數(shù)學(xué) A（理）,高考專(zhuān)題突破五 高考中的圓錐曲線問(wèn)題,第九章 平面解析幾何,考點(diǎn)自測(cè),高考題型突破,練出高分,B,A,B,圓(x2)2y24的圓心為C(2,0)，半徑為r2，,解析,題型一 圓錐曲線中的范圍、最值問(wèn)題,(1)求曲線C的方程及t的值；,拋物線C的方程為y2x.,又點(diǎn)M(t,1)在曲線C上，t1.,思維點(diǎn)撥,用點(diǎn)差法求kAB，用m表示出|AB|，利用基本不等式求最值.,解 由(1)知，點(diǎn)M(1,1)，從而nm，即點(diǎn)Q(m，m)， 依題意，直線AB的斜率存在，且不為0， 設(shè)直線AB的斜率為k(k0). 且A(x1，y1)，B(x2，y2)，,故k2m1，,即x2my2m2m0.,4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.,思維升華 圓錐曲線中最值問(wèn)題的解決方法一般分兩種： 一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；,二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.,解 設(shè)M(x，y)，在MAB中，|AB|2，AMB2，,因此點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓(點(diǎn)M在x軸上也符合題意)，a2，c1.,(2)求APQ面積的最大值.,解 設(shè)直線PQ的方程為xmy1.,顯然方程的0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，,所以APQ面積的最大值為3， 此時(shí)直線PQ的方程為x1.,題型二 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題,(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足：|PF|2|PB|24，求點(diǎn)P的軌跡；,解 設(shè)P(x，y)，由題意知F(2,0)，B(3,0)，A(3,0)，,則|PF|2(x2)2y2，|PB|2(x3)2y2，,由|PF|2|PB|24，得(x2)2y2(x3)2y24，,(3)設(shè)t9,求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)).,證明 如圖所示，點(diǎn)T的坐標(biāo)為(9，m).,(3)設(shè)t9,求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)).,(3)設(shè)t9,求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)).,令y0，解得x1， 所以直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(1,0).,(3)設(shè)t9,求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)).,思維升華 求定點(diǎn)及定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種： (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān). (2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.,(2)如圖所示，A、B、D是橢圓C的頂點(diǎn)， P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線 DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M， 設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2mk為定值.,例3 (2014福建)已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y3的距離小2. (1)求曲線的方程；,題型三 圓錐曲線中的探索性 問(wèn)題,思維點(diǎn)撥,解析,設(shè)S(x，y)為曲線上的任意一點(diǎn)，利用拋物線的定義，判斷S滿足拋物線的定義，即可求曲線的方程；,思維點(diǎn)撥,解析,例3 (2014福建)已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y3的距離小2. (1)求曲線的方程；,題型三 圓錐曲線中的探索性 問(wèn)題,解 方法一 設(shè)S(x，y)為曲線上任意一點(diǎn)，,思維點(diǎn)撥,解析,例3 (2014福建)已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y3的距離小2. (1)求曲線的方程；,題型三 圓錐曲線中的探索性 問(wèn)題,依題意，點(diǎn)S到F(0,1)的距離與它到直線y1的距離相等，,所以曲線是以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)、直線y1為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為x24y.,思維點(diǎn)撥,解析,例3 (2014福建)已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y3的距離小2. (1)求曲線的方程；,題型三 圓錐曲線中的探索性 問(wèn)題,方法二 設(shè)S(x，y)為曲線上任意一點(diǎn)，,思維點(diǎn)撥,解析,例3 (2014福建)已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y3的距離小2. (1)求曲線的方程；,題型三 圓錐曲線中的探索性 問(wèn)題,思維點(diǎn)撥,解析,例3 (2014福建)已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y3的距離小2. (1)求曲線的方程；,題型三 圓錐曲線中的探索性 問(wèn)題,化簡(jiǎn)，得曲線的方程為 x24y.,例3 (2)曲線在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A，直線y3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N.以MN為直徑作圓C，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B.試探究：當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,例3 (2)曲線在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A，直線y3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N.以MN為直徑作圓C，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B.試探究：當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,通過(guò)拋物線方程利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出切線方程,求出A、M的坐標(biāo),N的坐標(biāo),以MN為直徑作圓C,求出圓心坐標(biāo),半徑是常數(shù),即可證明當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度不變.,例3 (2)曲線在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A，直線y3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N.以MN為直徑作圓C，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B.試探究：當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,解 當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變.證明如下：,例3 (2)曲線在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A，直線y3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N.以MN為直徑作圓C，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B.試探究：當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,例3 (2)曲線在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A，直線y3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N.以MN為直徑作圓C，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B.試探究：當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,例3 (2)曲線在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A，直線y3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N.