第 十 八 講解 直 角 三 角 形 一 、 特 殊 角 的 三 角 函 數(shù) 值 30 45 60sin _ _ _cos _ _ _tan _ _ _12 22 3232 22 1233 31 二 、 直 角 三 角 形 中 的 邊 角 關(guān) 系1.三 邊 之 間 的 關(guān) 系 :_.2.兩 銳 角 之 間 的 關(guān) 系 :_.3.邊 角 之 間 的 關(guān) 系 :sinA=cosB=_,sinB=cosA=_,tanA=_,tanB=_. a2+b2=c2 A+ B=90ac bcab ba 三 、 解 直 角 三 角 形 的 應(yīng) 用1.仰 角 和 俯 角 :如 圖 1,在 同 一 鉛 垂 面 內(nèi) 視 線 和 水 平 線間 的 夾 角 ,視 線 在 水 平 線 _的 叫 做 仰 角 ,在 水 平 線_的 叫 做 俯 角 . 上 方下 方 2.坡 度 (坡 比 )和 坡 角 :如 圖 2,通 常 把 坡 面 的 鉛 直 高 度 h和 _之 比 叫 做 坡 度 (或 叫 做 坡 比 ),用 字 母 _表示 ,即 i=_;坡 面 與 _的 夾 角 叫 做 坡 角 ,記 作 .所以 i=_=tan .水 平 寬 度 l ihl 水 平 面hl 3.方 位 角 :指 北 或 指 南 的 方 向 線 與 目 標(biāo) 方 向 所 成 的 小于 90 的 角 叫 做 方 位 角 . 【 自 我 診 斷 】 (打 “ ” 或 “ ” )1.三 角 形 任 意 一 個 角 的 對 邊 與 鄰 邊 的 比 是 這 個 角 的正 切 . ( )2.在 Rt ABC中 , C=90 ,若 sinA= ,則 cosB的 值是 . ( ) 3545 3. ABC中 , A, B都 是 銳 角 ,若 sinA= ,cosB= ,則 C=90 . ( )4.若 sin(A+30 )= ,則 A=15 . ( ) 32 1232 5.如 圖 ,在 下 列 網(wǎng) 格 中 ,小 正 方 形 的 邊 長 均 為 1,點 A,B,O都 在 格 點 上 ,則 AOB的 正 弦 值 是 . ( )3 1010 6.對 應(yīng) 任 意 直 角 三 角 形 的 兩 個 銳 角 A,B,則 有 sin2A+sin2B=2. ( )7.坡 的 坡 度 是 坡 角 的 一 個 度 數(shù) . ( ) 考 點 一 求 三 角 函 數(shù) 值【 示 范 題 1】 (2017 日 照 中 考 )在 Rt ABC中 , C=90 ,AB=13,AC=5,則 sinA的 值 為 ( )【 思 路 點 撥 】 根 據(jù) 勾 股 定 理 求 出 BC,根 據(jù) 正 弦 的 概 念計 算 即 可 .5 12 5 12A. B. C. D.13 13 12 5 【 自 主 解 答 】 選 B.在 Rt ABC中 ,由 勾 股 定 理 得 ,BC= =12, sinA= 2 2AB ACBC 12.AB 13 【 答 題 關(guān) 鍵 指 導(dǎo) 】 根 據(jù) 定 義 求 三 角 函 數(shù) 值 的 方 法(1)分 清 直 角 三 角 形 中 的 斜 邊 與 直 角 邊 .(2)正 確 地 表 示 出 直 角 三 角 形 的 三 邊 長 ,常 設(shè) 某 條 直 角邊 長 為 k(有 時 也 可 以 設(shè) 為 1),在 求 三 角 函 數(shù) 值 的 過 程中 約 去 k. (3)正 確 應(yīng) 用 勾 股 定 理 求 第 三 條 邊 長 .(4)應(yīng) 用 銳 角 三 角 函 數(shù) 定 義 ,求 出 三 角 函 數(shù) 值 . 【 變 式 訓(xùn) 練 】1.(2017 濱 州 中 考 )如 圖 ,在 ABC中 ,AC BC, ABC=30 ,點 D是 CB延 長 線 上 的 一 點 ,且 BD=BA,則tan DAC的 值 為 ( )A.2 3 B.2 3 C.3 3 D.3 3 【 解 析 】 選 A.