第十八章 不等式選講,高考理數(shù),1.不等式的性質(zhì)和絕對(duì)值不等式 (1)解絕對(duì)值不等式的基本思想 解絕對(duì)值不等式的基本思想是去絕對(duì)值符號(hào),常采用的方法是討論符號(hào)或平方,例如: (i)若a0,則|x|g(x)f(x)g(x)或f(x)0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).,知識(shí)清單,(3)平均數(shù)定理: (a,b,c0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào). (a1+a2+an) (ai0,i=1,2,n),當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時(shí)取等號(hào). (4)絕對(duì)值三角不等式 定理1:|a|+|b|a+b|(a,bR),當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)等號(hào)成立; 定理2:如果a,b,cR,那么|a-c|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)0時(shí),等號(hào)成立; |a|-|b|a+b|. 注意:含絕對(duì)值的三角不等式|a|-|b|a|-|b|ab|a|+|b|中,對(duì)于等號(hào)成立的條件應(yīng)注意:|a+b|=| a|+|b|中,ab0,而|a-b|=|a|+|b|中,ab0等. 3.柯西不等式 (1)一般形式:設(shè)a1,a2,an,b1,b2,bn為實(shí)數(shù),則( + + )( + + )(a1b1+a2b2+anbn) 2.當(dāng)且僅當(dāng)bi=0,或存在一個(gè)實(shí)數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,n)時(shí),等號(hào)成立. (2)二維形式的柯西不等式: 代數(shù)形式:設(shè)a,b,c,d均為實(shí)數(shù),則(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2.上式等號(hào)成立ad=bc.,向量形式:設(shè),為平面上的兩個(gè)向量,則|.當(dāng)且僅當(dāng)是零向量或存在實(shí)數(shù)k,使=k 時(shí),等號(hào)成立. 三角形式:設(shè)x1,x2,y1,y2R,則 + ,其幾何意義是三角形兩 邊之和大于第三邊. 注意:不等式成立的條件要準(zhǔn)確把握,如a2+b22ab(a,bR),a+b2 (a,b0),柯西不等式中ai,bi (i=1,2,n)均為實(shí)數(shù)等. 4.不等式的證明 (1)綜合法:從命題的已知條件出發(fā),利用 公理 、 定義 及 定理 ,逐步推導(dǎo),從而最后導(dǎo) 出要證明的命題. (2)分析法:從需要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的 充分條件 ,直至所需條件為已知條 件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立. (3)反證法:首先假設(shè)要證明的命題是 不正確的 ,然后利用公理、定義、定理、性質(zhì)等,逐步 分析,得到和 命題的條件 (或已證明過的定理、性質(zhì),明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論,以此說 明假設(shè)的結(jié)論 不成立 ,從而證明原來的結(jié)論正確.,(4)放縮法:將所需證明的不等式的值適當(dāng) 放大 (或 縮小 )使它由繁到簡,達(dá)到證明目的. 如果所要證明的不等式中含有分式,把分母放大,則相應(yīng)分式的值 縮小 ,把分母縮小,則分式 的值 放大 . (5)若a1,a2,b1,b2R,則(a1+a2)(b1+b2) (a1b1+a2b2)2 ,等號(hào)成立 a1b2=a2b1 . (6)設(shè),為平面上的兩個(gè)向量,則| |,當(dāng)且僅當(dāng)是 零向量 ,或存在實(shí)數(shù)k,使=k 時(shí),等號(hào)成立. (7)設(shè)a1,a2,b1,b2為實(shí)數(shù),則 + ,等號(hào)成立 存在非負(fù)實(shí) 數(shù),使得a1=b1,a2=b2 . (8)設(shè)平面上三點(diǎn)坐標(biāo)為A(a1,a2)、B(b1,b2)、C(c1,c2),則 + ,其幾何意義: |AB|+|BC|AC| . (9)一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè) 步驟: (i)證明當(dāng) n取初始值n0 時(shí)命題成立; (ii)假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)命題成立,證明 n=k+1 時(shí)命題也成立.在完成了這兩個(gè)步驟后,就可以斷 定命題對(duì)于從初始值n0開始的所有自然數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.,形如|x-a|+|x-b|c(或0)型的不等式主要有三種解法: 1.零點(diǎn)分段討論法:含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式,可用零點(diǎn)分段討論法脫去絕對(duì)值 符號(hào),將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組),一般步驟是: (1)令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的代數(shù)式為零,并求出相應(yīng)的根; (2)將這些根按從小到大排序,它們把實(shí)數(shù)集分為若干個(gè)區(qū)間; (3)在所分的各區(qū)間上,根據(jù)絕對(duì)值的定義去掉絕對(duì)值符號(hào),求所得的各不等式在相應(yīng)區(qū)間上的 解集; (4)這些解集的并集就是原不等式的解集. 2.利用絕對(duì)值的幾何意義 由于|x-a|+|x-b|與|x-a|-|x-b|分別表示數(shù)軸上與x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到與a,b對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離之和與距離之差, 因此對(duì)形如|x-a|+|x-b|0)或|x-a|-|x-b|c(c0)的不等式,利用絕對(duì)值的幾何意義求解更直觀. 3.數(shù)形結(jié)合法:在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用函數(shù)圖象求解.,突破方法,方法1 絕對(duì)值不等式的解法,例1 (2013遼寧,24,10分)選修45:不等式選講 已知函數(shù)f(x)=|x-a|,其中a1. (1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)4-|x-4|的解集; (2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|2的解集為x|1x2,求a的值. 