《高考數(shù)學一輪復習 第七章 立體幾何 7.2 空間幾何體的表面積與體積課件(理).ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學一輪復習 第七章 立體幾何 7.2 空間幾何體的表面積與體積課件(理).ppt（71頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積,【知識梳理】 1.多面體的表面積與側面積 多面體的各個面都是平面,則多面體的側面積就是所有 側面的_________,表面積是側面積與_________之和.,面積之和,底面面積,2.旋轉體的表面積與側面積,2πr(l+r),πrl,π(r1+r2)l,4πR2,3.空間幾何體的體積(h為高,S為下底面積,S′為上底面積) (1)V柱體=___.特別地,V圓柱=πr2h(r為底面半徑). (2)V錐體=____.特別地,V圓錐= πr2h(r為底面半徑). (3)V臺體= h(S+ +S′).特別地,V圓臺= πh(r2+rr′+ r′2)(r,r′分別為上、下底面半徑). (4)V球=____(球半徑是R).,Sh,【特別提醒】 1.長方體的外接球 (1)球心:體對角線的交點. (2)半徑:r= (a,b,c為長方體的長、寬、高).,2.正方體的外接球、內切球及與各條棱相切的球 (1)外接球:球心是正方體中心;半徑r= (a為正方體 的棱長). (2)內切球:球心是正方體中心;半徑r= (a為正方體的 棱長). (3)與各條棱都相切的球:球心是正方體中心;半徑r= (a為正方體的棱長).,3.正四面體的外接球與內切球(正四面體可以看作是正方體的一部分) (1)外接球:球心是正四面體的中心;半徑r= (a為正四面體的棱長). (2)內切球:球心是正四面體的中心;半徑r= (a為正四面體的棱長).,【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(必修2P28習題1.3A組T3改編)如圖,將 一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平 面截出一個棱錐,則該棱錐的體積與剩下 的幾何體體積的比為________.,【解析】設長方體的相鄰三條棱長分別為a,b,c,它截 出棱錐的體積為V1= 剩下的幾 何體的體積V2=abc- abc= abc,所以V1∶V2=1∶47. 答案:1∶47,2.(必修2P36A組T10改編)一直角三角形的三邊長分別 為6cm,8cm,10cm,繞斜邊旋轉一周所得幾何體的表面積 為________. 【解析】旋轉一周所得幾何體為以 cm為半徑的兩個 同底面的圓錐,其表面積為S=π 6+π 8= π(cm2). 答案: πcm2,感悟考題 試一試 3.(2015浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積是( ),A.8cm3 B.12cm3 C. cm3 D. cm3 【解析】選C.由題意得,該幾何體為一正方體與四棱錐 的組合,所以體積V=,4.(2015陜西高考)一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為 ( ) A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4,【解析】選D.該幾何體為圓柱體的一半,可得上下兩個 半圓的表面積S1=πr2=π,側面積S2=22+ 2πr2 =2π+4,所以此幾何體的表面積S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.,5.(2014山東高考)一個六棱錐的體積為2 ,其底面是邊長為2的正六邊形,側棱長都相等,則該六棱錐的側面積為________.,【解析】設六棱錐的高為h,斜高為h′, 則由體積 得: 所以側面積為 2h′6=12. 答案:12,考向一 空間幾何體的側面積與表面積 【典例1】(1)(2015安徽高考) 一個四面體的三視圖如圖所示, 則該四面體的表面積是 ( ),(2)(2015全國卷Ⅰ)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r= ( ) (本題源于教材A版必修2P15練習2(2)),A.1 B.2 C.4 D.8,【解題導引】(1)先根據(jù)三視圖還原幾何體,弄清三視圖與直觀圖之間量的對應關系,再求各個面的面積. (2)根據(jù)正視圖和俯視圖想象出其直觀圖,然后根據(jù)表面積列方程求解.,【規(guī)范解答】(1)選B.由該四面體的三 視圖可知,該四面體的直觀圖如圖所示: 其中側面PAC⊥底面ABC,且△PAC≌△BAC,由三視圖中 所給數(shù)據(jù)可知PA=PC=AB=BC= ,取AC的中點O,連接PO, BO,則在Rt△POB中,PO=BO=1,可得PB= ,所以,(2)選B.由正視圖和俯視圖知,該幾何體是半球與半個 圓柱的組合體,圓柱的底面半徑與球的半徑都為r,圓柱 的高為2r,其表面積為 4πr2+πr2r+πr2+2r2r =5πr2+4r2=16+20π,解得r=2.,【易錯警示】解答本例題(1)會出現(xiàn)以下錯誤: 根據(jù)三視圖還原直觀圖時,三視圖中的各數(shù)值與直觀圖中的數(shù)值對應不正確,從而造成錯解.,【規(guī)律方法】幾何體表面積的求法 (1)多面體:其表面積是各個面的面積之和. (2)旋轉體:其表面積等于側面面積與底面面積的和. 