2019-2020 年高中數學 圓錐曲線復習知識精講 理 蘇教版選修 2-1 【本講教育信息】 一. 教學內容： 圓錐曲線復習 二. 教學目標： 1. 通過小結與復習，能較準確地理解和掌握三種曲線的特點以及它們之間的區(qū)別與聯系 2. 通過本節(jié)教學能較全面地掌握本章所教的各種方法與技巧，尤其是解析幾何的基本方 法坐標法； 本周知識要點 一. 知識歸納： 名 稱 橢圓 雙曲線 圖 象 xOy x Oy 定 義 平面內到兩定點的距離的和為常數 （大于）的動點的軌跡叫橢圓即 當 22 時，軌跡是橢圓， 當 22 時，軌跡是一條線段 當 22 時，軌跡不存在 平面內到兩定點的距離的差的絕對值 為常數（小于）的動點的軌跡叫雙曲線 即 當 22 時，軌跡是雙曲線 當 22 時，軌跡是兩條射線 當 22 時，軌跡不存在 標準 方 程 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 注：根據分母的大小來判斷焦點在哪 一坐標軸上 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 常數 的關 系 ， ， 最大， ， 最大，可以 漸近 線 焦點在軸上時： 焦點在軸上時： 拋物線： 圖 形 x yOFlyl 方 程 焦 點 準 線 （一）橢圓 1. 橢圓的性質：由橢圓方程 （1）范圍：，橢圓落在組成的矩形中。 （2）對稱性:圖象關于 y 軸對稱。圖象關于 x 軸對稱。圖象關于原點對稱。原點 叫橢圓的對稱中心，簡稱中心。x 軸、y 軸叫橢圓的對稱軸。從橢圓的方程中直接可以 看出它的范圍，對稱的截距。 （3）頂點：橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點 橢圓共有四個頂點：， 。加兩焦點共有六個特殊點。叫橢圓的長軸，叫橢圓的短軸。 長分別為。分別為橢圓的長半軸長和短半軸長。橢圓的頂點即為橢圓與對稱軸的交點。 （4）離心率：橢圓焦距與長軸長之比。 。 。 橢圓形狀與的關系：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認為圓為橢圓在時的特 例。橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時也可認為是橢圓在時的特例。 2. 橢圓的第二定義：一動點到定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個內常數， 那么這個點的軌跡叫做橢圓。其中定點叫做焦點，定直線叫做準線，常數就是離心率。 橢圓的第二定義與第一定義是等價的，它是橢圓兩種不同的定義方式 3. 橢圓的準線方程 對于，左準線；右準線 對于，下準線；上準線 焦點到準線的距離 cbacp222（焦參數） （二）雙曲線的幾何性質： 1. （1）范圍、對稱性 由標準方程，從橫的方向來看，直線 xa,xa 之間沒有圖象，從縱的方向來看， 隨著 x 的增大，y 的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣 是封閉曲線。雙曲線不封閉，但仍稱其對稱中心為雙曲線的中心。 （2）頂點 頂點：，特殊點： 實軸：長為 2a,a 叫做實半軸長。虛軸：長為 2b，b 叫做虛半軸長。 雙曲線只有兩個頂點，而橢圓則有四個頂點，這是兩者的又一差異。 （3）漸近線 過雙曲線的漸近線（） （4）離心率 雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率 范圍：e>1 雙曲線形狀與 e 的關系： 1222 eaccabk ，e 越大，即漸近 線的斜率的絕對值就越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊。由此可知，雙曲線 的離心率越大，它的開口就越闊。 2. 等軸雙曲線 定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。 等軸雙曲線的性質：（1）漸近線方程為：；（2）漸近線互相垂直；（3）離心率。 3. 共漸近線的雙曲線系 如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或寫成。 4. 共軛雙曲線 以已知雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸，這樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛雙 曲線。區(qū)別：三量 a,b,c 中 a,b 不同（互換）c 相同。共用一對漸近線。雙曲線和它的共 軛雙曲線的焦點在同一圓上。確定雙曲線的共軛雙曲線的方法：將 1 變?yōu)?。 5. 雙曲線的第二定義：到定點 F 的距離與到定直線的距離之比為常數的點的軌跡是雙曲 線。其中，定點叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線。常數 e 是雙曲線的離心率。 6. 雙曲線的準線方程： 對于來說，相對于左焦點對應著左準線，相對于右焦點對應著右準線； 焦點到準線的距離（也叫焦參數） 。 對于來說，相對于下焦點對應著下準線；相對于上焦點對應著上準線。 （三）拋物線的幾何性質 （1）范圍 因為 p0，由方程可知，這條拋物線上的點 M 的坐標（x，y）滿足不等式 x0，所以 這條拋物線在 y 軸的右側；當 x 的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方 無限延伸。 （2）對稱性 以y 代 y，方程不變，所以這條拋物線關于 x 軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋 物線的軸。 （3）頂點 拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點在方程中，當 y0 時，x0，因此拋物線 的頂點就是坐標原點。 （4）離心率 拋物線上的點 M 與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用 e 表 示。由拋物線的定義可知，e1。 【典型例題】 例 1. 根據下列條件，寫出橢圓方程 （1）中心在原點、以對稱軸為坐標軸、離心率為 1/2、長軸長為 8； （2）和橢圓 9x24y 236 有相同的焦點，且經過點（2，3） ； （3）中心在原點，焦點在 x 軸上，從一個焦點看短軸兩端的視角為直角，焦點到長軸 上較近頂點的距離是。 分析：求橢圓的標準方程，首先要根據焦點位置確定方程形式，其次是根據 a2b 2c 2及已知條件確定 a2、b 2的值進而寫出標準方程。 解：（1）焦點位置可在 x 軸上，也可在 y 軸上 因此有兩解： 161y62去 （2）焦點位置確定，且為（0， ） ，設原方程為,（a>b>0） ，由已知條件有 14952ba，故方程為。 （3）設橢圓方程為,（a>b>0） 由題設條件有及 a2b 2c 2，解得 b 故所求橢圓的方程是。 例 2. 直線與雙曲線相交于 A、B 兩點，當為何值時，A、B 在雙曲線的同一支上？當為何 值時，A、B 分別在雙曲線的兩支上？ 解：把代入 整理得：（1） 當時， 由>0 得且時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點 若 A、B 在雙曲線的同一支，須>0，所以或。 故當或時，A、B 兩點在同一支上；當時，A、B 兩點在雙曲線的兩支上。 例 3. 已知拋物線方程為（p>0） ，直線過拋物線的焦點 F 且被拋物線截得的弦長為 3，求 p 的值。 解：設與拋物線交于 12(,),|3.xyAB則 由距離公式|AB| |y|2|y|k1)(- 21221 則有 由 02yx，)1(2 pxpy去去 .,.04211 從而 22214)y 即 由于 p>0，解得 【模擬試題】 （答題時間：40 分鐘） 1. 是任意實數，則方程所表示的曲線不可能是（ ） A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 拋物線 D. 圓 2. 已知橢的一條準線方程是，則實數的值是（ ） A. 7 或7 B. 4 或 12 C. 1 或 15 D. 0 3. 雙曲線的離心率，則的取值范圍為（ ） A. B. （12，0） C. （3，0） D. （60，12） 4. 以的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為（ ） A. B. C. D. 5. 拋物線的焦點坐標為（ ） A. B. C. D. 6. 已知點 A（2，1） ，的焦點為 F，P 是的點，為使取得最小值，點的坐標是（ ） A. B. C. D. 7. 已知雙曲線的漸近線方程為，一條準線方程為，則雙曲線方程為（ ） A. B. C. D. 8. 拋物線到直線距離最近的點的坐標為（ ） A. B. C. D. 9. 動圓的圓心在拋物線上，且動圓與直線相切，則動圓必過定點（ ） A. （4，0） B. （2，0） C. （0，2） D. （0，2） 10. 到定點（2，0）的距離與到定直線的距離之比為的動點的軌跡方程為 _。 11.雙曲線的一條準線是，則_。 12. 已知點（2，3）與拋物線的焦點距離是 5，_。 13. 中心在原點，一個焦點為 F1（0， ）的橢圓截直線所得弦的中點橫坐標為，求橢圓的 方程。 14. 已知雙曲線的中心在原點，過右焦點 F（2，0）作斜率為的直線，交雙曲線于 M、N 兩點，且4，求雙曲線方程。 【試題答案】 1. C 2. C 3. B 4. A 5. B 6. A 7. A 8. B 9. B 10. 11. 12. 4 13. 分析：根據題意，可設橢圓的標準方程，與直線方程聯立解方程組，利用韋達定理 及中點坐標公式，求出中點的橫坐標，再由 F1（0， ）知，c， ，最后解關于 a、b 的方程 組即可。 解：設橢圓的標準方程為 由 F1（0， ）得 把直線方程代入橢圓方程整理得： 0)4(2)9( 22 abxba 設弦的兩個端點為，則由根與系數的關系得： ， 又 AB 的中點橫坐標為， 2196221ba ，與方程聯立可解出 故所求橢圓的方程為： 14. 解：設所求雙曲線方程為（a>0，b>0） ，由右焦點為（2，0） 。知 c2，b 24a 2 則雙曲線方程為，設直線 MN 的方程為：，代入雙曲線方程整理得：（208a 2） x212a 2x5a 432a 20 設 M（x 1,y1）,N（x 2,y2） ,則 2121453xN 480358022 aa 解得：， 故所求雙曲線方程為：