13.4 課 題 學(xué) 習(xí) 最 短 路 徑 問 題 前 面 我 們 研 究 過 一 些 關(guān) 于 “ 兩 點 的 所 有 連 線 中 ， 線 段 最 短 ” 、 “ 連 接 直 線 外 一 點 與 直 線 上 各 點 的 所 有 線 段中 ， 垂 線 段 最 短 ” 等 的 問 題 ， 我 們 稱 它 們 為 最 短 路 徑 問 題 現(xiàn) 實 生 活 中 經(jīng) 常 涉 及 到 選 擇 最 短 路 徑 的 問 題 復(fù) 習(xí) 引 入 1、 如 圖 所 示 ： 從 A地 到 B地 有 三 條 路 可供 選 擇 ， 你 會 選 擇 哪 條 路 距 離 最 短 ？你 的 理 由 是 什 么 ？ F EDC BA兩 點 之 間 線 段 最 短 2、 如 圖 ， 要 在 燃 氣 管 道 L上 修 建 一 個 泵 站 ，分 別 向 A、 B兩 鎮(zhèn) 供 氣 ， 泵 站 修 在 管 道 的 什么 地 方 ， 可 使 所 用 的 輸 氣 管 線 最 短 ？P所 以 泵 站 建 在 點 P可 使 輸 氣 管 線 最 短 思 考 上 圖 中 ， 某 人 站 在 A處 ， 直 線 l為 一 條 公 路 ，一 輛 拖 拉 機(jī) 從 西 向 東 行 駛 ， 問 拖 拉 機(jī) 行 駛到 什 么 位 置 時 對 人 的 噪 音 影 響 最 大 ？ 為 什么 ？ （ 假 設(shè) 拖 拉 機(jī) 在 行 駛 中 對 A處 的 人 一 直 有 噪音 影 響 ） 問 題 1如 圖 ， 牧 馬 人 從 A 地 出 發(fā) ， 到 一 條 筆 直 的 河邊 l 飲 馬 ， 然 后 到 B 地 牧 馬 人 到 河 邊 的 什么 地 方 飲 馬 ， 可 使 他 所 走 的 路 徑 最 短 ？新 知 學(xué) 習(xí) BA l 追 問 1 這 是 一 個 實 際 問 題 ， 你 打 算 首 先 做 什 么 ？ 將 A， B 兩 地 抽 象 為 兩 個 點 ， 將 河 l 抽 象 為 一 條 直 線 探 索 新 知 BA l 探 索 新 知 追 問 2 如 圖 ， 點 A， B 在 直 線 l 的 同 側(cè) ， 點 C 是 直線 上 的 一 個 動 點 ， 當(dāng) 點 C 在 l 的 什 么 位 置 時 ， AC 與 CB 的 和 最 小 ？ 分 析 ： 類 似 管 道 泵 站 問 題 ， 如 何 將 點 B“移 ” 到 l 的 另 一 側(cè) B處 ， 滿 足 直 線 l 上 的 任 意 一 點 C， 都保 持 CB 與 CB的 長 度 相 等 ？ 作 法 ：（ 1） 作 點 B 關(guān) 于 直 線 l 的 對 稱 點 B ；（ 2） 連 接 AB ， 與 直 線 l 相 交 于 點 C 則 點 C 即 為 所 求 探 索 新 知 B lA BC總 結(jié) 經(jīng) 驗 ： 實 際 上 是 通 過 軸 對 稱 變 換 ， 把 A， B在 直線 同 側(cè) 的 問 題 轉(zhuǎn) 化 為 在 直 線 的 兩 側(cè) ， 從 而 可 利用 “ 兩 點 之 間 線 段 最 短 ” 加 以 解 決 。 證 明 ： 如 圖 ， 在 直 線 l 上 另 外 任 取 一 點 C ， 連 接AC ， BC ， B C 由 軸 對 稱 的 性 質(zhì) 知 ， BC =B C， BC =B C AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC探 索 新 知 追 問 3 你 能 用 所 學(xué) 的 知 識 證 明 AC +BC最 短 嗎 ？ B lA BCC 探 索 新 知 B lA BCC 在 ABC中 ， AB AC+BC， AC +BC AC+BC 即 AC +BC 最 短 若 直 線 l 上 任 意 一 點 （ 與 點C 不 重 合 ） 與 A， B 兩 點 的 距 離和 都 大 于 AC +BC， 就 說 明 AC + BC 最 小 探 索 新 知 B lA BCC 追 問 4 證 明 AC +BC 最 短 時 ， 為 什 么 要 在 直 線 l 上任 取 一 點 C （ 與 點 C 不 重 合 ） ， 證 明 AC +BC AC+BC ？ 這 里 的 “ C ” 的 作 用 是 什 么 ？ 運 用 新 知 練 習(xí) 如 圖 ， 一 個 旅 游 船 從 大 橋 AB 的 P 處 前 往 山腳 下 的 Q 處 接 游 客 ， 然 后 將 游 客 送 往 河 岸 BC 上 ， 再 返 回 P 處 ， 請 畫 出 旅 游 船 的 最 短 路 徑 A BC PQ山 河 岸大 橋 運 用 新 知 基 本 思 路 ： 由 于 兩 點 之 間 線 段 最 短 ， 所 以 首 先 可 連 接 PQ， 線段 PQ 為 旅 游 船 最 短 路 徑 中 的 必 經(jīng) 線 路 將 河 岸 抽 象 為一 條 直 線 BC， 這 樣 問 題 就 轉(zhuǎn) 化 為 “ 點 P， Q 在 直 線 BC 的 同 側(cè) ， 如 何 在 BC上 找 到一 點 R， 使 PR與 QR 的 和 最小 ” A BC PQ山 河 岸大 橋 歸 納 小 結(jié)（ 1） 本 節(jié) 課 研 究 問 題 的 基 本 過 程 是 什 么 ？ （ 2） 軸 對 稱 在 所 研 究 問 題 中 起 什 么 作 用 ？ 教 科 書 復(fù) 習(xí) 題 13第 15題 及 補(bǔ) 充習(xí) 題 布 置 作 業(yè) 1、 如 圖 ， A為 馬 廄 ， B為 帳 篷 ， 牧 馬 人 某 一天 要 從 馬 廄 牽 出 馬 ， 先 到 草 地 邊 某 一 處 牧馬 ， 再 到 河 邊 給 馬 喝 水 ， 然 后 回 到 帳 篷 ，請 你 幫 助 他 確 定 這 一 天 的 最 短 路 線 。 2、 如 果 另 一 側(cè) 放 著 一 些 小 木 棍 ， 小 明 先 去撿 球 ， 還 要 跑 到 另 一 側(cè) 去 取 木 棍 ， 則 小 明又 應(yīng) 按 怎 樣 的 路 線 跑 ， 去 撿 哪 個 位 置 的 球 ，小 木 棍 ， 才 能 最 快 跑 到 目 的 地 A處 。 小明 AD EC 路 線 ： 小 明 DEA 3、 如 果 我 們 把 臺 球 桌 做 成 等 邊 三 角 形 的 形狀 ， 那 么 從 AC中 點 D處 發(fā) 出 的 球 ， 能 否 依次 經(jīng) BC、 AB兩 條 邊 反 射 回 到 D處 ？ 如 果 你認(rèn) 為 不 能 ， 請 說 明 理 由 ； 如 果 你 認(rèn) 為 能 ，請 作 出 球 運 動 的 路 線 。AB CD