設(shè) AC=a,則 AB=a sin30 =2a,BC=a tan30 = a, BD=AB=2a. tan DAC= =2+ . 3 (2 3)aa3 2.(2017 懷 化 中 考 )如 圖 ,在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ,點 A的 坐 標(biāo) 為 (3,4),那 么 sin 的 值 是 ( )3 3 4 4A. B. C. D.5 4 5 3 【 解 析 】 選 C.作 AB x軸 于 點 B,如 圖 , 點 A的 坐 標(biāo) 為(3,4), OB=3,AB=4, OA= =5,在 Rt AOB中 ,sin = 2 23 4AB 4.OA 5 考 點 二 特 殊 銳 角 三 角 函 數(shù) 值 的 應(yīng) 用 【 示 范 題 2】 (2017 煙 臺 中 考 )在 Rt ABC中 , C=90 ,AB=2,BC= ,則 sin =_.【 思 路 點 撥 】 根 據(jù) A的 正 弦 求 出 A=60 ,再 根 據(jù)30 的 正 弦 值 求 解 即 可 .3 A2 【 自 主 解 答 】 在 Rt ABC中 , C=90 ,AB=2,BC= , sinA= . A=60 .答 案 : 332 A 1sin .2 212 【 答 題 關(guān) 鍵 指 導(dǎo) 】 熟 記 特 殊 角 的 三 角 函 數(shù) 值 的 兩 種 方 法(1)按 值 的 變 化 :30 ,45 ,60 角 的 正 余 弦 的 分 母都 是 2,正 弦 的 分 子 分 別 是 余 弦 的 分 子 分 別是 正 切 分 別 是 1, 2, 3,3, 2,1, 3 ,1, 3.3 (2)特 殊 值 法 : 在 直 角 三 角 形 中 ,設(shè) 30 角 所 對 的 直 角 邊 為 1,那 么三 邊 長 分 別 為 1, ,2; 在 直 角 三 角 形 中 ,設(shè) 45 角 所 對 的 直 角 邊 為 1,那 么三 邊 長 分 別 為 1,1, ,再 根 據(jù) 銳 角 三 角 函 數(shù) 的 定 義 推導(dǎo) 即 可 . 3 2 【 變 式 訓(xùn) 練 】1.(2017 天 津 中 考 )cos60 的 值 等 于 ( )【 解 析 】 選 D.由 特 殊 角 的 三 角 函 數(shù) 值 得 cos 60 =2 1A. 3 B.1 C. D.2 2 1.2 2.(2017 聊 城 中 考 )在 Rt ABC中 ,cosA= ,那 么sinA的 值 是 ( )【 解 析 】 選 B. 在 Rt ABC中 ,cosA= A=60 , sinA=sin60 = 122 3 3 1A. B. C. D.2 2 3 2 1,23.2 考 點 三 解 直 角 三 角 形 【 示 范 題 3】 (2017 廣 州 中 考 )如 圖 ,Rt ABC中 , C=90 ,BC=15,tanA= ,則 AB=_.158 【 思 路 點 撥 】 根 據(jù) A的 正 切 求 出 AC,再 利 用 勾 股 定 理列 式 計 算 即 可 得 解 . 【 自 主 解 答 】 Rt ABC中 , C=90 ,tanA= ,BC=15, ,解 得 AC=8,根 據(jù) 勾 股 定 理 得 ,AB= =17.答 案 :17 15815 15AC 8 2 2 2 2AC BC 8 15 【 答 題 關(guān) 鍵 指 導(dǎo) 】 解 直 角 三 角 形 的 類 型 及 方 法(1)已 知 斜 邊 和 一 個 銳 角 (如 c, A),其 解 法 : B=90- A,a=csinA,b=ccosA(或 b= ).