2019-2020年高中數(shù)學競賽輔導資料集合 集合的劃分反映了集合與子集之間的關系，這既是一類數(shù)學問題，也是數(shù)學中的解題策略分類思想的基礎，在近幾年來的數(shù)學競賽中經(jīng)常出現(xiàn)，日益受到重視，本講主要介紹有關的概念、結論以及處理集合、子集與劃分問題的方法。1 集合的概念 集合是一個不定義的概念，集合中的元素有三個特征：（1） 確定性 設是一個給定的集合，是某一具體對象，則或者是的元素，或者不是的元素，兩者必居其一，即與僅有一種情況成立。（2） 互異性 一個給定的集合中的元素是指互不相同的對象,即同一個集合中不應出現(xiàn)同一個元素。（3） 無序性2 集合的表示方法主要有列舉法、描述法、區(qū)間法、語言敘述法。常用數(shù)集如：應熟記。3 實數(shù)的子集與數(shù)軸上的點集之間的互相轉換，有序實數(shù)對的集合與平面上的點集可以互相轉換。對于方程、不等式的解集，要注意它們的幾何意義。4 子集、真子集及相等集（1）或；（2）且；（3）且。5 一個階集合（即由個元素組成的集合）有個不同的子集，其中有1個非空子集，也有1個真子集。6 集合的交、并、補運算=且；=或且要掌握有關集合的幾個運算律：（1） 交換律 ，；（2） 結合律（）（）， （）()；（3） 分配律 （）（）（） （） () （）（4）01律 ， （5）等冪律 ，（6）吸收律 ()，（）（7）求補律 CIA，CIA（8）反演律 7 有限集合所含元素個數(shù)的幾個簡單性質 設表示集合所含元素的個數(shù),（1）, 當時，（2）例題講解元素與集合的關系1 設|,，求證：（1）()；（2）2 以某些整數(shù)為元素的集合具有下列性質：中的元素有正數(shù)，有負數(shù)；中的元素有奇數(shù),有偶數(shù)；1；若，,則試判斷實數(shù)0和2與集合的關系。3 設為滿足下列條件的有理數(shù)的集合：若，則+，；對任一個有理數(shù)，三個關系，0有且僅有一個成立。證明：是由全體正有理數(shù)組成的集合。兩個集合之間的關系在兩個集合之間的關系中，我們感興趣的是“子集”、“真子集”、“相等”這三種特殊關系。這些關系是通過元素與集合的關系來揭示的，因而判斷兩個集合之間的關系通?？蓮呐袛嘣嘏c這兩個集合的關系入手。4 設函數(shù)，集合，。（1） 證明：；（2） 當時，求。（3） 當只有一個元素時，求證：5為非空集合，對于1，2，3的任意一個排列，若，則（1） 證明：三個集合中至少有兩個相等。（2） 三個集合中是否可能有兩個集無公共元素？6已知集合：問（1） 當取何值時，為含有兩個元素的集合？（2） 當取何值時，為含有三個元素的集合？7設且15，都是1，2，3，真子集，且=1，2，3，。證明：或者中必有兩個不同數(shù)的和為完全平方數(shù)。課后練習1下列八個關系式:0= =0 0 0 0 其中正確的個數(shù) （ ）（A）4 （B）5 （C）6 （D）72設A、B是全集U的兩個子集，且AB，則下列式子成立的是 （ ）（A）CUACUB （B）CUACUB=U （C）ACUB= （D）CUAB=3已知M=，且，設，則 （ ） （A）M （B）N （C）P （D）4設集合，則 （ ）（A） （B） （C） （D）5設M=1,2,3,1995，A是M的子集且滿足條件: 當xA時,15xA，則A中元素的個數(shù)最多是_.6集合A,B的并集AB=a1,a2,a3，當且僅當AB時，(A,B)與(B,A)視為不同的對，則這樣的(A,B)對的個數(shù)有_.7若非空集合A=x|2a+1x3a-5，B=x|3x22,則能使AAB成立的a的取值范圍是_.8若A=x|0x2+ax+54為單元素集合，則實數(shù)a的值為_.9設A=n|100n600,nN，則集合A中被7除余2且不能被57整除的數(shù)的個數(shù)為_.10己知集合A=x|x=f(x)，B=x|x=f(f(x),其中f(x)=x2+ax+b (a,bR)，證明：（1）AB （2）若A只含有一個元素，則A=B .11集合A=（x,y）,集合B=（x,y）,且0，又A，求實數(shù)m的取值范圍.