23.1平面向量基本定理平面向量基本定理提出問題問題1：在物理中，我們學(xué)習(xí)了力的分解，即一個力可以分解為兩個不同方向的力，試想：平面內(nèi)的任一向量是否可以分解為其他兩個向量的和？提示：可以問題2：如果e1，e2是兩個不共線的確定向量，那么與e1，e2在同一平面內(nèi)的任一向量a能否用e1，e2表示？根據(jù)是什么？提示：可以根據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則問題3：如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？提示：不一定當a與e1共線時可以表示，否則不能表示導(dǎo)入新知平面向量基本定理條件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量結(jié)論這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2基底不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底化解疑難理解平面向量基本定理應(yīng)關(guān)注的三點(1)只要是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量都可作為一組基底，所以基底的選取不唯一(2)零向量與任一向量都共線，因此零向量不能作為基底(3)1，2是唯一的.兩向量的夾角提出問題問題1：平面中的任意兩個向量都可以平移至公共起點，它們存在夾角嗎？提示：存在問題2：若上題中的結(jié)論為存在夾角，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？提示：不一樣導(dǎo)入新知向量的夾角條件兩個非零向量a和b產(chǎn)生過程作向量a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角范圍0，特殊情況0a與b同向90a與b垂直，記作ab180a與b反向化解疑難正確理解向量的夾角(1)向量夾角的幾何表示：依據(jù)向量夾角的定義，兩非零向量的夾角是將兩個向量的起點移到同一點，這樣它們所成的角才是兩向量的夾角如圖，已知兩向量a，b，作a，b，則AOB為a與b的夾角(2)注意事項：向量的夾角是針對非零向量定義的向量的夾角和直線的夾角范圍是不同的，它們分別是0，和.用基底表示向量例1如圖，梯形ABCD中，ABCD，且AB2CD，M，N分別是DC，AB的中點，若a，b，試用a，b表示，.解如圖所示，連接CN，則四邊形ANCD是平行四邊形則a；ba；ab.類題通法用基底表示向量的方法將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解活學(xué)活用如圖所示，已知在ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，DC邊的中點若a，b，試用a，b為基底表示向量，.答案：ab；ba向量夾角的簡單求解例2已知|a|b|2，且a與b的夾角為60，則ab與a的夾角是多少？ab與a的夾角又是多少？解如圖所示，作a，b，且AOB60.以，為鄰邊作平行四邊形OACB，則ab，ab.因為|a|b|2，所以平行四邊形OACB是菱形又因為AOB60，所以與的夾角為30，與的夾角為60.即ab與a的夾角是30，ab與a的夾角是60.類題通法求兩個向量夾角的方法求兩個向量的夾角，關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個向量的起點重合，根據(jù)向量夾角的概念確定夾角，再依據(jù)平面圖形的知識求解向量的夾角過程簡記為“一作二證三算”活學(xué)活用如圖，已知ABC是等邊三角形(1)求向量與向量的夾角；(2)若E為BC的中點，求向量與的夾角答案：(1)120(2)90平面向量基本定理的唯一性及其應(yīng)用例3(1)設(shè)向量e1與e2不共線，若3xe1(10y)e2(4y7)e12xe2，則實數(shù)x，y的值分別為()A0,0B1,1C3,0 D3,4(2)在ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點若，其中，R，求的值解(1)D(2)設(shè)a，b，則ab，ba，ab，所以baab.又因為a，b不共線，所以解得，所以.類題通法1平面向量基本定理唯一性的應(yīng)用設(shè)a，b是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，若x1ay1bx2ay2b，則2重要結(jié)論設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，當1e12e20時恒有120若a1e12e2當20時，a與e1共線當10時，a與e2共線120時，a0活學(xué)活用若向量a，b不共線，且c2ab，d3a2b，試判斷c，d能否作為基底答案：c，d能作為基底5平面向量基本定理的應(yīng)用典例(12分)如圖，在ABC中，點M是邊BC的中點，點N在邊AC上，且AN2NC，AM與BN相交于點P，求APPM的值解題流程規(guī)范解答設(shè)e1，e2，則3e2e1，2e1e2.