第四章 1 理 解 教 材 新 知把 握 熱點 考 向應(yīng) 用 創(chuàng) 新 演 練 考 點 一 考 點 二 考 點 三 如 圖 ， 陰 影 部 分 是 由 拋 物 線 f(x) x2， 直 線 x 1以 及 x軸 所 圍 成 的 平 面 圖 形 問 題 1： 通 常 稱 這 樣 的 平 面 圖 形為 什 么 ？ 提 示 ： 曲 邊 梯 形 問 題 2： 如 何 求 出 所 給 平 面 圖 形 的 面 積 近 似 值 ？ 提 示 ： 把 平 面 圖 形 分 成 多 個 小 曲 邊 梯 形 ， 求 這些 小 曲 邊 梯 形 的 面 積 和 問 題 3： 你 能 求 出 近 似 值 嗎 ？提 示 ： 能 不 妨 將 區(qū) 間 0,1五 等 分 ， 如 圖 所 示 求 出 圖 甲 或 圖 乙 所 有 陰 影 小 矩 形 的 面 積 和 S1或 S2， 即 為曲 邊 梯 形 面 積 S的 近 似 值 問 題 4： 如 何 更 精 確 地 求 出 陰 影 部 分 的 面 積 S? 提 示 ： 分 割 的 曲 邊 梯 形 數(shù) 目 越 多 ， 所 求 得 面 積 越 精 確 長 度最 大 的 某 一 個 固 定 的積 分 號積 分 的 下 限 積 分 的 上 限 被 積 函數(shù) x a x by 0 y f(x) x a x b b a 例 1 一 輛 汽 車 在 直 線 形 公 路 上 變 速 行 駛 ， 汽 車 在時 刻 t的 速 度 為 v(t) t2 5(單 位 ： km/h) 試 估 計 這 輛 汽車 在 0t2(單 位 ： h)這 段 時 間 內(nèi) 行 駛 的 路 程 思 路 點 撥 將 變 速 直 線 運 動 的 路 程 問 題 化 歸 為 勻 速直 線 運 動 的 路 程 問 題 ， 通 過 求 矩 形 面 積 問 題 即 可 解 決 精 解 詳 析 將 區(qū) 間 0,210等 分 ， 如 圖 ： S ( 02 5 0.22 5 1.82 5) 0.2 7.72， s ( 0.22 5 0.42 5 1.82 5 22 5) 0.26.92， 估 計 該 車 在 這 段 時 間 內(nèi) 行 駛 的 路 程 介 于 6.92 km與7.72 km之 間 一 點 通 解 決 這 類 問 題 ， 是 通 過 分 割 自 變 量 的 區(qū) 間求 得 過 剩 估 計 值 和 不 足 估 計 值 ， 分 割 得 越 細(xì) ， 估 計 值 就越 接 近 精 確 值 ； 當(dāng) 分 割 成 的 小 區(qū) 間 的 長 度 趨 于 0時 ， 過 剩估 計 值 和 不 足 估 計 值 都 趨 于 要 求 的 值 答 案 ： A 解 ： 將 區(qū) 間 1,25等 分 ， 分 別 以 每 個 小 區(qū) 間 的 左 、 右 端點 的 縱 坐 標(biāo) 為 小 矩 形 的 高 ， 得 此 平 面 圖 形 面 積 的 不 足估 計 值 s和 過 剩 估 計 值 S. 522 522 522 一 點 通 利 用 幾 何 意 義 求 定 積 分 ， 關(guān) 鍵 是 準(zhǔn) 確 確 定被 積 函 數(shù) 的 圖 像 ， 以 及 積 分 區(qū) 間 ， 正 確 利 用 相 關(guān) 的 幾 何 知識 求 面 積 ， 不 規(guī) 則 的 圖 形 常 用 分 割 法 求 面 積 ， 注 意 分 割 點的 準(zhǔn) 確 確 定 答 案 ： (1) (2) 思 路 點 撥 涉 及 定 積 分 的 線 性 運 算 時 ， 可 考 慮 用 定積 分 的 性 質(zhì) 進 行 求 解 一 點 通 利 用 定 積 分 的 性 質(zhì) 可 將 被 積 函 數(shù) 較 復(fù) 雜的 定 積 分 化 為 簡 單 函 數(shù) 的 定 積 分 ， 將 未 知 的 定 積 分 轉(zhuǎn)化 為 已 知 的 定 積 分 ； 對 于 分 段 函 數(shù) 類 型 的 定 積 分 ， 可以 利 用 定 積 分 的 性 質(zhì) 分 解 求 值 答 案 ： 5