計算旋轉體的側面積時,一般采用轉化的方法來進行,即將側面展開化為平面圖形來解決. (3)簡單組合體:應搞清各構成部分,并注意重合部分的處理.,(4)若以三視圖的形式給出,解題的關鍵是對給出的三視圖進行分析,從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系,得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解. 易錯提醒:求組合體的表面積時,組合體的銜接部分的面積要減去.,【變式訓練】(2015北京高考)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的表面積是 ( ),【解析】選C.還原幾何體如圖所示, S△BCD= BCDE= 22=2, S△ACD=S△ABD= 1= , S△ABC= BCAE= 2 = , 所以表面積為2+2 .,【加固訓練】 1.如圖所示,某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形,側 視圖是平行四邊形,則該幾何體的表面積為 ( ) A.15+3 B.9 C.30+6 D.18,【解析】選C.圖中所示的三視圖對應的是一個橫放的 四棱柱,該四棱柱四個側面都是矩形,上、下兩個底面 是平行四邊形,其表面積為233+232+23 =30+6 .,2.(2016武漢模擬)已知一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為 ( ) A.10π+96 B.9π+96 C.8π+96 D.9π+80,【解析】選C.圖中所示的三視圖對應的是一個由一個圓柱和一個正方體構成的簡單組合體,其表面積S=644+2π14=96+8π.,3.某幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的表面積是____________.,【解析】由幾何體的三視圖可知,該幾何體 是底面為直角梯形的直四棱柱(如圖所示). 在四邊形ABCD中,作DE⊥AB,垂足為E,則DE=4,AE=3, 則AD=5.所以其表面積為2 (2+5)4+24+4 5+45+44=92. 答案:92,考向二 空間幾何體的體積 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:根據(jù)幾何體的三視圖計算體積 【典例2】(2015全國卷Ⅱ)一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為 ( ),【解題導引】依據(jù)三視圖畫出幾何體的直觀圖,利用割補法求解.,【規(guī)范解答】選D.由三視圖得,在正方體ABCD-A1B1C1D1 中,截去四面體A-A1B1D1, 如圖所示, 設正方體棱長為a,則 故剩余幾何 體體積為 所以截去部分體積與剩余部分體 積的比值為,命題方向2:根據(jù)幾何體的直觀圖計算體積 【典例3】(2015全國卷Ⅰ)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體 積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約 有( ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛,【解題導引】由米堆底部的弧長可求出圓錐底面半徑, 進而求得米堆的體積. 【規(guī)范解答】選B.設圓錐底面半徑為r,則 23r=8, 所以r= 所以米堆的體積為 故堆 放的米約為 1.62≈22.,【技法感悟】 求幾何體體積的常見類型及解題策略 (1)以三視圖為載體的幾何體體積問題:將三視圖還原為幾何體,利用空間幾何體的體積公式求解. (2)直觀圖中幾何體的體積問題: ①錐體、柱體的體積問題:根據(jù)題設條件求出所給幾何體的底面積和高,直接套用公式求解;,②球的體積問題:直接利用球的體積公式求解,在實際問題中要根據(jù)題意作出圖形,構造直角三角形確定球的半徑; ③不規(guī)則幾何體的體積問題:常用分割或補形的思想,若幾何體的底不規(guī)則,也需采用同樣的方法,將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉化為規(guī)則的幾何體或平面圖形,易于求解.,【題組通關】 1.(2015山東高考)在梯形ABCD中,∠ABC= ,AD∥BC, BC=2AD=2AB=2,將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而 形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( ),【解析】選C.如圖,所得幾何體為一個圓柱 挖去一個小圓錐,其體積,2.(2015天津高考)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為________m3.,【解析】該幾何體是由兩個高為1的圓錐與一個高為 2的圓柱組合而成,所以該幾何體的體積為2 π 121+π122= (m3). 答案:,3.