Xupeisen110 初三數(shù)學(xué) 初中數(shù)學(xué) 平行線問題平行線是我們?nèi)粘Ｉ钪蟹浅３Ｒ姷膱D形練習(xí)本每一頁中的橫線、直尺的上下兩邊、人行橫道上的“斑馬線”以及黑板框的對邊、桌面的對邊、教室墻壁的對邊等等均是互相平行的線段 正因為平行線在生活中的廣泛應(yīng)用，因此有關(guān)它的基本知識及性質(zhì)成為中學(xué)幾何的基本知識正因為平行線在幾何理論中的基礎(chǔ)性，平行線成為古往今來很多數(shù)學(xué)家非常重視的研究對象歷史上關(guān)于平行公理的三種假設(shè)，產(chǎn)生了三種不同的幾何(羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何及歐幾里得幾何)，它們在使人們認識宇宙空間中起著非常重要的作用現(xiàn)行中學(xué)中所學(xué)的幾何是屬于歐幾里得幾何，它是建立在這樣一個公理基礎(chǔ)之上的：“在平面中，經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”在此基礎(chǔ)上，我們學(xué)習(xí)了兩條平行線的判定定理及性質(zhì)定理下面我們舉例說明這些知識的應(yīng)用例1 如圖 118，直線ab，直線 AB交 a與 b于 A，B，CA平分1，CB平分 2，求證：C=90分析 由于ab，1，2是兩個同側(cè)內(nèi)角，因此1+2=過C點作直線 l，使 la(或 b)即可通過平行線的性質(zhì)實現(xiàn)等角轉(zhuǎn)移證 過C點作直線l，使la(圖119)因為ab，所以bl，所以1+2=180(同側(cè)內(nèi)角互補)因為AC平分1，BC平分2，所以又3=CAE，4=CBF(內(nèi)錯角相等)，所以3+4=CAE+CBF說明 做完此題不妨想一想這個問題的“反問題”是否成立， 即“兩條直線a，b被直線AB所截(如圖120所示)，CA，CB分別是BAE與ABF的平分線，若C=90，問直線a與直線b是否一定平行？”由于這個問題與上述問題非常相似(將條件與結(jié)論交換位置)，因此，不妨模仿原問題的解決方法來試解例2 如圖121所示，AA1BA2求A1-B1+A2分析 本題對A1，A2，B1的大小并沒有給出特定的數(shù)值，因此，答案顯然與所給的三個角的大小無關(guān)也就是說，不管A1，A2，B1的大小如何，答案應(yīng)是確定的我們從圖形直觀，有理由猜想答案大概是零，即A1+A2=B1 猜想，常常受到直觀的啟發(fā)，但猜想必須經(jīng)過嚴格的證明式給我們一種啟發(fā)，能不能將B1一分為二使其每一部分分別等于A1與A2這就引發(fā)我們過B1點引AA1(從而也是BA2)的平行線，它將B1一分為二證 過B1引B1EAA1，它將A1B1A2分成兩個角：1，2(如圖122所示)因為AA1BA2，所以B1EBA2從而1=A1，2=A2(內(nèi)錯角相等)，所以B1=1+2=A1+A2，即 A1-B1+A2=0說明(1)從證題的過程可以發(fā)現(xiàn)，問題的實質(zhì)在于AA1BA2，它與連接A1，A2兩點之間的折線段的數(shù)目無關(guān)，如圖123所示連接A1，A2之間的折線段增加到4條：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有A1+A2+A3=B1+B2(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即A1-B1+A2-B2+A3=0進一步可以推廣為A1-B1+A2-B2-Bn-1+An=0這時，連結(jié)A1，An之間的折線段共有n段A1B1，B1A2，Bn-1An(當然，仍要保持 AA1BAn)推廣是一種發(fā)展自己思考能力的方法，有些簡單的問題，如果抓住了問題的本質(zhì)，那么，在本質(zhì)不變的情況下，可以將問題推廣到復(fù)雜的情況(2)這個問題也可以將條件與結(jié)論對換一下，變成一個新問題問題1 如圖124所示A1+A2=B1，問AA1與BA2是否平行？問題2 如圖125所示若A1+A2+An=B1+B2+Bn-1，問AA1與BAn是否平行？