解析 (1)當(dāng)a=2時(shí), f(x)+|x-4|= 當(dāng)x2時(shí),由f(x)4-|x-4|得-2x+64,解得x1; 當(dāng)2x4時(shí), f(x)4-|x-4|無解; 當(dāng)x4時(shí),由f(x)4-|x-4|得2x-64,解得x5, 所以f(x)4-|x-4|的解集為x|x1或x5. (4分) (2)記h(x)=f(2x+a)-2f(x), 則h(x)=,由|h(x)|2,解得 x . 又已知|h(x)|2的解集為x|1x2,所以 于是a=3. (10分) 1-1 (2015貴州一模,24,10分)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+|x-1|. (1)當(dāng)a=3時(shí),求不等式f(x)2的解集; (2)若f(x)5-x對(duì)任意xR恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解析 (1)a=3時(shí), f(x)2即為|2x-3|+|x-1|2. 當(dāng)x 時(shí),不等式即為2x-3+x-12,解得x2. 當(dāng)1x 時(shí),不等式即為3-2x+x-12,2-x2,x0.舍去. 當(dāng)x1時(shí),不等式即為3-2x+1-x2,3x2,即x . 綜上,當(dāng)a=3時(shí), f(x)2的解集為 . (5分),(2)f(x)5-x對(duì)任意xR恒成立,即為|2x-a|5-x-|x-1|對(duì)任意xR恒成立, 令g(x)=5-x-|x-1|= 數(shù)形結(jié)合可得 3,a6,故a的取值范圍是6,+). (10分),基本不等式的應(yīng)用主要集中在解決最值問題、不等式恒成立、存在性問題及參數(shù)的求解 問題. 解含參數(shù)的不等式存在性問題時(shí),只要求出存在滿足條件的x即可.不等式的解集為R是指不等 式的恒成立問題,而不等式的解集為的對(duì)立面也是不等式的恒成立問題(如f(x)m的解集是空 集,則f(x)m恒成立),此兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題,即f(x)f(x)max, f(x)a恒成立 a0,b0,且 + = . (1)求a3+b3的最小值; (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由. 解析 (1)由 = + ,得ab2,且當(dāng)a=b= 時(shí)等號(hào)成立. 故a3+b32 4 ,且當(dāng)a=b= 時(shí)等號(hào)成立. 所以a3+b3的最小值為4 .,方法2 基本不等式的應(yīng)用,(2)由(1)知,2a+3b2 4 . 由于4 6,從而不存在a,b,使得2a+3b=6. 2-1 (2016云南富寧二模,24,10分) 已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)當(dāng)a=-2時(shí),求不等式f(x)-1,且當(dāng)x 時(shí), f(x)g(x),求a的取值范圍. 解析 (1)當(dāng)a=-2時(shí),不等式f(x)g(x)化為|2x-1|+|2x-2|-x-30. 設(shè)函數(shù)y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,則y= 其圖象如圖所示.,從圖象可知,當(dāng)且僅當(dāng)x(0,2)時(shí),y0,所以原不等式的解集是x|0x2. (2)當(dāng)x 時(shí), f(x)=1+a. 不等式f(x)g(x)化為1+ax+3, 所以xa-2對(duì)x 恒成立. 故- a-2,即a .從而a的取值范圍為 .,不等式證明的常用方法有:(1)比較法;(2)綜合法;(3)分析法;(4)反證法;(5)放縮法;(6)數(shù)學(xué)歸 納法;(7)換元法;(8)導(dǎo)數(shù)與積分法;(9)構(gòu)造法. 例3 (2015課標(biāo),24,10分)選修45:不等式選講 設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明: (1)若abcd,則 + + ; (2) + + 是|a-b|cd得( + )2( + )2. 因此 + + . (2)(i)若|a-b|cd. 由(1)得 + + .,方法3 不等式的證明,(ii)若 + + ,則( + )2( + )2, 即a+b+2 c+d+2 . 因?yàn)閍+b=c+d,所以abcd.于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab + 是|a-b|c-d|的充要條件. 3-1 (2013課標(biāo)全國,24,10分)選修45:不等式選講 設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1,證明: (1)ab+bc+ca ; (2) + + 1. 證明 (1)由a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca得a2+b2+c2ab+bc+ca. 由題設(shè)得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.,所以3(ab+bc+ca)1, 即ab+bc+ca . (2)因?yàn)?+b2a, +c2b, +a2c, 故 + + +(a+b+c)2(a+b+c), 即 + + a+b+c. 所以 + + 1.,很多重要不等式的證明和求最值都可以由柯西不等式導(dǎo)出,常利用常數(shù)的巧拆、結(jié)構(gòu)的巧 變、巧設(shè)數(shù)組等方式利用柯西不等式. 例4 (2014福建,21(3),7分)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值為a. (1)求a的值; (2)若p,q,r是正實(shí)數(shù),且滿足p+q+r=a,求證:p2+q2+r23. 解析 (1)|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3, 當(dāng)且僅當(dāng)-1x2時(shí),等號(hào)成立, f(x)的最小值等于3,即a=3. (2)證明:由(1)知p+q+r=3, 又因?yàn)閜,q,r是正實(shí)數(shù), (p2+q2+r2)(12+12+12)(p1+q1+r1)2 =(p+q+r)2=9, 即p2+q2+r23.,方法4 柯西不等式的應(yīng)用,4-1 (2016四川成都質(zhì)檢)設(shè)a,b,m,nR,且a2+b2=5,ma+nb=5,則 的最小值為 . 答案 解析 由柯西不等式得(a2+b2)(m2+n2)(ma+nb)2,即5(m2+n2)25,(m2+n2)5, 所以 的最小值為 .,