第二節(jié) 直線與圓的位置關(guān)系,【知識梳理】 1.圓周角、圓心角、弦切角定理 (1)圓周角定理: 內(nèi)容:圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角 的_.,一半,推論: 推論1:同弧或等弧所對的圓周角_;同圓或等圓中, 相等的圓周角所對的弧也_. 推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角是_;90的圓 周角所對的弦是_.,相等,相等,直角,直徑,(2)圓心角定理:圓心角的度數(shù)等于它_的度數(shù). (3)弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對的_.,所對弧,圓周角,2.圓內(nèi)接四邊形及圓的切線的判定及性質(zhì)定理,互補,內(nèi),角的對角,互補,內(nèi)角的對角,垂直,垂直,切點,圓心,3.與圓有關(guān)的比例線段,【特別提醒】 1.圓周角定理與弦切角定理多用于證明角的關(guān)系,從而證明三角形相似或全等. 2.利用圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì)定理解決四點共圓問題時,要弄清四邊形的外角和它的內(nèi)對角的位置.,3.利用相交弦定理、切割線定理解決與圓有關(guān)的比例線段的計算與證明問題時,要注意相似三角形的知識及相關(guān)圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用.,考向一 圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形 【典例1】如圖,CD為ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD于點D,點E,F分別為弦AB與弦AC上的點,且BCAE=DCAF,B,E,F,C四點共圓.,(1)證明:CA是ABC外接圓的直徑. (2)若DB=BE=EA,求過B,E,F,C四點的圓的面積與ABC外接圓面積的比值.,【解題導引】(1)根據(jù)圓的性質(zhì)及相似知識證得CBA=90,可得CA是ABC外接圓的直徑. (2)連接CE,利用圓的性質(zhì),尋求過B,E,F,C四點的圓的直徑長的平方與ABC外接圓的直徑長的平方的比值,從而確立圓的面積之比.,【規(guī)范解答】(1)因為CD為ABC外接圓的切線, 所以DCB=A, 由題設(shè)知 故CDBAEF,所以DBC=EFA. 因為B,E,F,C四點共圓, 所以CFE=DBC,故EFA=CFE=90, 所以CBA=90, 因此CA是ABC外接圓的直徑.,(2)連接CE, 因為CBE=90, 所以過B,E,F,C四點的圓的直徑為CE,由DB=BE,有CE=DC, 又BC2=DBBA=2DB2, 所以CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而DC2=DBDA=3DB2, 故過B,E,F,C四點的圓的面積與ABC外接圓面積的 比值為 .,【規(guī)律方法】 1.圓周角定理常用的轉(zhuǎn)化 (1)圓周角與圓周角之間的轉(zhuǎn)化. (2)圓周角與圓心角之間的轉(zhuǎn)化. (3)弧的度數(shù)與圓心角和圓周角之間的轉(zhuǎn)化. (4)圓內(nèi)接四邊形的外角與其相對的內(nèi)角的轉(zhuǎn)化.,2.證明四點共圓的常用方法 (1)四點到一定點的距離相等. (2)四邊形的一組對角互補. (3)四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角. (4)如果兩個三角形有公共邊,公共邊所對的角相等且在公共邊的同側(cè),那么這兩個三角形的四個頂點共圓.,【變式訓練】(2016梧州模擬)如圖,已知AB是O的直徑,CD是O的切線,點C為切點,連接AC,過點A作ADCD于點D,交O于點E. (1)證明:AOC=2ACD. (2)證明:ABCD=ACCE.,【證明】(1)連接BC, 因為CD是O的切線,C為切點, 所以ACD=ABC. 因為OB=OC,所以O(shè)CB=ABC. 又因為AOC=OCB+OBC, 所以AOC=2ACD.,(2)因為AB是O的直徑,所以ACB=90. 又因為ADCD于點D,所以ADC=90. 