課后練習答案1-4 C C B A5解：由于1995=15133，所以，只要n>133，就有15n>1995.故取出所有大于133而不超過1995的整數(shù). 由于這時己取出了159=135, 15133=1995. 故9至133的整數(shù)都不能再取，還可取1至8這8個數(shù)，即共取出1995133+8=1870個數(shù), 這說明所求數(shù)1870。另一方面，把k與15k配對，（k不是15的倍數(shù)，且1k133）共得1338=125對，每對數(shù)中至多能取1個數(shù)為A的元素，這說明所求數(shù)1870，綜上可知應填18706解：A=時，有1種可能；A為一元集時，B必須含有其余2元，共有6種可能；A為二元集時，B必須含有另一元.共有12種可能；A為三元集時，B可為其任一子集.共8種可能.故共有1+6+12+8=27個.7解：由A非空知2a+13a-5，故a6. 由AAB知AB. 即32a+1且3a-522, 解之，得1a9. 于是知6a98解：由.若，則A有無數(shù)個元，若，則A為空集，只有當即時，A為單元素集或.所以9解：被7除余2的數(shù)可寫為7k+2. 由1007k+2600.知14k85. 又若某個k使7k+2能被57整除，則可設7k+2=57n. 即. 即n-2應為7的倍數(shù). 設n=7m+2代入，得k=57m+16. 1457m+1685. m=0,1.于是所求的個數(shù)為85-(14-1)-2=7010證明：（1）(2)設A=c，即二次方程f(x)-x=0有惟一解c，即c為 f(x)-x=0的重根. f(x)-x=(x-c)2 即f(x)=(x-c)2+x,于是f(f(x)=(f(x)-c)2+f(x),f(f(x)-x=(f(x)-c)2+f(x)-x=(x-c)2+x-c2+(x-c)2=0故f(f(x)=x也只有惟一解x=c，即B=c. 所以A=B11解：由得設 由數(shù)形結合得:解得：例題答案：1分析：如果集合|具有性質，那么判斷對象是否是集合的元素的基本方法就是檢驗是否具有性質。解：（1）,且,故；（2）假設，則存在，使即 (*)由于與具有相同的奇偶性，所以（*）式左邊有且僅有兩種可能：奇數(shù)或4的倍數(shù)，另一方面，（*）式右邊只能被4除余2的數(shù)，故（*）式不能成立。由此，。2解：由若，,則可知，若，則（1） 由可設，且0，0，則| (|)故,由,0()+。（2）2。若2，則中的負數(shù)全為偶數(shù)，不然的話，當（）（）時，1（），與矛盾。于是，由知中必有正奇數(shù)。設，我們取適當正整數(shù)，使，則負奇數(shù)。前后矛盾。3證明：設任意的，0,由知，或之一成立。再由，若，則；若，則?？傊?。取=1，則1。再由，2=1+1，3=1+2，可知全體正整數(shù)都屬于。設，由，又由前證知，所以。因此，含有全體正有理數(shù)。再由知，0及全體負有理數(shù)不屬于。即是由全體正有理數(shù)組成的集合。4解：（1）設任意，則.而故,所以.（2） 因，所以 解得故 。由得解得 。5證明：（1）若，則所以每個集合中均有非負元素。當三個集合中的元素都為零時，命題顯然成立。否則，設中的最小正元素為，不妨設，設為中最小的非負元素，不妨設則。若0,則0，與的取法矛盾。所以=0。任取因0,故0。所以，同理。所以=。（3） 可能。例如=奇數(shù)，=偶數(shù)顯然滿足條件，和與都無公共元素。6解：=。與分別為方程組（） （）的解集。由（）解得（）=（0，1）=（，）；由（）解得（）=（1，0），（，）（1） 使恰有兩個元素的情況只有兩種可能： 由解得=0；由解得=1。故=0或1時，恰有兩個元素。（2） 使恰有三個元素的情況是：= 解得，故當時，恰有三個元素。7證明：由題設，1，2，3，的任何元素必屬于且只屬于它的真子集之一。 假設結論不真，則存在如題設的1，2，3，的真子集，使得無論是還是中的任兩個不同的數(shù)的和都不是完全平方數(shù)。 不妨設1，則3，否則1+3=，與假設矛盾，所以3。同樣6，所以6，這時10，即10。因15，而15或者在中，或者在中，但當15時，因1，1+15=，矛盾；當15時，因10，于是有10+15=，仍然矛盾。因此假設不真。即結論成立。