選修4-1 幾何證明選講 第一節(jié) 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì),【知識梳理】 1.平行線等分線段定理及其推論,相等,平分第三邊,平分另一腰,2.平行線分線段成比例定理及其推論,所得的對應(yīng)線,段成比例,所得的對應(yīng)線,段成比例,3.相似三角形的判定及性質(zhì) (1)相似三角形的定義:對應(yīng)角_,對應(yīng)邊_的 兩個三角形叫做相似三角形.相似三角形_的比 值叫做相似比(或相似系數(shù)). (2)預(yù)備定理:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或 兩邊的延長線)_,所構(gòu)成的三角形與原三角形_.,相等,成比例,對應(yīng)邊,相交,相似,(3)判定及性質(zhì),相等,成比例,相等,成比例,相等,成比例,成比例,相似比,相似比的平方,4.直角三角形的射影定理 定理:直角三角形斜邊上的高是_ 的比例中項;兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊 的_.,兩直角邊在斜邊上射影,比例中項,【特別提醒】 1.把平行線分線段成比例定理的推論中的題設(shè)和結(jié)論交換之后,命題仍然成立. 2.應(yīng)用三角形相似的性質(zhì)時易出現(xiàn)對應(yīng)線段對應(yīng)錯誤,可以根據(jù)相等的角去找.,考向一 平行線分線段成比例定理 【典例1】(2016太原模擬)如圖,在梯 形ABCD中, ABCD,AB=4,CD=2.點E,F分 別為AD,BC上的點,且EF=3, EFAB,求 梯形ABFE與梯形EFCD的面積比.,【解題導(dǎo)引】利用平行線分線段成比例定理確定兩個梯形的高之間的關(guān)系,再確定兩梯形的面積比.,【規(guī)范解答】如圖，延長AD，BC交于一點O， 作OHAB于點H.,所以 ，得x=2h1， ，得h1=h2. 所以S梯形ABFE= (3+4)h2= h2， S梯形EFCD= (2+3)h1= h1， 所以S梯形ABFES梯形EFCD=75.,【規(guī)律方法】平行線分線段成比例定理的作用及應(yīng)用技巧 (1)作用:可以判定線段成比例; 當(dāng)不能直接證明要證的比例成立時,常用這個定理將兩條線段的比轉(zhuǎn)化為另外兩條線段的比.,(2)應(yīng)用技巧:利用定理來計算或證明時,首先要觀察平行線組,再確定所截直線,進而確定比例線段及比例式,同時注意合比性質(zhì)、等比性質(zhì)的運用. 在應(yīng)用推論時,一定要明確哪一條線段平行于三角形的一邊,是否過一邊的中點.,【變式訓(xùn)練】如圖,在ABC中,DEBC,DFAC, AEAC=35,DE=6,求BF的長.,【解析】由DEBC,得 因為DE=6,所以BC=10, 又DFAC,所以 ,所以BF=4.,【加固訓(xùn)練】 1.如圖,點E是平行四邊形ABCD的邊AB延長線上一點, 且DCBE=32,求ADBF的值.,【解析】因為點E是平行四邊形ABCD的邊AB延長線上一點,且DCBE=32,則利用相似比得到ADBF=52.,2.如圖所示,在ABC中,AEEB=13,BDDC=21, AD與CE相交于點F,求 的值.,【解析】過點D作DGAB交EC于點G， 則 ，而 即 ，所以AE=DG， 從而有AF=DF，EF=FG=CG， 故,考向二 相似三角形的判定與性質(zhì) 【典例2】(2016信陽模擬)如圖,在ABC中,點D是BC邊上的中點,且AD=AC,DEBC,DE與AB相交于點E,EC與AD相交于點F. (1)求證:ABCFCD. (2)若SFCD=5,BC=10,求DE的長.,【解題導(dǎo)引】(1)利用BEC和ADC都是等腰三角形,從而底角分別相等證明. (2)利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求出ABC的面積,再通過過點A作BC的垂線利用平行線分線段成比例求解.,【規(guī)范解答】(1)因為DEBC,點D是BC邊上的中點, 所以EB=EC,所以B=ECD. 又AD=AC, 所以ADC=ACD, 所以ABCFCD.,(2)過點A作AMBC,垂足為點M, 因為ABCFCD,BC=2CD, 所以 又因為SFCD=5,所以SABC=20. 又SABC= BCAM= 10AM=20, 解得AM=4.,又DEAM,所以 因為DM= DC= , BM=BD+DM=5+ 所以 ,解得DE= .,【規(guī)律方法】 1.證明相似三角形的一般思路 (1)先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等. (2)若只有一個角對應(yīng)相等,再判定這個角的兩鄰邊是否對應(yīng)成比例. (3)若無角對應(yīng)相等,就要證明三邊對應(yīng)成比例.,2.