2.3 數(shù)學(xué)歸納法,第二章 推理與證明,1.了解數(shù)學(xué)歸納法原理. 2.掌握數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.,學(xué)習(xí)目標,欄目索引,知識梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學(xué)習(xí),知識點一 歸納法及分類,答案,由一系列有限的特殊事例得出一般性結(jié)論的推理方法，通常叫歸納法，歸納法可以分為 歸納法和 歸納法， 完全歸納法所得出的結(jié)論是完全可靠的，因為它考察了問題涉及的所有對象； 不完全歸納法得出的結(jié)論不一定可靠，因為它只考察了某件事情的部分對象，但它是一種重要的思考問題的方法，是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段.用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再用完全歸納法證明，是解決問題的一種重要途徑.,完全,不完全,完全歸納法是一種在研究了解事物的所有(有限種)特殊情況后，得出一般結(jié)論的推理方法，又叫枚舉法. 與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的. 通常在事物包括的特殊情況不多時，采用完全歸納法.,思考 下面的各列數(shù)都依照一定規(guī)律排列，請在括號里填上適當?shù)臄?shù). (1)1,5,9,13,17，( )；,答案,21,8,21,知識點二 數(shù)學(xué)歸納法,答案,1.數(shù)學(xué)歸納法 證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行： (歸納奠基)證明當n取第一個值n0(n0N*)時命題成立； (歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當nk1時命題也成立. 2.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時注意幾點： (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與 有關(guān)的命題. (2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可. (3)步驟的證明必須以“假設(shè)nk(kn0，kN*)時命題成立”為條件.,正整數(shù)n,答案,不能保證猜想一定正確，需要嚴密的證明.,(2)多米諾骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個條件？,答案 第一塊骨牌倒下； 任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下. 條件事實上給出了一個遞推關(guān)系， 換言之就是假設(shè)第K塊倒下， 則相鄰的第K1塊也倒下.,返回,答案,題型探究 重點突破,題型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒成立,解析答案,反思與感悟,例1 求證：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*).,反思與感悟,證明 (1)當n1時，左邊112，右邊2112，左邊右邊，等式成立. (2)假設(shè)當nk(kN*)時等式成立， 即(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，那么，當nk1時， 左邊(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2),2k13(2k1)(2k1)2 2k113(2k1)2(k1)1右邊. 當nk1時，等式也成立. 由(1)(2)可知，對一切nN*，原等式均成立.,反思與感悟,用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式問題，關(guān)鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)，由nk到nk1時，等式兩邊會增加多少項，增加怎樣的項.,解析答案,解析答案,題型二 證明不等式問題,解析答案,反思與感悟,解析答案,證明 由已知條件可得bn2n(nN*)，,不等式成立. (2)假設(shè)當nk(kN*)時，不等式成立.,則當nk1時，,反思與感悟,要證當nk1時，不等式成立，,反思與感悟,當nk1時，不等式成立. 由(1)(2)可知，對一切nN*，原不等式均成立.,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)；二湊證明目標，在湊證明目標時，比較法、綜合法、分析法都適用.,反思與感悟,解析答案,解析答案,(2)假設(shè)當nk時，不等式成立，,則當nk1時，,解析答案,所以當nk1時不等式成立. 由(1)(2)知，不等式對一切nN*都成立.,題型三 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題,解析答案,反思與感悟,例3 求證nN*時，an1(a1)2n1能被a2a1整除.,反思與感悟,證明 (1)當n1時，a11(a1)211a2a1，命題顯然成立. (2)假設(shè)當nk(kN*，k1)時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除， 則當nk1時， ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1 aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1. 