(2)已 知 一 直 角 邊 和 一 個 銳 角 (如 a, A),其 解 法 : B=90 - A, 2 2c a 2 2a ac ,b ( b c a ).sin A tan A 或 (3)已 知 斜 邊 和 一 直 角 邊 (如 c,a),其 解 法 :由 sinA= ,求 出 A, B=90 - A.(4)已 知 兩 條 直 角 邊 a和 b,其 解 法 :c= 由 tanA= 得 A, B=90 - A. 2 2b c a ，ac 2 2a b ，ab 【 變 式 訓(xùn) 練 】(2017 安 順 中 考 )如 圖 , O的 直 徑 AB=4,BC切 O于 點B,OC平 行 于 弦 AD,OC=5,則 AD的 長 為 ( )6 8 7 2 3A. B. C. D.5 5 5 5 【 解 析 】 選 B.連 接 BD. AB是 直 徑 , ADB=90 . OC AD, A= BOC, cos A=cos BOC. BC切 O于 點 B, OB BC, cos BOC= cos A=cos BOC= .OB 2OC 5 ， 25 又 cos A= ,AB=4, AD= . ADAB85 考 點 四 解 直 角 三 角 形 的 應(yīng) 用 【 考 情 分 析 】 利 用 解 直 角 三 角 形 解 決 實 際 問 題 是 各 地中 考 的 熱 點 ,這 一 類 題 題 型 通 常 以 解 答 題 為 主 ,利 用 直角 三 角 形 求 物 體 的 高 度 (寬 度 ),解 決 航 海 問 題 等 .命 題 角 度 1:利 用 直 角 三 角 形 解 決 和 高 度 (或 寬 度 )有 關(guān)的 問 題 【 示 范 題 4】 (2017 菏 澤 中 考 )如 圖 ,某小 區(qū) 1號 樓 和 11號 樓 隔 河 相 望 ,李 明 家 住在 1號 樓 ,他 很 想 知 道 11號 樓 的 高 度 ,于是 他 做 了 一 些 測 量 ,他 先 在 B點 測 得 C點 的 仰 角 為 60 ,然 后 到 42米 高 的 樓 頂 A處 ,測 得 C點 的 仰 角 為 30 ,請 你幫 李 明 計 算 11號 樓 的 高 度 CD. 【 思 路 點 撥 】 過 點 A作 AE CD于 點 E,在 Rt BCD中 ,用三 角 函 數(shù) 表 示 出 CD,在 Rt ACE中 ,用 三 角 函 數(shù) 表 示 出CE,根 據(jù) AB=CD-CE列 式 求 出 BD,進(jìn) 而 求 出 CD. 【 自 主 解 答 】 過 點 A作 AE CD于 點 E, 在 Rt BCD中 ,tan CBD=所 以 CD=BD tan60 = BD,在 Rt ACE中 ,tan CAE= ,所 以 CE=BD tan30 = AB=CD-CE=解 得 BD= CD=BD tan60 = BD=63m.答 :11號 樓 的 高 度 CD為 63m.CDBD，3CEBD 3 BD3 ，3 2 33BD BD 42 BD 423 3 ， ，21 3， 3 命 題 角 度 2:利 用 直 角 三 角 形 解 決 航 海 問 題【 示 范 題 5】 (2017 天 津 中 考 )如 圖 ,一 艘 海 輪 位 于 燈塔 P的 北 偏 東 64 方 向 ,距 離 燈 塔 120海 里 的 A處 ,它 沿正 南 方 向 航 行 一 段 時 間 后 ,到 達(dá) 位 于 燈 塔 P的 南 偏 東45 方 向 上 的 B處 ,求 BP和 BA的 長 (結(jié) 果 取 整 數(shù) ). 參 考 數(shù) 據(jù) :sin 64 0.90,cos 64 0.44,tan 64 2.05, 取 1.414.2 【 思 路 點 撥 】 過 點 P作 PC AB,垂 足 為 點 C,由 題 意 可知 , A=64 , B=45 ,PA=120,在 Rt APC中 ,求 得PC,AC的 長 ;在 Rt BPC中 ,求 得 BP,BC的 長 ,即 可 得 BA的長 . 