這兩個問題請同學(xué)加以思考例3 如圖126所示AEBD，1=32，2=25，求C分析 利用平行線的性質(zhì)，可以將角“轉(zhuǎn)移”到新的位置，如1=DFC或AFB若能將1，2，C“集中”到一個頂點處，這是最理想不過的了，過F點作BC的平行線恰能實現(xiàn)這個目標解 過F到 FGCB，交 AB于G，則C=AFG(同位角相等)，2=BFG(內(nèi)錯角相等)因為 AEBD，所以1=BFA(內(nèi)錯角相等)，所以C=AFG=BFA-BFG=1-2=32-2=22=50說明(1)運用平行線的性質(zhì)，將角集中到適當位置，是添加輔助線(平行線)的常用技巧(2)在學(xué)過“三角形內(nèi)角和”知識后，可有以下較為簡便的解法：1=DFC=C+2，即C=1-2=22=50例4 求證：三角形內(nèi)角之和等于180分析 平角為180若能運用平行線的性質(zhì)，將三角形三個內(nèi)角集中到同一頂點，并得到一個平角，問題即可解決， 下面方法是最簡單的一種證 如圖127所示，在ABC中，過A引lBC，則B=1，C=2(內(nèi)錯角相等)顯然 1+BAC+2=平角，所以 A+B+C=180說明 事實上，我們可以運用平行線的性質(zhì)，通過添加與三角形三條邊平行的直線，將三角形的三個內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”到任意一點得到平角的結(jié)論如將平角的頂點設(shè)在某一邊內(nèi)，或干脆不在三角形的邊上的其他任何一點處，不過，解法將較為麻煩同學(xué)們不妨試一試這種較為麻煩的證法例5 求證：四邊形內(nèi)角和等于360分析 應(yīng)用例3類似的方法，添加適當?shù)钠叫芯€，將這四個角“聚合”在一起使它們之和恰為一個周角在添加平行線中，盡可能利用原來的內(nèi)角及邊，應(yīng)能減少推理過程 證 如圖128所示，四邊形ABCD中，過頂點B引BEAD，BFCD，并延長 AB，CB到 H，G則有A=2(同位角相等)，D=1(內(nèi)錯角相等)，1=3(同位角相等)C=4(同位角相等)，又 ABC(即B)=GBH(對頂角相等)由于2+3+4+GBH=360，所以A+B+C+D=360說明(1)同例3，周角的頂點可以取在平面內(nèi)的任意位置，證明的本質(zhì)不變(2)總結(jié)例3、例4，并將結(jié)論的敘述形式變化，可將結(jié)論加以推廣：三角形內(nèi)角和=180=(3-2)180，四邊形內(nèi)角和=360=2180=(4-2)180人們不禁會猜想：五邊形內(nèi)角和=(5-2)180=540，n邊形內(nèi)角和=(n-2)180這個猜想是正確的，它們的證明在學(xué)過三角形內(nèi)角和之后，證明將非常簡單(3)在解題過程中，將一些表面并不相同的問題，從形式上加以適當變形，找到它們本質(zhì)上的共同之處，將問題加以推廣或一般化，這是發(fā)展人的思維能力的一種重要方法例6 如圖129所示直線l的同側(cè)有三點A，B，C，且ABl，BCl求證： A，B，C三點在同一條直線上分析A，B，C三點在同一條直線上可以理解為ABC為平角，即只要證明射線BA與BC所夾的角為180即可，考慮到以直線l上任意一點為頂點，該點分直線所成的兩條射線為邊所成的角均為平角，結(jié)合所給平行條件，過B作與l相交的直線，就可將l上的平角轉(zhuǎn)換到頂點B處證 過B作直線 BD，交l于D因為ABl，CBl，所以1=ABD，2=CBD(內(nèi)錯角相等)又1+2=180，所以ABD+CBD=180，即ABC=180=平角A，B，C三點共線思考 若將問題加以推廣：在l的同側(cè)有n個點A1，A2，An-1，An，且有AiAi+1l(i=1，2，n-1)是否還有同樣的結(jié)論？例7 如圖130所示1=2，D=90，EFCD求證：3=B分析 如果3=B，則應(yīng)需EFBC又知1=2，則有BCAD從而，應(yīng)有EFAD這一點從條件EFCD及D=90不難獲得證 因為1=2，所以ADBC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)因為D=90及EFCD，所以ADEF(同位角相等，兩直線平行)所以 BCEF(平行公理)，所以3=B(兩直線平行，同位角相等)練習(xí)十二1如圖131所示已知ABCD，B=100，EF平分BEC，EGEF求BEG和DEG2如圖132所示CD是ACB的平分線，ACB=40，B=70，DEBC求EDC和BDC的度數(shù)3如圖133所示ABCD，BAE=30，DCE=60，EF，EG三等分AEC問：EF與EG中有沒有與AB平行的直線，為什么？4證明：五邊形內(nèi)角和等于5405如圖134所示已知CD平分ACB，且DEACCDEF求證：EF平分DEB 11