各個 力的大小和方向后，還要正確選定研究方法，即合成法或分解法，利用平行四邊形定則建 立各力之間的聯(lián)系，借助平衡條件和數(shù)學(xué)方法，確定結(jié)果．由上述分析思路知，解決平衡 問題的基本解題步驟為： ① 明確研究對象。 在平衡問題中，研究對象常有三種情況： 單個物體，若物體能看成質(zhì)點(diǎn)，則物體受到的各個力的作用點(diǎn)全都畫到物體的幾 何中心上；若物體不能看成質(zhì)點(diǎn)，則各個力的作用點(diǎn)不能隨便移動，應(yīng)畫在實(shí)際作用位置 上。 物體的組合，遇到這種問題時，應(yīng)采用隔離法，將物體逐個隔離出去單獨(dú)分析， 其關(guān)鍵是找物體之間的聯(lián)系，相互作用力是它們相互聯(lián)系的紐帶。 幾個物體的的結(jié)點(diǎn)，幾根繩、繩和棒之間的結(jié)點(diǎn)常常是平衡問題的研究對象。 ② 分析研究對象的受力情況 分析研究對象的受力情況需要做好兩件事： 確定物體受到哪些力的作用，不能添力，也不能漏力。常用的辦法是首先確定重 力，其次找接觸面，一個接觸面通常對應(yīng)一對彈力和摩擦力，找到接觸面后，判定這兩個 力是否在；第三是加上其它作用力，如拉力、推力等。 準(zhǔn)確畫出受力示意圖。力的示意圖關(guān)鍵是力的方向的確定，要培養(yǎng)養(yǎng)成準(zhǔn)確畫圖 的習(xí)慣。在分析平衡問題時，很多同學(xué)常出錯誤，其重要原因就是畫圖不重視、不規(guī)范， 將力的方向搞錯，導(dǎo)致全題做錯。 ③ 選取研究方法——合成法或分解法 合成法或分解法實(shí)際上都是平行四邊形定則，采用這兩種方法的實(shí)質(zhì)是等效替代，即 通過兩個力的等效合成或某個力的兩個等效分力建立已知力與被求力之間的聯(lián)系，為利用 平衡條件解問題做好鋪墊。 在解題中采用合成法還是分解法應(yīng)視問題而定，當(dāng)受力較少時，兩種方法求解都很方 便。由于高中階段在對力進(jìn)行合成或分解時只要求會用直角三角形討論計(jì)算，因此，對物 體受力進(jìn)行正交分解，利用正交分解法求解的平衡問題較為常見．在建立正交坐標(biāo)系時， 其基本原則是使盡可能多的力在坐標(biāo)軸上，這樣分解的力個數(shù)少，求解時方便。 ④ 利用平衡條件建立方程 利用合成法分析問題時，其平衡方程為： 利用分解法特別是正交分解法分析平衡問題時，其平衡方程為：， ⑤ 數(shù)學(xué)方法求解 建立平衡方程后，利用數(shù)學(xué)方法即可得到結(jié)果。在平衡問題中，常用的數(shù)學(xué)方法有： 代數(shù)法、三角函數(shù)法、相似三角形法、極值問題等，通過對學(xué)生選擇數(shù)學(xué)方法解題過程的 考查，可以鑒別其運(yùn)用數(shù)學(xué)工具處理物理問題的能力。 2. 掌握題型抓關(guān)鍵 明確分析思路和解題步驟后，各種各樣的平衡問題均可按此步驟分析求解。但在實(shí)際 解題過程中仍感到困難重重。原因何在？原因在于為增加試題難度，在上述解題步驟的某 個環(huán)節(jié)上設(shè)置障礙，造成學(xué)生分析思維受阻。若能找到這些障礙點(diǎn)，即關(guān)鍵之處，并加以 突破，問題便迎刃而解了。 （1）三力平衡問題 物體在三個力的作用下處于平衡狀態(tài)，要求我們分析三力之間的相互關(guān)系的問題叫三 力平衡問題，這是物體受力平衡中最重要、最典型也最基礎(chǔ)的平衡問題。