【 自 主 解 答 】 如 圖 ,過 點 P作 PC AB,垂 足 為 點 C.由 題 意 可 知 , A=64 , B=45 ,PA=120.在 Rt APC中 ,sinA= ,cosA= , PC=PA sinA=120 sin 64 ,AC=PA cosA=120 cos64 .PCPA ACPA 在 Rt BPC中 , BP=BC= =PC=120 sin 64 . BA=BC+AC=120 sin 64 +120 cos64 120 0.90+120 0.44 161.答 :BP的 長 約 為 153海 里 ,BA的 長 約 為 161海 里 .PC PCsin B ,tan B ,BP BC PC 120 sin 64 120 0.90 153,sin B sin 45 22 PC PCtan B tan 45 命 題 角 度 3:利 用 直 角 三 角 形 解 決 坡 度 問 題【 示 范 題 6】 (2017 海 南 中 考 )為 做 好 防 汛 工 作 ,防 汛指 揮 部 決 定 對 某 水 庫 的 水 壩 進(jìn) 行 加 高 加 固 ,專 家 提 供的 方 案 是 :水 壩 加 高 2米 (即 CD=2米 ),背 水 坡 DE的 坡 度i=1 1(即 DB EB=1 1),如 圖 所 示 ,已 知 AE=4米 , EAC=130 ,求 水 壩 原 來 的 高 度 BC. (參 考 數(shù) 據(jù) :sin50 0.77,cos50 0.64, tan50 1.2) 【 思 路 點 撥 】 設(shè) BC=x米 ,用 x表 示 出 AB的 長 ,利 用 坡 度的 定 義 得 到 BD=BE,進(jìn) 而 列 出 方 程 ,求 出 x的 值 即 可 . 【 自 主 解 答 】 設(shè) BC=x米 ,在 Rt ABC中 , CAB=180 - EAC=50 ,在 Rt EBD中 , i=DB EB=1 1,BC BC 5BC 5AB xtan 50 1.2 6 6 ， BD=BE, CD+BC=AE+AB,即 2+x=4+ x,解 得 x=12,即 BC=12,答 :水 壩 原 來 的 高 度 為 12米 .56 命 題 角 度 4:利 用 直 角 三 角 形 解 決 實 際 問 題【 示 范 題 7】 (2017 德 州 中 考 )如 圖 所 示 ,某 公 路 檢 測中 心 在 一 事 故 多 發(fā) 地 段 安 裝 了 一 個 測 速 儀 器 ,檢 測 點設(shè) 在 距 離 公 路 10m的 A處 ,從 B處 行 駛 到 C處 所 用 時 間 為0.9秒 .已 知 B=30 , C=45 . (1)求 B,C之 間 的 距 離 .(保 留 根 號 )(2)如 果 此 地 限 速 為 80km/h,那 么 這 輛 汽 車 是 否 超 速 ?請 說 明 理 由 .(參 考 數(shù) 據(jù) : 1.7, 1.4)3 2 【 思 路 點 撥 】 (1)過 點 A作 AD BC于 點 D,利 用 B=30 , C=45 ,AD=10,求 出 BD,DC的 長 ,從 而 得 出BC的 長 .(2)利 用 1.7, 1.4,求 出 BC的 長 ,再 求 出 汽 車速 度 ,與 限 速 比 較 ,判 斷 是 否 超 速 .3 2 【 自 主 解 答 】(1)如 圖 ,過 點 A作 AD BC于 點 D,則 AD=10m. 在 Rt ACD中 , C=45 , Rt ACD是 等 腰 直 角 三 角 形 . CD=AD=10m. 在 Rt ABD中 ,tanB= B=30 , . BD=10 m. BC=BD+DC=(10 +10)m.答 :B,C之 間 的 距 離 是 (10 +10)m. 33 3ADBD，3 103 BD (2)這 輛 汽 車 超 速 .理 由 如 下 :由 (1)知 BC=(10 +10)m,又 1.7, BC 27m. 