因為CD是O的切線,C為切點,OC為半徑, 所以O(shè)CCD, 所以O(shè)CAD,又因為OC=OA, 所以O(shè)AC=OCA=CAE=ECD,所以RtABCRtCED,所以 所以ABCD=ACCE.,【加固訓練】 1.(2016河南八校模擬)已知AB為半圓O的直徑, AB=4,C為半圓上一點,過點C作半圓的切線CD,過點 A作ADCD于點D,交半圓于點E,DE=1. (1)求證:AC平分BAD. (2)求BC的長.,【解析】(1)連接OC. 因為OA=OC,所以O(shè)AC=OCA. 因為CD為半圓的切線,所以O(shè)CCD. 因為ADCD,OCAD,所以O(shè)CA=CAD, 所以O(shè)AC=CAD,所以AC平分BAD.,(2)連接CE,由(1)得OAC=CAD, 所以BC=CE. 因為A,B,C,E四點共圓,所以CED=ABC. 因為AB是圓O的直徑,所以ACB是直角, 所以RtCDERtACB, 所以 ,所以 ,所以BC=2.,2.(2014全國卷)如圖,四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形,AB的延長線與DC的延長線交于點E,且CB=CE. (1)證明:D=E. (2)設(shè)AD不是O的直徑,AD的中點為M, 且MB=MC,證明:ADE為等邊三角形.,【證明】(1)由題設(shè)知,A,B,C,D四點共圓,所以D= CBE,由已知得CBE=E,故D=E. (2)設(shè)BC的中點為N,連接MN,由MB=MC知MNBC,故O在直線MN上.,又AD不是O的直徑,AD的中點為M,故OMAD, 所以ADBC,故A=CBE. 又CBE=E,故A=E, 由(1)知,D=E,所以ADE為等邊三角形.,考向二 圓的切線性質(zhì)與判定定理、弦切角定理 【典例2】(2015全國卷)如圖,AB是O的直徑,AC是O的切線,BC交O于點E. (1)若D為AC的中點,證明:DE是O的切線. (2)若OA= CE,求ACB的大小.,【解題導引】(1)連接OE后證明OED是直角. (2)設(shè)出CE,AE的長度,在RtCAB中應(yīng)用射影定理求出AE的長度,可得ACB的大小.,【規(guī)范解答】(1)連接AE,由已知得,AEBC,ACAB.,在RtABC中, 由已知得,DE=DC,故DEC=DCE.連接OE,則OBE=OEB. 又ACE+ABC=90,所以DEC+OEB=90, 所以O(shè)ED=90,所以DE是O的切線.,(2)設(shè)CE=1,AE=x,由已知得AB=2 ,BE= ,由射 影定理可得,AE2=CEBE,所以x2= ,即x4+x2-12 =0.可得x= ,所以ACB=60.,【母題變式】1.在例題(1)的條件下,證明: CDEAOE. 【證明】由(1)知,DAO+DEO=180, 所以D,A,O,E四點共圓, 所以CDE=AOE, 又DC=DE,OA=OE,所以CDEAOE.,2.在(2)的條件下,求 的值. 【解析】由(2)知,ACB=60. 所以CAE=ABC=30, 所以CB=2CA=4CE,即 又O為AB的中點, 所以,【規(guī)律方法】 1.判定切線的三種常用方法 (1)和圓有唯一公共點的直線是圓的切線. (2)到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線. (3)過半徑外端點且和半徑垂直的直線是圓的切線.,2.弦切角問題的求解思路 轉(zhuǎn)化為求同弧上的圓周角. 3.切線長問題的求解思路 一般利用切線長定理和切割線定理. 易錯提醒:利用弦切角定理時,一定要注意弦切角與同弧上的圓周角相等.,【變式訓練】(2015全國卷)如圖,O是等腰三角形ABC內(nèi)一點,圓O與ABC的底邊BC交于M,N兩點,與底邊上的高交于點G,且與AB,AC分別相切于E,F兩點. (1)證明:EFBC. (2)若AG等于圓O的半徑,且AE=MN=2 , 求四邊形EBCF的面積.,【解析】(1)由于ABC是等腰三角形,ADBC,所以AD是CAB的平分線,又因為O分別與AB,AC相切于點E,F,所以AE=AF,故ADEF,從而EFBC. (2)由(1)知,AE=AF,ADEF,故AD是EF的垂直平分線, 又EF為O的弦,所以圓心O在AD上.,連接OE,OM,則OEAE. 由AG等于O的半徑得AO=2OE,所以O(shè)AE=30.因此ABC和AEF都是等邊三角形.,因為AE=2 ,所以AO=4,OE=2. 因為OM=OE=2,DM= MN= ,所以O(shè)D=1. 于是AD=5,AB= 所以四邊形EBCF的面積為,【加固訓練】 1.如圖,直線PB與圓O相切于點B,點D是弦AC上的點, PBA=DBA.