這種類型的問題 有以下幾種常見題型。 ① 三個力中，有兩個力互相垂直，第三個力角度（方向）已知。 ② 三個力互相不垂直，但夾角（方向）已知《考試說明》中規(guī)定力的合成與分解的計(jì) 算只限于兩力之間能構(gòu)成直角的情形。三個力互相不垂直時，無論是用合成法還是分解法， 三力組成的三角形都不是直角三角形，造成求解困難。因而這種類型問題的解題障礙就在 于怎樣確定研究方法上。解決的辦法是采用正交分解法，將三個不同方向的力分解到兩個 互相垂直的方向上，再利用平衡條件求解。 ③ 三個力互相不垂直，且夾角（方向）未知 三力方向未知時，無論是用合成法還是分解法，都找不到合力與分力之間的定量 聯(lián)系，因而單從受力分析圖去求解這類問題是很難找到答案的。要求解這類問題，必 須變換數(shù)學(xué)分析的角度，從我們熟悉的三角函數(shù)法變換到空間幾何關(guān)系上去考慮，因 而這種問題的障礙點(diǎn)是如何正確選取數(shù)學(xué)分析的方法。 解決這種類型的問題的對策是：首先利用合成法或分解法作出三力之間的平行四邊形 關(guān)系和三角形關(guān)系，再根據(jù)力的三角形尋找與之相似的空間三角形，利用三角形的相似比 求解。 ④ 三力的動態(tài)平衡問題 即三個力中，有一個力為恒力，另一個力方向不變，大小可變，第三個力大小方向均 可變，分析第三個力的方向變化引起的物體受力的動態(tài)變化問題。 這種類型的問題不需要通過具體的運(yùn)算來得出結(jié)論，因而障礙常出現(xiàn)在受力分析和畫 受力分析圖上。在分析這類問題時，要注意物體“變中有不變”的平衡特點(diǎn)，在變中尋找 不變量。即將兩個發(fā)生變化的力進(jìn)行合成，利用它們的合力為恒力的特點(diǎn)進(jìn)行分析。在解 決這類問題時，正確畫出物體在不同狀態(tài)時的受力圖和平行四邊形關(guān)系尤為重要。 （2）多力平衡問題 物體在四個或四個以上的力作用下的平衡問題叫多力平衡問題．處理多力平衡問題的 思路有以下兩種： ① 化多力為三力，利用三力問題的處理方法進(jìn)行分析。 利用熟悉的物理規(guī)律和結(jié)論去分析、解決新問題是物理學(xué)中最常用的一種物理思路， 力的等效替代就是這種思路的具體應(yīng)用之一，在多力問題中，如果將某些力先合成，考慮 其合力與剩余力之間的關(guān)系，即可將多力問題轉(zhuǎn)化為三力問題，用我們前面討論的方法加 以分析和研究。 ② 利用正交分解法分析求解，當(dāng)受力較多時，利用合成法需要幾次合成才能得出結(jié) 論，分析起來較繁瑣。最常見的多力平衡問題就是直接建立正交坐標(biāo)系，在分析物體受力 后，利用正交分析法求解。 【典型例題分析】 （一）運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解答物理題 幾何知識：二邊之和大于第三邊，二邊之差小于第三邊。 [例 1] 一個物體受到三個共點(diǎn)力的作用，若這三個力的大小是如下各組，則可使物體平衡 的是哪幾組（ ） A. F1＝4N，F(xiàn) 2=7N，F(xiàn) 3＝8N B. F1＝8N，F(xiàn) 2=8N，F(xiàn) 3＝1N C. F1＝4N，F(xiàn) 2＝6N，F(xiàn) 3＝1N D. F1=3N，F(xiàn) 2=5N，F(xiàn) 3=2N 分析與解：物體平衡條件為合力為零。該題中任意二力的合力大小應(yīng)與第三個力相等。 