相似三角形的性質(zhì)的應(yīng)用 (1)可用來證明線段成比例、角相等;可間接證明線段相等. 由相似三角形構(gòu)造成比例線段時,可以利用等角所對的邊對應(yīng)成比例構(gòu)造等式,避免邊與邊的對應(yīng)出錯.,(2)求解線段長度問題:充分利用所求線段與已知線段長度之間的關(guān)系,化歸到相應(yīng)三角形中,通過構(gòu)造相似三角形求解.,【變式訓(xùn)練】(2016商丘模擬)如圖,在ABC中, BCAC,點D在BC上,且DC=AC,ACB的平分線CF交AD于 點F,點E是AB的中點,連接EF. (1)求證:EFBC. (2)若四邊形BDFE的面積為6, 求ABD的面積.,【解析】(1)因為CF平分ACB, 所以ACF=DCF. 又因為DC=AC,所以CF是ACD的中線, 所以點F是AD的中點. 因為點E是AB的中點, 所以EFBD,即EFBC.,(2)由(1)知,EFBD, 所以AEFABD, 所以 又因為AE= AB,SAEF=SABD-S四邊形BDFE=SABD-6, 所以 ,所以SABD=8, 所以ABD的面積為8.,【加固訓(xùn)練】1.如圖,在ABC中,點D為BC邊的中點, 點E為AD上的一點,延長BE交AC于點F.若 ,求 的值.,【解析】如圖,過點A作AGBC,交BF的延長線于點G. 則AGEDBE,AGFCBF, 因為 ,所以 所以,因為點D為BC的中點, 所以BC=2BD, 所以 所以 所以,2.(2016鄭州模擬)如圖,在正方形ABCD中,點P是BC上的點,且BP=3PC,點Q是CD的中點,求證:ADQQCP.,【證明】在正方形ABCD中, 因為Q是CD的中點, 所以 =2. 因為 =3,所以 =4. 又因為BC=2DQ,所以 =2.,在ADQ和QCP中, ,且D=C=90, 所以ADQQCP.,考向三 直角三角形中的射影定理 【典例3】如圖,在RtABC中,BAC=90,ADBC于點D,DFAC于點F,DEAB于點E,求證: (1)ABAC=BCAD. (2)AD3=BCCFBE.,【解題導(dǎo)引】(1)可以利用RtABC的面積的兩種表示證明. (2)分別在RtADB,RtACD和RtBAC中利用射影定理后進行等量代換.,【規(guī)范解答】(1)在RtABC中,ADBC, 所以SABC= ABAC= BCAD. 所以ABAC=BCAD.,(2)在RtADB中,DEAB, 由射影定理可得BD2=BEAB, 同理CD2=CFAC, 所以BD2CD2=BEABCFAC. 又在RtBAC中,ADBC, 所以AD2=BDDC,所以AD4=BEABCFAC, 又ABAC=BCAD. 即AD3=BCCFBE.,【母題變式】1.本例中若AB=5,AD=4,求AC的長. 【解析】由AB=5,AD=4,得BD=3, 又AB2=BDBC,所以BC= 所以AC=,2.本例中若BDDC=12,試判斷E,F的位置. 【解析】顯然RtABCRtDBARtDAC, 根據(jù)相似三角形的性質(zhì),E,F也是BA,AC的三等分點, 即,【規(guī)律方法】射影定理的應(yīng)用技巧 (1)要注意將“等積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中的“比例式”或?qū)ⅰ氨壤健鞭D(zhuǎn)化為“等積式”. (2)證題時,要注意作垂線構(gòu)造直角三角形,確定直角邊與其射影,這是解直角三角形時常用的方法. (3)注意射影定理與勾股定理的結(jié)合應(yīng)用.,易錯提醒:對于直角三角形,射影定理一定成立,但滿足該結(jié)論的三角形不一定是直角三角形.,【變式訓(xùn)練】如圖所示,AD,BE是ABC的兩條高, DFAB,垂足為點F,直線FD交BE于點G,交AC的延長線于點H,求證:DF2=GFHF.,【證明】因為H+BAC=90, GBF+BAC=90, 所以H=GBF. 因為AFH=GFB=90, 所以AFHGFB, 所以,所以AFBF=GFHF. 因為在RtABD中,FDAB, 所以DF2=AFBF, 所以DF2=GFHF.,【加固訓(xùn)練】 1.如圖,在ABC中,點D,F分別在AC,BC上,且ABAC, AFBC,BD=DC=FC=1,求AC.,【解析】在ABC中,設(shè)AC為x, 因為ABAC,AFBC,FC=1, 根據(jù)射影定理得:AC2=FCBC, 即BC=x2.,再由射影定理得: AF2=BFFC=(BC-FC)FC, 所以AF= 過點D作DEBC于點E, 因為BD=DC=1,所以BE=EC.,又因為AFBC,所以DEAF, 所以 所以DE= 在RtDEC中, 因為DE2+EC2=DC2,即 即 =1. 所以x= ,即AC= .,2.如圖所示,在ABC中,CAB=90,ADBC于點D, BE是ABC的平分線,交AD于點F,求證:,【證明】因為BE是ABC的平分線， 所以 ， . 在RtABC中，由射影定理知， AB2=BDBC，即 .,由得 ， 由得,