若AD=m,AC=n,求AB的長度.,【解析】因為PB切O于點B, 所以PBA=ACB. 又PBA=DBA, 所以DBA=ACB, 又A是公共角, 所以ABDACB.,所以 所以AB2=ADAC=mn, 所以AB=,2.如圖,AB,AC是O的切線,ADE是O的割線,求證: BECD=BDCE.,【證明】因為AB是O的切線, 所以ABD=AEB. 又因為BAD=EAB, 所以BADEAB. 所以,同理 因為AB,AC是O的切線, 所以AB=AC. 因此 即BECD=BDCE.,考向三 與圓有關(guān)的比例線段 【典例3】(2016南陽模擬)如圖所示,已知PA與O 相切,A為切點,過點P的割線交圓于B,C兩點,弦CDAP, AD,BC相交于點E,點F為CE上一點,且DE2=EFEC.,(1)求證:CEEB=EFEP. (2)若CEBE=32,DE=3,EF=2,求PA的長.,【解題導引】(1)由已知可得DEFCED,得到 EDF=C,由平行線的性質(zhì)可得P=C,于是得 到EDF=P,再利用對頂角的性質(zhì)即可證明EDF EPA.于是得到EAED=EFEP.利用相交弦定理 可得EAED=CEEB,進而證明結(jié)論.,(2)利用(1)的結(jié)論可得BP= ,再利用切割線定理可得PA2=PBPC,即可得出PA.,【規(guī)范解答】(1)因為DE2=EFEC,DEF=CED, 所以DEFCED,所以EDF=C. 又因為CDAP,所以P=C, 所以EDF=P,又因為DEF=PEA, 所以EDFEPA,所以 ,所以EAED=EFEP. 又因為EAED=CEEB, 所以CEEB=EFEP.,(2)因為DE2=EFEC,DE=3,EF=2, 所以32=2EC,所以CE= . 因為CEBE=32,所以BE=3. 由(1)可知:CEEB=EFEP, 所以 3=2EP,解得EP=,所以BP=EP-EB= 因為PA是O的切線,所以PA2=PBPC, 所以PA2= ,解得PA=,【規(guī)律方法】 1.與圓有關(guān)的比例線段解題思路 (1)見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理. (2)見到圓的兩條割線就要想到割線定理. (3)見到圓的切線和割線就要想到切割線定理.,2.應(yīng)用相交弦定理時的注意點 相交弦定理為圓中證明等積式和有關(guān)計算提供了有力的方法和工具,應(yīng)用時要注意:(1)要熟記定理的等積式的結(jié)構(gòu)特征.(2)當與定理相關(guān)的圖形不完整時,要用輔助線補齊相應(yīng)部分.,【變式訓練】(2014全國卷)如圖,點P是O外一點,PA是切線,點A為切點,割線PBC與O相交于點B,C,PC=2PA,點D為PC的中點,AD的延長線交O于點E.證明: (1)BE=EC. (2)ADDE=2PB2.,【證明】(1)因為PC=2PA,PD=DC,所以PA=PD,PAD為等腰三角形. 連接AB,則PAB=DEB=,BCE=BAE=. 因為PAB+BCE=PAB+BAD=PAD=PDA= DEB+DBE,所以+=+DBE,所以=DBE, 即BCE=DBE,所以BE=EC.,(2)因為ADDE=BDDC,PA2=PBPC,PD=DC=PA,所以PA2=PBPC=PB2PA, 即PA=2PB, 所以ADDE=BDDC=(PA-PB)PA=PA2-PBPA=PBPC-PBPA=PB(PC-PA)=PBPA=PB2PB=2PB2.,【加固訓練】 1.(2015湖北高考改編)如圖,PA是圓的切線,點A為 切點,PBC是圓的割線,且BC=3PB,求 的值.,【解析】設(shè)PB=1,因為BC=3PB,所以PC=4,又因為PA 是圓的切線,所以PAB=BCA,P=P, PA2=PBPC=4,PA=2, 所以PBAPAC,所以,2.(2016山西四校聯(lián)考)如圖所示,PA為圓O的切線,點 A為切點,PO交圓O于B,C兩點,PA=10,PB=5,BAC的平分 線與BC和圓O分別交于點D和E. (1)求證: (2)求ADAE的值.,【解析】(1)因為PA為圓O的切線,所以PAB=ACP, 又P為公共角, 所以PABPCA,所以 (2)因為PA為圓O的切線,PC是過點O的割線, 所以PA2=PBPC,所以PC=20,BC=15,又因為CAB=90, 所以AC2+AB2=BC2=225, 又由(1)知 所以AC=6 ,AB=3 , 連接EC,則CAE=EAB,AEC=ABD, 所以ACEADB, 所以ADAE=ABAC=3 6 =90.,