滿足這種要求有兩種情況： （1）若三力在同一直線上，則二力大小之和等于第三力大小；二力之差等于第三力大 小，故 D 正確。 （2）若三力不在同一直線上，兩力的合力與這兩個力可構(gòu)成封閉的三角形。即二力大 小之和大于第三力大小，二力大小之差小于第三力大小，故 A、B 正確。 （二）運(yùn)用三角形角邊關(guān)系解答物理題 幾何知識：三角形中大角對大邊，小角對小邊。 [例2] 如圖1所示，OA、OB、OC是抗拉程度相同的繩子，如果物體的重力超過某一值時， 則繩子（ ） A. A段先斷 B. OB段先斷 C. OC段先斷 D. 一起斷 分析與解：對O點(diǎn)進(jìn)行受力分析，兩條繩子拉力的合力大小等于物體C的重力大小， 如圖2所示。顯然，在三角形△OCD中，∠ODC=90是這三個角中的最大角，所對應(yīng)的邊 OC應(yīng)是最大，所以T OA＞T OB，OA段先斷。故A正確。 （三）運(yùn)用相似三角形性質(zhì)解答物理題。 幾何知識：相似三角形對應(yīng)邊成比例。 [例3] 兩根長度相等的輕繩下端懸掛一質(zhì)量為m物體，上端分別固定在天花板M、N兩點(diǎn)， M、N之間距離為S，如圖所示。已知兩繩所能承受的最大拉力均為T，則每根繩長度不得 短于____ 。 分析與解：繩子越短，兩條繩夾角越大，繩子張力越大。對圖3作輔助線OE⊥MN，對 D點(diǎn)受力分析如圖所示，∵ △DBC∽△ONE， 有，其中， ， 則 22224)(gmTSgT SCBNEDO?????? （四）運(yùn)用點(diǎn)與直線關(guān)系解答物理題 幾何知識：點(diǎn)到直線的各條線段中，垂距最短。 [例4] 如圖所示，繩子OA與豎直墻構(gòu)成的角度θ不變，求物體靜止時，拉力F的最小值？ 分析與解：繩子OA張力，拉力F與物體重力mg的合力為零。對O點(diǎn)受力分析如圖所示。 由于OA的方向不變，重力mg、拉力F的合力的大小與OA的張力大小相等，方向相反。根據(jù) 力的合成知識，三力組成的三角形有無數(shù)個，如三角形EOD，其中OE矢量表示重力，DO表 示張力，ED表示拉力。但EC⊥AB是E點(diǎn)到直線AB最短的一條，即拉力F最小為F=mgsinθ。 【模擬試題】 1. 如下圖所示，物體 m 靜止在粗糙斜面上，現(xiàn)用從零開始逐漸增大的水平推力 F 作用在 物體上，且使物體仍保持靜止?fàn)顟B(tài)，則（ ） A. 物體對斜面的壓力一定增大 B. 斜面所受物體的靜摩擦力方向可能沿斜面向上 C. 斜面對物體的靜摩擦力有可能減少 D. 物體所受的合外力不可能為零 2. 如下圖所示，人在岸上通過滑輪用繩牽引小船，若水的阻力恒定不變，則在船勻速靠 岸的過程中下述說法正確的是（ ） A. 繩的拉力不斷增大 B. 繩的拉力保持不變 C. 船受到浮力保持不變 D. 船受到浮力不斷減小 3. 將某種材料的長方體鋸成 A、B 兩塊，放在水平桌面上，并緊靠在一起，物體 A 的角 度如圖所示，現(xiàn)用水平方向的力 F 推物體，使 A、B 保持矩形整體沿力 F 方向勻速運(yùn)動，則 （ ） A. 物 A 在水平方向受兩個力作用，合力為零 B. 作用于 A 的摩擦力不止一個 C. 物 B 對物 A 的壓力小于桌面對 A 的摩擦力大小 D. 物 B 在水平方向受三個力的作用 4. 