第一章 2 充分條件與必要條件,2.3 充要條件,1.理解充要條件的意義. 2.會(huì)判斷、證明充要條件. 3.通過(guò)學(xué)習(xí)，明白對(duì)充要條件的判定應(yīng)該歸結(jié)為判斷命題的真假.,學(xué)習(xí)目標(biāo),知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,欄目索引,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 充要條件 一般地，如果既有pq，又有qp 就記作 . 此時(shí)，我們說(shuō)，p是q的 ，簡(jiǎn)稱 .顯然，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件. 概括地說(shuō)，如果pq，那么p與q .,答案,互為充要條件,pq,充分必要條件,充要條件,答案,思考 (1)若p是q的充要條件，則命題p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題.這種說(shuō)法對(duì)嗎？ 答案 正確.若p是q的充要條件，則pq，即p等價(jià)于q，故此說(shuō)法正確. (2)“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”的區(qū)別在哪里？ 答案 p是q的充要條件說(shuō)明p是條件，q是結(jié)論. p的充要條件是q說(shuō)明q是條件，p是結(jié)論.,知識(shí)點(diǎn)二 常見(jiàn)的四種條件與命題真假的關(guān)系 如果原命題為“若p，則q”，逆命題為“若q，則p”，那么p與q的關(guān)系有以下四種情形：,返回,知識(shí)點(diǎn)三 從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件,其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立.,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一 充要條件的判斷 例1 (1)“x1”是“x22x10”的( ) A.充要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件 解析 解x22x10得x1，所以“x1”是“x22x10”的充要條件.,解析答案,A,解析答案,反思與感悟,(2)判斷下列各題中，p是否為q的充要條件？ 在ABC中，p：AB，q：sin Asin B； 解 在ABC中，顯然有ABsin Asin B， 所以p是q的充要條件. 若a，bR，p：a2b20，q：ab0； 解 若a2b20，則ab0，即pq；若ab0， 則a2b20，即qp，故pq，所以p是q的充要條件. p：|x|3，q：x29. 解 由于p：|x|3q：x29，所以p是q的充要條件.,判斷p是q的充分必要條件的兩種思路 (1)命題角度：判斷p是q的充分必要條件，主要是判斷pq及qp這兩個(gè)命題是否成立.若pq成立，則p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件；若qp成立，則p是q的必要條件，同時(shí)q是p的充分條件；若二者都成立，則p與q互為充要條件. (2)集合角度：關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件，當(dāng)不容易判斷pq及qp的真假時(shí)，也可以從集合角度去判斷，結(jié)合集合中“小集合大集合”的關(guān)系來(lái)理解，這對(duì)解決與邏輯有關(guān)的問(wèn)題是大有益處的.,反思與感悟,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1 (1)a，b中至少有一個(gè)不為零的充要條件是( ) A.ab0 B.ab0 C.a2b20 D.a2b20 解析 a2b20，則a、b不同時(shí)為零；a，b中至少有一個(gè)不為零，則a2b20.,D,解析答案,(2)“函數(shù)yx22xa沒(méi)有零點(diǎn)”的充要條件是_. 解析 函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，即方程x22xa0無(wú)實(shí)根，所以有44a0，解得a1.反之，若a1，則0，方程x22xa0無(wú)實(shí)根，即函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn).故“函數(shù)yx22xa沒(méi)有零點(diǎn)”的充要條件是a1.,a1,解析答案,反思與感悟,題型二 充要條件的證明 例2 求證：方程x2(2k1)xk20的兩個(gè)根均大于1的充要條件是k2.,解析答案,反思與感悟,證明 必要性： 若方程x2(2k1)xk20有兩個(gè)大于1的根，不妨設(shè)兩個(gè)根為x1，x2，則,解得k0. 設(shè)方程x2(2k1)xk20的兩個(gè)根為x1，x2. 則(x11)(x21)x1x2(x1x2)1 k22k11k(k2)0.,反思與感悟,又(x11)(x21)(x1x2)2 (2k1)22k10， x110，x210. x11，x21. 綜上可知，方程x2(2k1)xk20有兩個(gè)大于1的根的充要條件為k2.,反思與感悟,一般地，證明“p成立的充要條件為q”時(shí)，在證充分性時(shí)應(yīng)以q為“已知條件”，p是該步中要證明的“結(jié)論”，即qp；證明必要性時(shí)則是以p為“已知條件”，q為該步中要證明的“結(jié)論”，即pq.,解析答案,返回,跟蹤訓(xùn)練2 求證：一次函數(shù)f(x)kxb(k0)是奇函數(shù)的充要條件是b0. 證明 充分性：如果b0，那么f(x)kx， 因?yàn)閒(x)k(x)kx， 所以f(x)f(x)， 所以f(x)為奇函數(shù). 必要性：因?yàn)閒(x)kxb(k0)是奇函數(shù)， 所以f(x)f(x)對(duì)任意x均成立， 即k(x)b(kxb)， 所以b0. 綜上，一次函數(shù)f(x)kxb(k0)是奇函數(shù)的充要條件是b0.,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,解析答案,1.對(duì)于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 當(dāng)ab0時(shí)，得ab，所以ab， 但若ab，不一定有ab0.,A,1,2,3,4,5,解析答案,2.已知集合A1，a，B1,2,3，則“a3”是“AB”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 a3時(shí)，A1,3，AB，當(dāng)AB時(shí)，a2或3.,A,1,2,3,4,5,3.已知：“a2”；：“直線xy0與圓x2(ya)22相切”，則是的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 a2時(shí)，直線xy0與圓x2(y2)22相切；,解析答案,C,是的充要條件,1,2,3,4,5,解析答案,4.已知直線l1：xay60和直線l2：(a2)x3y2a0，則l1l2的充要條件是a_. 解析 由13a(a2)0得a3或1， 而a3時(shí)，兩條直線重合，所以a1.,1,1,2,3,4,5,解析答案,所以p是q的充要條件.,充要,課堂小結(jié),返回,1.充要條件的判斷有三種方法：定義法、等價(jià)命題法、集合法. 2.充要條件的證明與探求 (1)充要條件的證明分充分性的證明和必要性的證明.在證明時(shí)要注意兩種敘述方式的區(qū)別： p是q的充要條件，則由pq證的是充分性，由qp證的是必要性； p的充要條件是q，則由pq證的是必要性，由qp證的是充分性. (2)探求充要條件，可先求出必要條件，再證充分性；如果能保證每一步的變形轉(zhuǎn)化過(guò)程都可逆，也可以直接求出充要條件.,