2019-2020年高中數(shù)學 2-2-3第3課時 直線與橢圓的位置關(guān)系同步檢測 新人教版選修2-1一、選擇題1點P為橢圓1上一點，以點P以及焦點F1、F2為頂點的三角形的面積為1，則P點的坐標為()A(，1) B(，1)C(，1) D(，1)答案D解析設(shè)P(x0，y0)，a25，b24，c1，SPF1F2|F1F2|y0|y0|1，y01，1，x0.故選D.2已知m、n、mn成等差數(shù)列，m、n、mn成等比數(shù)列，則橢圓1的離心率為()A. B. C. D.答案C解析由已知得：，解得，e，故選C.3在ABC中，BC24，ABAC26，則ABC面積的最大值為()A24 B65 C60 D30答案C解析ABAC>BC，A點在以BC為焦點的橢圓上，因此當A為短軸端點時，ABC面積取最大值SmaxBC560，選C.4已知P是以F1、F2為焦點的橢圓1(a>b>0)上一點，若0，tanPF1F2，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.答案D解析由0知F1PF2為直角，設(shè)|PF1|x，由tanPF1F2知，|PF2|2x，ax，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2得cx，e.5如圖F1、F2分別是橢圓1(a>b>0)的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該左半橢圓的兩個交點，且F2AB是等邊三角形，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.1答案D解析連結(jié)AF1，由圓的性質(zhì)知，F(xiàn)1AF290，又F2AB是等邊三角形，AF2F130，AF1c，AF2c，e1.故選D.6過橢圓1的焦點的最長弦和最短弦的長分別為()A8,6 B4,3C2， D4,2答案B解析橢圓過焦點的弦中最長的是長軸，最短的為垂直于長軸的弦(通徑)是.最長的弦為2a4，最短的弦為23故選B.7(09江西理)過橢圓1(a>b>0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)2為右焦點，若F1PF260，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.答案B解析把xc代入橢圓方程可得yc，|PF1|，|PF2|，故|PF1|PF2|2a，即3b22a2又a2b2c2，3(a2c2)2a2，()2，即e.8已知點P是橢圓1在第三象限內(nèi)一點，且它與兩焦點連線互相垂直若點P到直線4x3y2m10的距離不大于3，則實數(shù)m的取值范圍是()A7,8 B，C2,2 D(，78，)答案A解析橢圓1的兩焦點坐標分別為F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)，設(shè)橢圓上點P(x，y)(x<0，y<0)，由題意得解得P(3，4)由點到直線的距離公式可得3，解得7m8，故選A.9設(shè)橢圓1(a>b>0)的離心率為e，右焦點為F(c,0)，方程ax2bxc0的兩個實根分別為x1和x2，則點P(x1，x2)()A必在圓x2y22上B必在圓x2y22外C必在圓x2y22內(nèi)D以上三種情形都有可能答案C解析ec，baax2bxc0ax2ax0x2x0，x1x2，x1x2xx(x1x2)22x1x21<2在圓x2y22內(nèi)，故選C.10已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是()A(0,1) B(0，C(0，) D，1)答案C解析依題意得，c<b，即c2<b2，c2<a2c2,2c2<a2，故離心率e<，又0<e<1，0<e<，故選C.二、填空題11在平面直角坐標系xOy中，設(shè)橢圓1(a>b>0)的焦距為2c.以點O為圓心，a為半徑作圓M.若過點P作圓M的兩條切線互相垂直，則該橢圓的離心率為_答案解析設(shè)切點為Q、B，如圖所示切線QP、PB互相垂直，又半徑OQ垂直于QP，所以O(shè)PQ為等腰直角三角形，可得a，e.12若過橢圓1內(nèi)一點(2,1)的弦被該點平分，則該弦所在直線的方程是_答案x2y40解析設(shè)弦兩端點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1，兩式相減并把x1x24，y1y22代入得，所求直線方程為y1(x2)，即x2y40.13設(shè)F1、F2分別為橢圓C：1(a>b>0)的左右兩個焦點，若橢圓C上的點A(1，)到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和為4，則橢圓C的方程是_，焦點坐標是_答案1；(1,0)解析由|AF1|AF2|2a4得a2原方程化為：1，將A(1，)代入方程得b23橢圓方程為：1，焦點坐標為(1,0)14如圖所示，某隧道設(shè)計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀若最大拱高h為6米，則隧道設(shè)計的拱寬l約為_(精確到0.1米)答案33.3米解析如圖所示，建立直角坐標系，則點P(11,4.5)，橢圓方程為1.將bh6與點P坐標代入橢圓方程，得a，此時l2a33.3因此隧道的拱寬約為33.3米三、解答題15(xx北京文，19)已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(，0)，(，0)，離心率是，直經(jīng)yt與橢圓C交于不同的兩點M、N，以線段MN為直徑作圓P，圓心為P.(1)求橢圓C的方程；(2)若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標分析本題考查了圓和橢圓的標準方程，以及放縮法和三角換元在求最值中的應用解析(1)且c，a，b1.橢圓c的方程為y21.(2)由題意知點P(0，t)(1<t<1)，由得x圓P的半徑為，又圓P與x軸相切，|t|，解得t，故P點坐標為.16中心在原點O，焦點在坐標軸上的橢圓與直線xy1交于A、B兩點，M為AB的中點，直線OM的斜率為，且OAOB，求橢圓的方程分析由于不知道橢圓的焦點在哪個坐標軸上，可設(shè)方程為ax2by21(a>0，b>0，ab)欲求橢圓方程，需求a、b，為此需要得到關(guān)于a、b的兩個方程，由OM的斜率為，OAOB易得a、b的兩個方程解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2), M(，)由(ab)x22bxb10.，1.M(，)，kOM，ba.OAOB，1，x1x2y1y20.x1x2，y1y2(1x1)(1x2)1(x1x2)x1x21.0，ab2.由得a2(1)，b2(2)所求方程為2(1)x22(2)y21.點評直線與橢圓相交的問題，通常采取設(shè)而不求，即設(shè)出A(x1，y1)，B(x2，y2)，但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來解決問題. 由OAOB得x1x2y1y20是解決本題的關(guān)鍵17A、B是兩定點，且|AB|2，動點M到A的距離為4，線段MB的垂直平分線l交MA于P.(1)求點P的軌跡方程；(2)若點P到A、B兩點的距離之積為m，當m取最大值時，求P的坐標解析(1)以直線AB為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，則A(1,0)，B(1,0)l為MB的垂直平分線，|PM|PB|，|PA|PB|PA|PM|4，點P的軌跡是以A，B為兩個焦點，長軸長為4的橢圓，其方程為1.(2)m|PA|PB|()24，當且僅當|PA|PB|時，m最大，這時P的坐標(0，)或(0，)18已知A(4,0)、B(2,2)是橢圓1內(nèi)的兩個點，M是橢圓上的動點，求|MA|MB|的最大值和最小值解析如下圖所示，由1，得a5，b3，c4.所以點A(4,0)為橢圓一個焦點，記另一個焦點為F(4,0)又因為|MA|MF|2a10，所以|MA|MB|10|MF|MB|，又|BF|2，所以2|FB|MB|MF|FB|2.所以102|MA|MB|102.當F、B、M三點共線時等號成立所以|MA|MB|的最大值為102，最小值為102.點評本題應用三角形中兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊的思想，并結(jié)合橢圓定義求解