第十六章 幾何證明選講,高考理數(shù),1.平行線截割定理 (1)平行線等分線段定理及其推論 (i)定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段 相等 ,那么在其他直線上截得的線段也 相等 . (ii)推論1:經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊. (iii)推論2:經(jīng)過(guò)梯形一腰的 中點(diǎn) ,且與底邊 平行 的直線平分另一腰. (2)平行線分線段成比例定理及其推論 (i)定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段 成比例 . (ii)推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線),所得的對(duì)應(yīng)線段 成比例 . 2.相似三角形 (1)相似三角形的判定 (i)判定定理,知識(shí)清單,a. 兩角 對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似. b.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角 相等 的兩個(gè)三角形相似. c.三邊 對(duì)應(yīng)成比例 的兩個(gè)三角形相似. (ii)預(yù)備定理:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與 原三角形 相似. (iii)直角三角形相似的特殊判定 斜邊與一條 直角邊 對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似. (2)相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)線段的比等于 相似比 ,面積比等于 相似比的平方 . (3)直角三角形射影定理 直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上 射影 的 比例中項(xiàng) ;兩直角邊分別是它們?cè)?斜邊上射影與斜邊的 比例中項(xiàng) . 3.圓周角定理 (1)圓周角:頂點(diǎn)在 圓周上 且兩邊都與圓相交的角.,(2)圓周角定理:圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的 一半 . (3)圓周角定理的推論 (i)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧也 相等 . (ii)半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是 直角 ;90的圓周角所對(duì)的弦是 直徑 . 4.圓的切線 (1)直線與圓的位置關(guān)系,(2)切線的性質(zhì)及判定定理 (i)切線的性質(zhì)定理:圓的切線 垂直于 經(jīng)過(guò) 切點(diǎn) 的半徑. (ii)切線的判定定理: 經(jīng)過(guò)半徑的 外端 并且 垂直 于這條半徑的 直線 是圓的切線. (3)切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng) 相等 ,圓心和這一點(diǎn)的連線平分 兩條切線的夾角. 5.弦切角 (1)弦切角:頂點(diǎn)在 圓 上,一邊與圓 相切 、另一邊與圓相交的角. (2)弦切角定理及推論 (i)定理:弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的 圓周角 . (ii)推論:同弧或等弧所對(duì)的弦切角 相等 ,同弧或等弧所對(duì)的弦切角與圓周角 相等 . 6.與圓有關(guān)的比例線段,7.圓內(nèi)接四邊形 (1)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理: (i)圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角 互補(bǔ) . (ii)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角. (2)圓內(nèi)接四邊形判定定理及推論 (i)定理:如果一個(gè)四邊形的對(duì)角 互補(bǔ) ,那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓. (ii)推論:如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角,那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.,判定兩個(gè)三角形相似的幾種方法:兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似;兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A 角相等,兩三角形相似;三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似;相似三角形的定義. 