2.7 函數(shù)與方程,高考理數(shù),1.函數(shù)的零點(diǎn) 函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理): 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是 連續(xù) 不斷的一條曲線(xiàn),并且有 f(a)f(b)0 ,那么,函 數(shù)y=f(x)在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)有零點(diǎn),即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.,知識(shí)清單,2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)零點(diǎn)的分布,3.用二分法求方程的近似解 (1)二分法的定義 對(duì)于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)y=f(x),通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間 一分為二,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近 零點(diǎn) ,進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法. (2)用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟如下: a.確定區(qū)間a,b,驗(yàn)證 f(a)f(b)0 ,給定精確度. b.求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c. c.計(jì)算f(c): (i)若f(c)= 0 ,則c就是函數(shù)的零點(diǎn); (ii)若f(a)f(c)0,則令b=c(此時(shí)零點(diǎn)x0(a,c); (iii)若f(c)f(b)0,則令a=c(此時(shí)零點(diǎn)x0(c,b). d.判斷是否達(dá)到精確度:若|a-b|,則得到零點(diǎn)近似值a(或b);否則,重復(fù)b,c,d. 【知識(shí)拓展】 (1)函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),實(shí)質(zhì)是同一個(gè)問(wèn)題的三種不同表,達(dá)形式,方程根的個(gè)數(shù)就是相應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),亦即該函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù). (2)變號(hào)零點(diǎn)與不變號(hào)零點(diǎn) (i)若函數(shù)f(x)在零點(diǎn)x0左右兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào),則稱(chēng)該零點(diǎn)為函數(shù)f(x)的變號(hào)零點(diǎn). (ii)若函數(shù)f(x)在零點(diǎn)x0左右兩側(cè)的函數(shù)值同號(hào),則稱(chēng)該零點(diǎn)為函數(shù)f(x)的不變號(hào)零點(diǎn). (3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是一條連續(xù)的曲線(xiàn),則f(a)f(b)0是f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)的 充分不必要條件.,(1)直接求零點(diǎn):令f(x)=0,若能求出解,則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn); (2)零點(diǎn)存在性定理:利用定理不僅要求函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線(xiàn),且f(a) f(b)0,還必須結(jié)合函數(shù)的具體圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn); (3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù):畫(huà)出相應(yīng)兩個(gè)函數(shù)的圖象,看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù),有幾個(gè)交點(diǎn),就有幾個(gè)所求 零點(diǎn). 例1 (2013天津,7,5分)函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 易知函數(shù)f(x)=2x|log0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)方程|log0.5x|= = 的根的個(gè)數(shù)函數(shù)y1=|log0.5x| 與y2= 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示,可知兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),故選B.,突破方法,方法1 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法,答案 B 1-1 (2015天津河西二模,4,5分)函數(shù)f(x)=x2-4x-2ln x+5的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案 B 解析 函數(shù)f(x)=x2-4x-2ln x+5的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=x2-4x+5的圖象與函數(shù)y=2ln x的圖象的交點(diǎn) 個(gè)數(shù),作函數(shù)y=x2-4x+5與函數(shù)y=2ln x的圖象如下:,結(jié)合圖象可得, 函數(shù)f(x)=x2-4x-2ln x+5的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選B.,(1)定理法:利用零點(diǎn)存在性定理加以判斷. (2)圖象交點(diǎn)法:畫(huà)出兩函數(shù)y=f(x),y=g(x)的圖象,其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn),以 此來(lái)判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間. 例2 (2013重慶,6,5分)若a0, f(b)0,又該函數(shù)是二次函數(shù),且圖象開(kāi)口向上,可知兩個(gè) 零點(diǎn)分別在(a,b)和(b,c)內(nèi),選A. 答案 A 2-1 (2015黑龍江大慶二模,10,5分)已知函數(shù)f(x)= -ax,若 a ,則f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為 ( ),方法2 函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定方法,A. B. C. D. 答案 C 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)= -ax在定義域上連續(xù), 且f(0)=0-1 - =0. 故f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為 .故選C.,利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍時(shí),常利用方程求解,但當(dāng)方程的根不易甚至不能求出時(shí), 可構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),利用函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解. 例3 (2015云南紅河一模,12,5分)已知函數(shù)f(x)=|xex|,方程f 2(x)+tf(x)+1=0(tR)有四個(gè)不同的實(shí) 數(shù)根,則t的取值范圍是 ( ) A. B.(-,-2) C. D. 解析 f(x)=|xex|= 當(dāng)x0時(shí), f (x)=ex+xex0恒成立,所以f(x)在0,+)上為增函數(shù); 當(dāng)x0, f(x)為增函數(shù), 當(dāng)x(-1,0)時(shí), f (x)=-ex(x+1)0, f(x)為減函數(shù),方法3 利用函數(shù)零點(diǎn)、方程的根求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題,所以函數(shù)f(x)=|xex|在(-,0)上有一個(gè)最大值為f(-1)=-(-1)e-1= , 令f(x)=m,因?yàn)榉匠蘤 2(x)+tf(x)+1=0(tR)有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根, 所以方程m2+tm+1=0應(yīng)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,且一個(gè)根在 內(nèi),一個(gè)根在 內(nèi), 再令g(m)=m2+tm+1,因?yàn)間(0)=10, 則只需g 0,即 + t+10, 解得t- . 所以,使得方程f 2(x)+tf(x)+1=0(tR)有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根的t的取值范圍是 .故選A. 答案 A 3-1 (2015陜西安康三模,12,5分)已知直線(xiàn)y=kx與函數(shù) f(x)= 的圖象恰好有3個(gè)不 同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 ( ),A.( -1,+) B.(0, -1) C.(- -1, -1) D.(-,- -1)( -1,+) 答案 A 解析 作直線(xiàn)y=kx與函數(shù)y=f(x)= 的圖象如下:,由圖象可知,k不可能是負(fù)數(shù), 故排除C,D; 易知k可以取1,故排除B. 故選A.,