如圖所示的光滑斜面上，質(zhì)量為 m 的物塊在拉力 F 作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，F(xiàn) 的方向與 斜面夾角為 α，則以下說法正確的是（ ） A. F 的方向與斜面的夾角 α 的取值范圍為 -π/2<α<π/2–θ(取逆時針為正) B. α=θ 時，F(xiàn) 值最小 C. F 方向水平時，F(xiàn)=mg tanθ D. F 的最小值為 mg sinθ 5. 如圖所示，光滑斜面上安裝一光滑擋板 AO，擋板可繞 O 處鉸鏈無摩擦轉(zhuǎn)動，在擋板 與斜面間放一勻質(zhì)球，現(xiàn)使擋板從圖示位置緩慢轉(zhuǎn)至豎直位置，則此過程中球?qū)醢宓膲?力 N1 的變化情況可能是（ ） A. 逐漸減小 B. 逐漸增大 C. 先減小后增大 D. 先增大后減小 6. 一盞電燈用繩子OA和OB懸掛在天花板和墻壁之間，如圖，現(xiàn)改變繩子OB的長度，使B 點(diǎn)沿墻壁上移，并保持O點(diǎn)與A點(diǎn)位置不變, 則當(dāng)B點(diǎn)逐漸上移時，繩子OB的拉力將（ ） A. 逐漸變大 B. 逐漸變小 C. 先增大后減小 D. 先減小后增大 7、如圖所示，現(xiàn)用兩根繩子 AO 和 BO 懸掛電燈，已知 AO 繩與天花板水平頂棚間的夾角 為 37，BO 繩水平，每根繩子所能承受的最大拉力均為 10N，則以下幾個電燈中能安全懸 掛的是（ ） A. 2N B. 5N C. 8N D. 10N 8. 如圖所示，兩個質(zhì)量分別為 m，4m 的小球 A、B 之間用輕桿連接，并通過長 L 的輕繩 掛在光滑的小滑輪上，平衡時 OA、BO 的線段長分別為（ ） A. 2L/3， L/3 B. 3L/4， L/4 C. 4L/5， L/5 D. L/2， L/2 9. 一質(zhì)量為 m 的物體放在傾角為 θ 的斜面上，如果物體能沿斜面勻速下滑，則物體與 斜面間的動摩擦因數(shù)為________；如果在此物體上作用一個水平力使物體靜止在斜面上， 水平力大小為 mg tgθ，這時物體與斜面間的摩擦力為________。 10. 如圖所示，質(zhì)量為 m1=0.4㎏的物體 A 與質(zhì)量為 m2=2㎏的物體 B 疊放在傾角為 30的 斜面上，物體 B 在平行于斜面向上的拉力 F 作用下勻速運(yùn)動，已知 A、B 總保持相對靜止， 若 A、B 間的動摩擦因數(shù)均為，B 與斜面間的動摩擦因數(shù)為，求： （1）則 A、B 間的摩擦力為多少？ （2）拉力 F 為多少？ 11. 質(zhì)量為 m=5kg 的物體，置于傾角為?=370 的的固定斜面上，剛好勻速下滑。現(xiàn)對物 體施加一水平推力 F，使物體沿斜面勻速向上運(yùn)動，求水平推力 F 的大小。 12. 水平橫梁的一端 A 插在墻壁內(nèi)，另一端裝有一小滑輪 B。輕繩的一端 C 固定墻壁上， 另一端跨過滑輪后懸掛一質(zhì)量為的重物， ，如圖所示?；喪艿嚼K子的壓力大小是多少，方 向是什么方向？（g 取 10N / kg） 13. 如圖所示，質(zhì)為 m，橫截面為直角三角形的物塊 ABC， ，AB 邊靠在豎直的墻面上，F(xiàn) 是垂直于斜面 BC 的推力，現(xiàn)物塊靜止不動，求物塊所受摩擦力大小。 【試題答案】 1. ABC 2. AD 3. BC 4. ACD 5. C 6. D 7. AB 8. C 9. ，0 10. （1）2.0N （2）21N（向上運(yùn)動） ；3N（向下運(yùn)動） 11. 1200/7 牛 12. ∴；方向?yàn)閮?F 的角平分線方向，與 AB 成角，向左偏下。13.