2019-2020年高中數學 2-4-2第2課時 拋物線的簡單幾何性質同步檢測 新人教版選修2-1一、選擇題1過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于A(x1，y1) 、B(x2，y2)兩點，如果x1x26，那么，|AB|等于()A8B10C6D4答案A解析由題意，|AB|x11x21(x1x2)2628，選A.2到點(1,0)與直線x3的距離相等的點的軌跡方程為()Ax24y4By24x4Cx28y8 Dy28x8答案D解析由已知得|x3|，變形為：y28x8，故選D.3(xx湖南文，5)設拋物線y28x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是()A4B6C8D12答案B解析本題考查拋物線的定義由拋物線的定義可知，點P到拋物線焦點的距離是426.4已知A、B在拋物線y22px(p>0)上，O為坐標原點，如果|OA|OB|，且AOB的垂心恰好是此拋物線的焦點F，則直線AB的方程是()Axp0 B4x3p0C2x5p0 D2x3p0答案C解析如圖所示：F為垂心，F為焦點，OAOB，OF垂直平分AB.AB為垂直于x軸的直線設A為(2pt2,2pt)(t>0)，B為(2pt2，2pt)，F為垂心，OBAFkOBkAF1，即1，解得t2AB為x2pt2p，選C.5過拋物線y24x的焦點的直線交拋物線于A、B兩點O為坐標原點，則的值是()A12 B12C3 D3答案D解析設A(，y1)，B(，y2)，則(，y1)，(，y2)，則(，y1)(，y2)y1y2，又AB過焦點，則有y1y2p24，y1y243，故選D.6(xx中山市高二期末)若點P到直線x1的距離比它到點(2,0)的距離小1，則點P的軌跡為()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線答案D7在直角坐標平面內，到點(1,1)和直線x2y3距離相等的點的軌跡是()A直線 B拋物線C圓 D雙曲線答案A解析點(1,1)在直線x2y3上，軌跡為過點(1,1)且與x2y3垂直的直線8拋物線yx2上的點，到直線4x3y80距離的最小值是()A.B.C.D3答案A解析拋物線yx2上到直線4x3y80的距離最小的點也就是拋物線yx2的與4x3y80平行的切線的切點設切線方程為4x3yb0，聯立與yx2組成的方程組，解得切點為(，)最小距離為d.9過拋物線y24x的焦點，作一條直線與拋物線交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線()A有且僅有一條 B有且僅有兩條C有無窮多條 D不存在答案B解析由定義|AB|527，|AB|min4，這樣的直線有兩條10直線l經過拋物線y22px(p>0)的焦點F，且與拋物線交于P、Q兩點，由P、Q分別向準線引垂線PR、QS，垂足分別為R、S.如果|PF|a，|QF|b，M為RS的中點，則|MF|的值為()Aab B.(ab)Cab D.答案D解析根據拋物線的定義，有|PF|PR|，|QF|QS|.RFOFRPRFP，SFOFSQSFQ，RFSRFPSFQ.RFS為直角三角形，故|MF|為直角三角形斜邊上的中線在直角梯形PRSQ中，|RS|2.故|FM|RS|.二、填空題11已知點A(2,0)、B(4,0)，動點P在拋物線y24x上運動，則取得最小值時的點P的坐標是_答案(0,0)解析設P，則，y2y288，當且僅當y0時取等號，此時點P的坐標為(0,0)12已知點A(4,0)，M是拋物線y26x上的動點，當點M到A距離最小時，M點坐標為_答案(1，)解析設M，則|MA|22yyy16(y6)21515，當且僅當y6，即y1，x11時，|MA|取最小值，此時M(1，)13(xx全國文，15)已知拋物線C：y22px(p>0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于A，與C的一個交點為B，若AM，則p_.答案2解析本題考查了拋物線與直線的位置關系由斜率為，M60，又，M為中點BPBM，M為焦點，即1，p2.14已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，且拋物線上一點(3，m)到焦點的距離為5，則拋物線的方程為_答案x22y，x22y，x218y，x218y分析應分焦點在y軸正半軸，負半軸兩種情況考慮，利用拋物線的定義，結合待定系數法求拋物線方程解析解法一：若焦點在y軸的正半軸上，則可設方程為x22py(p>0)準線方程為y，所以m5. 又因為92pm，所以m，所以5.得p1或p9.所以拋物線方程為x22y，或x218y.若焦點在y軸負半軸上，則方程為x22py(p>0)，準線方程為y，所以m5，所以5，得p1或p9，所以拋物線的方程為x22y，或x218y.解法二：設拋物線的方程為x22ay(a0)，則p|a|，準線方程為y.依題意有解此方程組可得四組解：所以所求拋物線方程為：x22y，x22y，x218y，x218y.點評注意焦點在x軸或y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設成y22ax(a0)或x22ay(a0)的形式，以簡化運算此題沒要求求m的值，故解方程組可只求a即可，這樣，解法二就更加簡捷三、解答題15已知點A在平行于y軸的直線l上，且l與x軸的交點為(4,0)動點P滿足平行于x軸，且，求P點的軌跡解析設動點P的坐標為(x，y)，則由已知有A的坐標為(4，y)，所以(4，y)，(x，y)因為，所以0，因此4xy20，即P的軌跡方程為4xy20.軌跡是拋物線16(xx湖北文，20)已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.(1)求曲線C的方程；(2)是否存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有<0？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由分析本小題主要考查直線與拋物線的位置關系，拋物線的性質等基礎知識，同時考查推理運算的能力解析(1)設P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足：x1(x>0)化簡得y24x(x>0)(2)設過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)設l的方程為xtym，由得y24ty4m0，此時16(t2m)>0.于是又(x11，y1)，(x21，y2)<0(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2<0又x，于是不等式等價于y1y2()1<0y1y2(y1y2)22y1y21<0由式，不等式等價于m26m1<4t2對任意實數t,4t2的最小值為0，所以不等式對于一切t成立等價于m26m1<0，即32<m<32由此可知，存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任意一直線，都有<0，且m的取值范圍是(32，32)17求證：以拋物線的焦點弦為直徑的圓必與拋物線準線相切證明如圖，作AAl于A，BBl于B，M為AB的中心，作MMl于M，則由拋物線定義可知|AA|AF|，|BB|BF|，在直角梯形BBAA中，|MM|(|AA|BB|)(|AF|BF|)|AB|，即|MM|等于以|AB|為直徑的圓的半徑故以|AB|為直徑的圓與拋物線的準線相切18已知過拋物線y22px(p>0)的焦點的直線交拋物線于A、B兩點，且|AB|p，求AB所在的直線方程解析解法1：焦點F(，0)，設A(x1，y1)、B(x2，y2)，若ABOx，則|AB|2p<p所以直線AB的斜率存在，設為k，則直線AB的方程為yk(x)，k0.由消去x，整理得ky22pykp20.由韋達定理得，y1y2，y1y2p2.|AB|2p(1)p.解得k2.AB所在直線方程為y2(x)或y2(x)解法2：如圖所示，拋物線y22px(p>0)的準線為x，A(x1，y1)，B(x2，y2)，設A、B到準線的距離分別為dA，dB，由拋物線的定義知，|AF|dAx1，|BF|dBx2，于是|AB|x1x2pp；x1x2p.當x1x2時，|AB|2p<p，直線AB與Ox不垂直設直線AB的方程為yk(x)由得k2x2p(k22)xk2p20.x1x2，即p，解得k2.直線AB的方程為y2(x)或y2(x)