例1 (2015貴州七校聯(lián)盟一模,22,10分)如圖,O1和O2的公切線AD和BC相交于點(diǎn)D,A、B、C 為切點(diǎn),直線DO1交O1于E、G兩點(diǎn),直線DO2交O2于F、H兩點(diǎn). (1)求證:DEFDHG; (2)若O1和O2的半徑之比為916,求 的值.,突破方法,方法1 相似三角形的判定及性質(zhì),解析 (1)證明:AD是兩圓的公切線, AD2=DEDG,AD2=DFDH, DEDG=DFDH, = , 又EDF=HDG, DEFDHG. (4分) (2)連結(jié)O1A,O2A, AD是兩圓的公切線, O1AAD,O2AAD, O1A,O2A共線, AD和BC是O1和O2的公切線, DG平分ADB,DH平分ADC, DGDH,AD2=O1AO2A, (8分) 設(shè)O1和O2的半徑分別為9x和16x,則AD=12x,144x2=DE(DE+18x),144x2=DF(DF+32x), DE=6x,DF=4x, = . (10分) 1-1 (2016廣西柳州三模,22,10分)如圖,在ABC中,AB=AC,ABC的外接圓O的弦AE交BC于 點(diǎn)D. 求證:ABDAEB. 證明 因?yàn)锳B=AC,所以ABD=C. 又因?yàn)镃=E,所以ABD=E, 又BAE為公共角,可知ABDAEB.,1.圓冪定理切割線定理、相交弦定理、割線定理等,考查常常以證明乘積恒等式的形 式出現(xiàn).因此,必須抓住以下幾點(diǎn):(1)圓中的比例線段及其應(yīng)用范圍;(2)線段成比例,相似三角形, 圓的切線及其性質(zhì),與圓有關(guān)的相似三角形;(3)圓冪定理的原理與證明. 例2 (2014課標(biāo),22,10分)選修41:幾何證明選講 如圖,P是O外一點(diǎn),PA是切線,A為切點(diǎn),割線PBC與O相交于點(diǎn)B,C,PC=2PA,D為PC的中點(diǎn), AD的延長(zhǎng)線交O于點(diǎn)E. 證明:(1)BE=EC; (2)ADDE=2PB2.,方法2 圓中有關(guān)定理(圓冪定理)的應(yīng)用,證明 (1)連結(jié)AB,AC,由題設(shè)知PA=PD,故PAD=PDA. 因?yàn)镻DA=DAC+DCA, PAD=BAD+PAB, DCA=PAB, 所以DAC=BAD,從而 = . 因此BE=EC. (2)由切割線定理得PA2=PBPC. 因?yàn)镻A=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB, 由相交弦定理得ADDE=BDDC, 所以ADDE=2PB2.,2-1 (2016貴州貴陽(yáng)二模,22,10分)如圖,ABC內(nèi)接于直徑為BC的圓O,過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線交CB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,BAC的平分線分別交BC和圓O于點(diǎn)D,E,PA=2PB=10.,(1)求證:AC=2AB; (2)求ADDE的值. 解析 (1)證明:PA是圓O的切線, PAB=ACB,又P是公共角, ABPCAP. = ,PA=2PB,AC=2AB.,(2)由切割線定理,得PA2=PBPC, PA=2PB=10,PC=20,BC=PC-PB=15. AD是BAC的平分線,由(1)知AC=2AB, = =2. CD=2DB,CD=10,DB=5. 又由相交弦定理,得ADDE=CDDB=50. 2.四點(diǎn)共圓問(wèn)題往往難度較大,但出現(xiàn)的機(jī)率相對(duì)較小,主要考查學(xué)生結(jié)合圓中有關(guān)角和邊 的定理進(jìn)行推理和證明,結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或判定完成問(wèn)題的求解和證明. 例3 (2013課標(biāo)全國(guó),22,10分)選修41:幾何證明選講 如圖,CD為ABC外接圓的切線,AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D,E,F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn), 且BCAE=DCAF,B,E,F,C四點(diǎn)共圓. (1)證明:CA是ABC外接圓的直徑; (2)若DB=BE=EA,求過(guò)B,E,F,C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值.,解析 (1)證明:因?yàn)镃D為ABC外接圓的切線,所以DCB=A,由題設(shè)知 = ,故CDB AEF,所以DBC=EFA. 因?yàn)锽,E,F,C四點(diǎn)共圓,所以CFE=DBC,故EFA=CFE=90. 所以CBA=90,因此CA是ABC外接圓的直徑. (2)連結(jié)CE,因?yàn)镃BE=90,所以過(guò)B,E,F,C四點(diǎn)的圓的直徑為CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2= DBBA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.,而DC2=DBDA=3DB2,故過(guò)B,E,F,C四點(diǎn)的圓的面積與ABC外接圓面積的比值為 . 3-1 (2016青海西寧4月月考,22,10分)已知ABC中,AB=AC,D為ABC外接圓劣弧 上的點(diǎn) (不與點(diǎn)A、C重合),延長(zhǎng)BD至E,延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于F. 求證:(1)CDF=EDF; (2)ABACDF=ADFCFB.,