(2015江蘇高考)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個,則新的底面半徑為__________.,【解析】由圓錐與圓柱的體積公式可知,V圓錐= πr2h = π524= ,V圓柱=πr2h=π228=32π,所以 圓錐與圓柱的總體積為 +32π.設制作后新的圓錐 與圓柱的底面半徑為r′,由題知 πr′24+πr′28 = +32π,解得r′= .所以新的底面半徑為 . 答案:,考向三 球與幾何體的切、接問題 【典例4】(1)(2015全國卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面 上兩點,∠AOB=90,C為該球面上的動點,若三棱錐 O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為 ( ) A.36π B.64π C.144π D.256π,(2)(2014湖南高考)一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示,將該石材切削、打磨,加工成球,則能得到的最大球的半徑等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解題導引】(1)△AOB的面積是定值,根據(jù)VO-ABC=VC-AOB,當點C到平面AOB的距離最大,即CO⊥平面AOB時,VO-ABC最大. (2)先由三視圖畫出直觀圖,判斷這個幾何體是底面的邊長為6,8,10的直角三角形,高為12的水平放置的直三棱柱,底面的內切圓的半徑就是得到的最大球的半徑.,【規(guī)范解答】(1)選C.如圖所示,當點C位于垂直于面 AOB的直徑端點時,三棱錐O-ABC的體積最大,設球O的 半徑為R,此時VO-ABC=VC-AOB= R2R= R3=36,故R=6, 則球O的表面積為S=4πR2=144π.,(2)選B.由三視圖畫出直觀圖如圖,判斷這個幾何體是 底面的邊長為6,8,10的直角三角形,高為12的水平放置 的直三棱柱,直角三角形的內切圓的半徑為r= =2,這就是得到的最大球的半徑.,【母題變式】1.若本例題(1)條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC- A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上”,若AB=3,AC=4, AB⊥AC,AA1=12,求球O的半徑. 【解析】因為直三棱柱中AB=3,AC=4, AA1=12,AB⊥AC, 所以BC=5,且BC為過底面ABC的截面圓的直徑.,取BC中點D,則OD⊥底面ABC, 則O在側面BCC1B1內, 矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑, 所以2R= 即R=,2.若本例題(1)條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球O的球面上”,若該棱錐的高為4,底面邊長為2,求該球的體積.,【解析】如圖,設球心為O,半徑為r, 則在Rt△AOF中,(4-r)2+( )2=r2, 解得r= , 則球O的體積V球=,【規(guī)律方法】空間幾何體與球接、切問題的求解方法 (1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時,一般過球心 及接、切點作截面,把空間問題轉化為平面圖形問題, 再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解. (2)若球面上四點P,A,B,C構成的三條線段PA,PB,PC兩 兩互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有關元素“補 形”成為一個球內接長方體,利用4R2=a2+b2+c2求解.,【變式訓練】(2016張掖模擬)如圖是一個空間幾何體的三視圖,該幾何體的外接球的體積記為V1,俯視圖繞斜邊所在直線旋轉一周形成的幾何體的體積記為V2,則V1∶V2= ( ),【解析】選D.三視圖復原的幾何體如圖,它是底面為等 腰直角三角形,一條側棱垂直底面的三棱錐,它的外接 球,就是擴展為長方體的外接球,外接球的直徑是2 , 該幾何體的外接球的體積V1= V2= 所以V1∶V2=,【加固訓練】 1.(2015內江模擬)在三棱錐A-BCD中,側棱AB,AC,AD 兩兩垂直,△ABC,△ACD,△ADB的面積分別為 則三棱錐A-BCD的外接球的體積為 ( ),【解析】選A.三棱錐A-BCD中,側棱AB,AC,AD兩兩垂直,補成長方體,兩者的外接球是同一個,長方體的體對角線就是球的直徑. 設長方體同一頂點處的三條棱長分別為a,b,c, 由題意得:,解得 所以球的直徑為 它的半徑為 ,球的體積為,2.(2015西安模擬)如圖,已知球O是棱 長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球, 則平面ACD1截球O的截面面積為 ( ),【解析】選C.平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內切圓. 因為正方體的棱長為1, 所以AC=CD1=AD1= , 所以內切圓的半徑r= , 所以S=πr2=,