汽 車 速 度 v= =30(m/s).又 30m/s=108km/h,此 地 限 速 為 80km/h, 10880, 這 輛 汽 車 超 速 .答 :這 輛 汽 車 超 速 .3 3270.9 【 答 題 關(guān) 鍵 指 導(dǎo) 】 解 決 解 直 角 三 角 形 的 實 際 問 題 ,有 圖 的 要 先 將 題 干 中的 已 知 量 在 圖 中 表 示 出 來 ,再 根 據(jù) 以 下 方 法 和 步 驟 解決(1)根 據(jù) 題 目 中 的 已 知 條 件 ,將 實 際 問 題 抽 象 為 解 直 角三 角 形 的 數(shù) 學(xué) 問 題 ,畫 出 平 面 幾 何 圖 形 ,弄 清 已 知 條 件中 各 量 之 間 的 關(guān) 系 . (2)若 三 角 形 是 直 角 三 角 形 ,根 據(jù) 邊 角 關(guān) 系 進(jìn) 行 計 算 ,若 三 角 形 不 是 直 角 三 角 形 ,可 通 過 添 加 輔 助 線 構(gòu) 造 直角 三 角 形 來 解 決 .解 直 角 三 角 形 的 實 際 應(yīng) 用 問 題 關(guān) 鍵是 要 根 據(jù) 實 際 情 況 建 立 數(shù) 學(xué) 模 型 ,正 確 畫 出 圖 形 找 準(zhǔn)三 角 形 . 【 變 式 訓(xùn) 練 】1.(2017 煙 臺 中 考 )如 圖 ,數(shù) 學(xué) 實 踐 活 動 小 組 要 測 量學(xué) 校 附 近 樓 房 CD的 高 度 ,在 水 平 地 面 A處 安 置 測 傾 器 測得 樓 房 CD頂 部 點 D的 仰 角 為 45 ,向 前 走 20米 到 達(dá) A處 ,測 得 點 D的 仰 角 為 67.5 .已 知 測 傾 器 AB的 高 度 為1.6米 ,則 樓 房 CD的 高 度 約 為 (結(jié) 果 精 確 到 0.1米 , tan67.5 2.414) ( ) A.34.14米 B.34.1米 C.35.7米 D.35.74米 【 解 析 】 選 C.連 接 BB 并 延 長 交 DC于 點 C ,則 BC = B C = BB =BC -B C , =20.解 得 DC 34.14. DC 34.14+1.6 35.7.DCtan 45， DC .tan 67.5 DC DCtan 45 tan 67.5 2.(2017 重 慶 中 考 A卷 )如 圖 ,小 王 在 長 江 邊 某 瞭 望 臺D處 ,測 得 江 面 上 的 漁 船 A的 俯 角 為 40 ,若 DE=3米 , CE=2米 ,CE平 行 于 江 面 AB,迎 水 坡 BC的 坡 度 i=1 0.75,坡 長 BC=10米 ,則 此 時 AB的 長 約 為 ( )(參 考 數(shù) 據(jù) :sin40 0.64,cos40 0.77, tan40 0.84) A.5.1米 B.6.3米 C.7.1米 D.9.2米 【 解 析 】 選 A.如 圖 ,延 長 DE交 AB延 長 線 于 點 P,作CQ AP于 點 Q, CE AP, DP AP, 四 邊 形 CEPQ為 矩 形 , CE=PQ=2,CQ=PE, i= 設(shè) CQ=4x,BQ=3x,由 BQ2+CQ2=BC2可 得 (4x)2+(3x)2=102,解 得 :x=2或 x=-2(舍 ),則 CQ=PE=8,BQ=6,CQ 1 4BQ 0.75 3 ， DP=DE+PE=11,在 Rt ADP中 , AP= 13.1, AB=AP-BQ-PQ 13.1-6-2=5.1.DP 11tan A tan 40 3.(2017 德 陽 中 考 )如 圖 所 示 ,某 攔 水 大 壩 的 橫 斷 面為 梯 形 ABCD,AE,DF為 梯 形 的 高 ,其 中 迎 水 坡 AB的 坡 角 =45 ,坡 長 AB=6 米 ,背 水 坡 CD的 坡 度 I=1 (I為 DF與 FC的 比 值 ),則 背 水 坡 的 坡 長 為 _米 .2 3 【 解 析 】 在 等 腰 直 角 ABE中 ,AB=6 ,AE=DF=6,由 坡度 知 DCF=30 ,則 CD=2DF=12.