第三章,推理與證明,1,知識網(wǎng)絡(luò) 整體構(gòu)建,2,要點(diǎn)歸納 主干梳理,3,題型探究 重點(diǎn)突破,章末復(fù)習(xí)提升,1.歸納和類比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整體的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推測未知,都能用于猜想,推理的結(jié)論不一定為真,有待進(jìn)一步證明.,2.演繹推理與合情推理不同,是由一般到特殊的推理,是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式.也是公理化體系所采用的推理形式,另一方面,合情推理與演繹推理又是相輔相成的,前者是后者的前提,后者論證前者的可靠性.,3.直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法.直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法,在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),常把它們結(jié)合起來使用,間接證法的一種方法是反證法,反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā),推出矛盾的證明方法.,題型一 歸納推理和類比推理,歸納推理和類比推理是常用的合情推理,兩種推理的結(jié)論“合情”但不一定“合理”,其正確性都有待嚴(yán)格證明.盡管如此,合情推理在探索新知識方面有著極其重要的作用. 運(yùn)用合情推理時(shí),要認(rèn)識到觀察、歸納、類比、猜想、證明是相互聯(lián)系的.在解決問題時(shí),可以先從觀察入手,發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn),形成解決問題的初步思路,然后用歸納、類比的方法進(jìn)行探索、猜想,最后用邏輯推理方法進(jìn)行驗(yàn)證.,例1 觀察下列各式：ab1,a2b23,a3b34,a4b47,a5b511,則a10b10等于( ) A.28 B.76 C.123 D.199 解析 記anbnf(n), 則f(3)f(1)f(2)134； f(4)f(2)f(3)347； f(5)f(3)f(4)11.,通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)f(n1)f(n2)(nN,n3), 則f(6)f(4)f(5)18； f(7)f(5)f(6)29； f(8)f(6)f(7)47； f(9)f(7)f(8)76； f(10)f(8)f(9)123. 所以a10b10123. 答案 C,跟蹤訓(xùn)練1 自然數(shù)按下表的規(guī)律排列,則上起第2 014行,左起第2 015列的數(shù)為( ) A.2 0142 B.2 0152 C.2 0132 014 D.2 0142 015,解析 經(jīng)觀察可得這個(gè)自然數(shù)表的排列特點(diǎn)： 第一列的每個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù),并且恰好等于它所在行數(shù)的平方,即第n行的第1個(gè)數(shù)為n2； 第一行第n個(gè)數(shù)為(n1)21；,第n行從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞減1； 第n列從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞增1. 故上起第2 014行,左起第2 015列的數(shù),應(yīng)是第2 015列的第 2 014個(gè)數(shù),即為(2 0151)212 0132 0142 015. 答案 D,題型二 直接證明,高考題對直接證明的考查,各種題型均有體現(xiàn),尤其是解答題,一直是考查證明方法的熱點(diǎn)與重點(diǎn). 綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法,也是解決數(shù)學(xué)問題常用的思維方式.如果從解題的切入點(diǎn)的角度細(xì)分,直接證明方法可具體分為：比較法、代換法、放縮法、判別式法、構(gòu)造函數(shù)法等,應(yīng)用綜合法證明問題時(shí),必須首先想到從哪里開始起步,分析法就可以幫助我們克服這種困難,在實(shí)際證明問題時(shí),應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法結(jié)合起來使用.,而上述不等式顯然成立,故原不等式成立.,跟蹤訓(xùn)練2 如圖,在四面體BACD中,CBCD,ADBD,且E,F分別是AB,BD的中點(diǎn),求證： (1)直線EF平面ACD； 證明 要證直線EF平面ACD, 只需證EFAD且EF 平面ACD. 因?yàn)镋,F分別是AB,BD的中點(diǎn), 所以EF是ABD的中位線,所以EFAD, 所以直線EF平面ACD.,(2)平面EFC平面BCD. 證明 要證平面EFC平面BCD, 只需證BD平面EFC,又因?yàn)镃BCD,F為BD的中點(diǎn), 所以CFBD.所以平面EFC平面BCD.,題型三 反證法,如果一個(gè)命題的結(jié)論難以直接證明時(shí),可以考慮反證法.通過反設(shè)結(jié)論,經(jīng)過邏輯推理,得出矛盾,從而肯定原結(jié)論成立. 反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法,在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到,在高考題中也經(jīng)常體現(xiàn),它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要.反證法主要證明：否定性、唯一性命題；至多、至少型問題；幾何問題.,例3 如圖所示,已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi),M,N分別為AB、DF的中點(diǎn). (1)若平面ABCD平面DCEF,求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；,解 如圖所示,取CD的中點(diǎn)G,連接MG,NG,設(shè)正方形ABCD,DCEF的邊長為2,平面ABCD平面DCEF, MG平面DCEF, MNG是MN與平面DCEF所成的角.,(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線. 證明 假設(shè)直線ME與BN共面,則AB平面MBEN,且平面MBEN與平面DCEF交于EN, 兩正方形不共面,AB 平面DCEF. 又ABCD,所以AB平面DCEF,而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線, ABEN.又ABCDEF, ENEF,這與ENEFE矛盾,故假設(shè)不成立. ME與BN不共面,即它們是異面直線.,證明 假設(shè)a,b,c都不大于0,即a0,b0,c0,30,且(x1)2(y1)2(z1)20,abc0,這與abc0矛盾,因此假設(shè)不成立,a,b,c中至少有一個(gè)大于0.,課堂小結(jié),1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理 (1)歸納推理的基本模式：a,b,cM且a,b,c具有某屬性,結(jié)論任意dM,d也具有某屬性. (2)類比推理的基本模式：A具有屬性a,b,c,d；B具有屬性a,b,c；結(jié)論：B具有屬性d.(a,b,c,d與a,b, c,d相似或相同).,2.使用反證法證明問題時(shí),常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”列表如下：,