第十五章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入,高考理數(shù),1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)復(fù)數(shù)的概念 形如a+bi(a,bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中a,b分別是它的 實(shí)部 和 虛部 .若b=0,則a+bi為實(shí)數(shù); 若b0,則a+bi為虛數(shù);若a=0且b0,則a+bi為純虛數(shù). (2)復(fù)數(shù)相等:a+bi=c+di a=c且b=d (a,b,c,dR). (3)共軛復(fù)數(shù):a+bi與c+di共軛 a=c,b=-d (a,b,c,dR). (4)復(fù)平面 建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示 實(shí)數(shù) ;除原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示 純虛數(shù) ;各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示非純虛數(shù). (5)復(fù)數(shù)的模 z=a+bi(a,bR)對(duì)應(yīng)的向量 的模叫做復(fù)數(shù)z的模,記作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|= . 2.復(fù)數(shù)的幾何意義,知識(shí)清單,(1)復(fù)數(shù)z=a+bi 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)(a,bR). (2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR) 平面向量 (O(0,0),Z(a,b). 3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算 (1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則 設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),則 加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; 乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; 除法: = = = + i (c+di0). (2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律 復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,即對(duì)任意z1、z2、z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).,【知識(shí)拓展】 復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)化問題 復(fù)數(shù)問題的實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的方法,其依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充要條件 和復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算及性質(zhì).應(yīng)用復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)化策略可解決求復(fù)系數(shù)方程的實(shí)數(shù)解、求復(fù)平面上 動(dòng)點(diǎn)的軌跡等問題.,1.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 (1)加減法:復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相加減,虛部與虛部相加減.把i看作一個(gè)字母,類比多項(xiàng)式加減 法中的合并同類項(xiàng).復(fù)數(shù)的加減法可以推廣到若干個(gè)復(fù)數(shù)進(jìn)行連加、連減或混合運(yùn)算. (2)乘法:復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法相類似,只需將i2換成-1,并把實(shí)部與實(shí)部合并,虛部與虛部合 并即可. (3)除法:復(fù)數(shù)的除法與實(shí)數(shù)的除法有所不同.實(shí)數(shù)的除法可以直接約分、化簡,得出結(jié)論;而復(fù)數(shù) 的除法,因?yàn)榉帜笧閺?fù)數(shù),所以一般不能直接約分、化簡,復(fù)數(shù)除法的一般做法:先把它們的商寫 成分式的形式,然后把分子、分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù),并把結(jié)果化簡即可. 2.在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí),記住以下結(jié)論,可提高計(jì)算速度. (1)(1i)2=2i; =i; =-i. (2)-b+ai=i(a+bi)(a,bR). (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,nN*.,突破方法,方法1 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,例1 (2014課標(biāo),2,5分) = ( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 解析 = (1+i)= (1+i)=-1-i,故選D. 答案 D 1-1 (2013課標(biāo)全國,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1-i)z=2i,則z= ( ) A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i 答案 A 解析 由題意得z= = =-1+i,故選A.,復(fù)數(shù)的概念,包括實(shí)部、虛部的求解,模的計(jì)算,共軛復(fù)數(shù)的概念,幾何意義的考查等. 例2 (2016廣西河池三模,2,5分)復(fù)數(shù)z= 的模為 ( ) A. B. C. D.2 解析 z= = =- ,所以|z|= = . 答案 B 2-1 (2016廣西百色4月月考,2,5分)已知復(fù)數(shù)z= , 是z的共軛復(fù)數(shù),則z = ( ) A. B. C.1 D.2 答案 A 解析 解法一:z= =,方法2 復(fù)數(shù)的概念與幾何意義,= = =- + i, 所以z = + = . 解法二:z= = = = = =- + i, 所以z = + = .,