答 案 :12 2 4.(2017 青 島 中 考 )如 圖 ,C地 在 A地 的 正 東 方 向 ,因 有大 山 阻 隔 ,由 A地 到 C地 需 繞 行 B地 .已 知 B地 位 于 A地 北偏 東 67 方 向 ,距 離 A地 520km,C地 位 于 B地 南 偏 東 30方 向 .若 打 通 穿 山 隧 道 ,建 成 兩 地 直 達(dá) 高 鐵 ,求 A地 到 C地 之 間 高 鐵 線 路 的 長 .(結(jié) 果 保 留 整 數(shù) ) (參 考 數(shù) 據(jù) :sin 67 ,cos 67 ,tan 67 , 1.73) 1213 513125 3 【 解 析 】 如 圖 ,作 BD AC于 點 D, 在 Rt ABD中 , ABD=67 ,sin 67 = AD AB=480(km),cos 67 = , BD AB=200(km),在 Rt BCD中 , CBD=30 ,AD 12AB 13 ，1213 BD 5AB 13 513 tan 30 = , CD= BD 115(km), AC=CD+DA 595(km),答 :AC之 間 的 距 離 約 為 595km.CD 3BD 3 33 5.(2017 臨 沂 中 考 )如 圖 ,兩 座 建 筑 物 的 水 平 距 離BC=30m,從 A點 測 得 D點 的 俯 角 為 30 ,測 得 C點 的 俯角 為 60 ,求 這 兩 座 建 筑 物 的 高 度 . 【 解 析 】 過 A作 AE CD的 延 長 線 于 點 E,則 四 邊 形 ABCE是 矩 形 ,AE=BC=30,AB=CE, 在 Rt ADE中 , E=90 , DAE=30 , DE=AEtan 30 =30 =10 ,AD=2DE=20 , CAE=60 , CAD=60 -30 =30 , ACE=90 -60 =30 , CAD= ACE, CD=AD=20 , AB=CE=DE+CD=10 +20 =30 .答 :這 兩 座 建 筑 物 的 高 度 分 別 是 30 m,20 m.33 3 33 3 3 33 3 6.(2017 長 沙 中 考 )為 了 維 護(hù) 國 家 主 權(quán) 和 海 洋 權(quán) 力 ,海 監(jiān) 部 門 對 我 國 領(lǐng) 海 實 現(xiàn) 了 常 態(tài) 化 巡 航 管 理 .如 圖 ,正在 執(zhí) 行 巡 航 任 務(wù) 的 海 監(jiān) 船 以 每 小 時 50海 里 的 速 度 向 正東 方 航 行 ,在 A處 測 得 燈 塔 P在 北 偏 東 60 方 向 上 ,繼 續(xù)航 行 1小 時 到 達(dá) B處 ,此 時 測 得 燈 塔 P在 北 偏 東 30 方 向上 . (1)求 APB的 度 數(shù) .(2)已 知 在 燈 塔 P的 周 圍 25海 里 內(nèi) 有 暗 礁 ,問 海 監(jiān) 船 繼續(xù) 向 正 東 方 向 航 行 是 否 安 全 ? 【 解 析 】 (1)在 APB中 , PAB=30 , ABP=120 , APB=180 -30 -120 =30 .(2)只 需 算 出 航 線 與 P點 的 最 近 距 離 為 多 少 即 可 .過 點 P作 PH AB延 長 線 于 點 H,在 Rt APH中 , PAH=30 ,AH= PH,3 在 Rt BPH中 , PBH=60 ,BH= PH, AB=AH-BH= PH=50,算 出 PH=25 25,所 以 海 監(jiān) 船 不 會 進(jìn) 入 暗 礁 區(qū) ,繼 續(xù)航 行 仍 然 安 全 . 332 333