由歸納假設(shè)，上式中的兩項均能被a2a1整除， 故當nk1時命題成立. 由(1)(2)知，對任意nN*，命題成立.,用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)的整除性問題時，關(guān)鍵是從當nk1時的式子中拼湊出當nk時能被某數(shù)整除的式子，并將剩余式子轉(zhuǎn)化為能被該數(shù)整除的式子.,反思與感悟,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 用數(shù)學(xué)歸納法證明對于任意非負整數(shù)n，An11n2122n1能被133整除.,證明 (1)當n0時，A011212133，能被133整除. (2)假設(shè)當nk(k0)時，Ak11k2122k1能被133整除， 那么當nk1時， Ak111k3122k31111k2122122k1 1111k211122k1(12211)122k1 11(11k2122k1)133122k1， 能被133整除. 由(1)(2)可知，對于任意非負整數(shù)n，An都能被133整除.,題型四 用數(shù)學(xué)歸納法解決平面幾何問題,解析答案,反思與感悟,例4 已知n個平面都過同一點，但其中任何三個平面都不經(jīng)過同一直線，求證：這n個平面把空間分成f(n)n(n1)2部分.,反思與感悟,證明 (1)當n1時，1個平面把空間分成2部分， 而f(1)1(11)22(部分)，所以命題正確. (2)假設(shè)當nk(kN*)時，命題成立， 即k個符合條件的平面把空間分為f(k)k(k1)2(部分)， 當nk1時，第k1個平面和其他每一個平面相交，使其所分成的空間都增加2部分，所以共增加2k部分， 故f(k1)f(k)2kk(k1)22k k(k12)2(k1)(k1)12(部分)， 即當nk1時，命題也成立. 根據(jù)(1)(2)，知n個符合條件的平面把空間分成f(n)n(n1)2部分.,用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項”，即幾何元素從k增加到k1時，所證的幾何量增加多少，同時要善于利用幾何圖形的直觀性，建立k與k1之間的遞推關(guān)系.,反思與感悟,解析答案,解析答案,證明 (1)當n2時，兩條直線的交點只有一個，,當n2時，命題成立. (2)假設(shè)當nk(kN*，k2)時命題成立，,那么，當nk1時，,l與其他k條直線的交點個數(shù)為k， 從而k1條直線共有f(k)k個交點，,當nk1時，命題成立. 由(1)(2)可知，對任意nN*(n2)命題都成立.,解析答案,因弄錯從nk到nk1的增加項致誤,防范措施,返回,易錯易混,錯解 當n1時，,解析答案,防范措施,即n1時不等式成立. 假設(shè)nk(k1，且kN*)時不等式成立，,那么，當nk1時，,即nk1時，不等式成立.,正解 當n1時，,即n1時不等式成立.,解析答案,防范措施,防范措施,假設(shè)nk(k1，kN*)時不等式成立，,那么，當nk1時，,所以nk1時，不等式成立.,防范措施,當nk1時，可以寫出相應(yīng)增加的項，然后再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明.,返回,當堂檢測,1,2,3,4,5,A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a4,B,解析答案,解析 當n1時，左邊的最高次數(shù)為1，即最后一項為a，左邊是1a，故選B.,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,答案 C,比較可知C正確.,1,2,3,4,5,解析答案,2k,解析 觀察f(n)的表達式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，,因此f(2k1)比f(2k)多了2k項.,1,2,3,4,5,解析答案,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3，nN*)第一步應(yīng)驗證_.,n3時是否成立,解析 n的最小值為3，所以第一步驗證n3時是否成立.,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且a11，Snn2an(nN*).依次計算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表達式為_.,課堂小結(jié),1.數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟相互依存，缺一不可. 有一無二，是不完全歸納法，結(jié)論不一定可靠；有二無一，第二步就失去了遞推的基礎(chǔ). 2.歸納假設(shè)的作用. 在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，對于歸納假設(shè)要注意以下兩點： (1)歸納假設(shè)就是已知條件； (2)在推證nk1時，必須用上歸納假設(shè).,返回,3.利用歸納假設(shè)的技巧. 在推證nk1時，可以通過湊、拆、配項等方法用上歸納假設(shè). 此時既要看準目標，又要掌握nk與nk1之間的關(guān)系. 在推證時，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用. 4.數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍. 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法，應(yīng)用十分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)的整除性、幾何問題、探求數(shù)列的通項及前n項和等問題中.,