(2分)A，P，M和B，P，N分別共線，存在實數(shù)，使得e13e2，(4分)2e1e2.(6分)故(2)e1(3)e2.而2e13e2，(8分)由平面向量基本定理，得解得(10分)，APPM41.(12分)名師批注選取恰當?shù)幕资墙鉀Q此類問題的前提若不能根據(jù)題意選出基底或設(shè)出基向量，則后續(xù)推導(dǎo)無法進行利用A，P，M和B，P，N分別共線建立，是解決本題的關(guān)鍵，也是解決此類問題的常用方法由平面向量基本定理的唯一性建立關(guān)于，的方程組，求出，的值，即可求出與的關(guān)系，進而求出APPM的值 活學(xué)活用如圖，ABC中，D為BC的中點，G為AD的中點，過點G任作一直線MN分別交AB，AC于M，N兩點，若x，y，試問：是否為定值？答案：4，為定值隨堂即時演練1設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，下列向量組：與；與；與；與，其中可作為這個平行四邊形所在平面的基底的是()ABC D答案：B2已知ABCD中，DAB30，則與的夾角為()A30 B60C120 D150答案：D3如圖，C，D是AOB中邊AB的三等分點，設(shè)e1，e2，以e1，e2為基底來表示_，_.答案：e1e2e1e24已知e1，e2不共線，且ake1e2，be2e1，若a，b不能作為基底，則k等于_答案：15梯形ABCD中，ABCD，M，N分別是DA，BC的中點，且k，設(shè)e1，e2，以e1，e2為基底表示向量.答案：e1(k1)e2課時達標檢測一、選擇題1如果e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是()e1 e2(，R)可以表示平面內(nèi)的所有向量；對于平面內(nèi)任一向量a，使ae1 e2的實數(shù)對(，)有無窮多個；若向量1e11e2與2e12e2共線，則有且只有一個實數(shù)，使得1e11e2(2e12e2)；若實數(shù)，使得e1e20，則0.ABC D答案：B2已知e1，e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么下面四組向量中，不能作為一組基底的是()Ae1，e1e2Be12e2，e22e1Ce12e2,4e22e1De1e2，e1e2答案：C3如圖，在矩形ABCD中，若5e1，3e2，則()A.(5e13e2)B.(5e13e2)C.(3e25e1)D.(5e23e1)答案：A4AD與BE分別為ABC的邊BC，AC上的中線，且a，b，則()A.ab B.abC.ab Dab答案：B5A，B，O是平面內(nèi)不共線的三個定點，且a，b，點P關(guān)于點A的對稱點為Q，點Q關(guān)于點B的對稱點為R，則PR等于()AabB2(ba)C2(ab)Dba答案：B二、填空題6已知非零向量a，b，c滿足abc0，向量a，b的夾角為120，且|b|2|a|，則向量a與c的夾角為_答案：907如圖，在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AHBC于點H，M為AH的中點若，則_.答案：8設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且ae12e2，be1e2，則向量e1e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1e2_.答案：ab三、解答題9設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)證明：a，b可以作為一組基底；(2)以a，b為基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若 4e13e2ab，求，的值解：(1)證明：若a，b共線，則存在R，使ab，則e12e2(e13e2)由e1，e2不共線，得不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底(2)設(shè)cmanb(m，nR)，則3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.c2ab.(3)由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.故所求，的值分別為3和1.10如圖，已知梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，E、F分別是DC、AB的中點，設(shè)a，b，試用a，b表示，.解：DCAB，AB2DC，E、F分別是DC、AB的中點，a，b.babba.11.如圖，平面內(nèi)有三個向量，其中與的夾角為120，與的夾角為30，且|1，|2，若 (，R)，求的值解：如圖，以O(shè)A，OB所在射線為鄰邊，OC為對角線作平行四邊形ODCE，則.在RtOCD中，|2，COD30，OCD90，|4，|2，故4，2，即4，2，6.- 10 -