以MN為直徑作圓C，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B.試探究：當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,例3 (2)曲線在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A，直線y3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N.以MN為直徑作圓C，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B.試探究：當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,所以點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變.,例3 (2)曲線在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A，直線y3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N.以MN為直徑作圓C，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B.試探究：當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,(1)探索性問(wèn)題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化.其步驟為假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，,例3 (2)曲線在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A，直線y3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M，N.以MN為直徑作圓C，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為B.試探究：當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論.,思維點(diǎn)撥,解析,思維升華,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在. (2)反證法與驗(yàn)證法也是求解探索性問(wèn)題常用的方法.,跟蹤訓(xùn)練3 已知橢圓C1、拋物線C2的焦點(diǎn)均在x軸上，C1的中心和C2的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：,(1)求C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；,易求得C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24x.,解 容易驗(yàn)證當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意.,當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為yk(x1)，,與C1的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2).,解得k2，所以存在直線l滿足條件， 且直線l的方程為2xy20或2xy20.,題型四 直線、圓及圓錐曲線的交匯問(wèn)題,思維點(diǎn)撥 根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)易求出a,b的值,從而寫(xiě)出橢圓的方程；,(1)求橢圓C1的方程；,(1)求橢圓C1的方程；,(2)求ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程.,思維點(diǎn)撥 要求ABD的面積，需要求出AB，PD的長(zhǎng)，AB是圓的弦，考慮用圓的知識(shí)來(lái)求，PD應(yīng)當(dāng)考慮用橢圓的相關(guān)知識(shí)來(lái)求.求出AB，PD的長(zhǎng)后，表示出ABD的面積，再根據(jù)式子的形式選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笞钪?,(2)求ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程.,解 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0). 由題意知直線l1的斜率存在，不妨設(shè)其為k， 則直線l1的方程為ykx1. 又圓C2：x2y24，,(2)求ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程.,又l2l1，故直線l2的方程為xkyk0.,(2)求ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程.,(2)求ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程.,(2)求ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程.,思維升華 對(duì)直線、圓及圓錐曲線的交匯問(wèn)題，要認(rèn)真審題，學(xué)會(huì)將問(wèn)題拆分成基本問(wèn)題，然后綜合利用數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、方程的思想等來(lái)解決問(wèn)題，這樣可以漸漸增強(qiáng)自己解決綜合問(wèn)題的能力.,(2)已知直線l：ykx與橢圓C分別交于兩點(diǎn)A，B,與圓M分別交于兩點(diǎn)G,H(其中點(diǎn)G在線段AB上),且|AG|BH|,求k的值.,顯然，若點(diǎn)H也在線段AB上，則由對(duì)稱(chēng)性知，直線ykx就是y軸，矛盾.,因?yàn)閨AG|BH|，所以|AB|GH|，,整理得4k43k210.,解得k21，即k1.,2,3,4,5,6,1,解 由題意：拋物線焦點(diǎn)為(1,0)， 設(shè)l：xty1，代入拋物線y24x， 消去x得y24ty40，,設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1y24t，y1y24，,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,解 設(shè)l：xtyb，代入拋物線y24x， 消去x得y24ty4b0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1y24t，y1y24b.,2,3,4,5,6,1,令b24b4，b24b40，b2， 直線l過(guò)定點(diǎn)(2,0).,2.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2，0)為其右焦點(diǎn). (1)求橢圓C的方程；,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由.,3,4,5,6,1,2,因?yàn)橹本€l與橢圓C有公共點(diǎn)，,3,4,5,6,1,2,2,4,5,6,1,3,2,4,5,6,1,3,解 1v4，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)F(c,0)，則c24vv13，,由橢圓C與雙曲線共焦點(diǎn)，知a2b23，,設(shè)直線l的方程為xtya，,代入y22x，可得y22ty2a0，,設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y22t，y1y22a，,2,4,5,6,1,3,OPOQ，x1x2y1y2a22a0，,a2，b1，,2,4,5,6,1,3,(2)在橢圓C上，是否存在點(diǎn)R(m，n)使得直線l：mxny1與圓O：x2y21相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且OMN的面積最大？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的OMN的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.,2,4,5,6,1,3,m2n22.又m24n24，,2,4,5,6,1,3,2,3,5,6,1,4,a22，b21，,2,3,5,6,1,4,(2)記橢圓的上頂點(diǎn)為M，直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰為PQM的垂心，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.,解 假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)， 且F恰為PQM的垂心， 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，,2,3,5,6,1,4,2,3,5,6,1,4,M(0,1)，F(xiàn)(1,0)，直線l的斜率k1. 于是設(shè)直線l為yxm，,2,3,5,6,1,4,x1(x21)(x2m)(x1m1)0，,2,3,5,6,1,4,即2x1x2(x1x2)(m1)m2m0. (*),故存在直線l，使點(diǎn)F恰為PQM的垂心，,5.已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)為(0,2)，它的兩個(gè)短軸頂點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點(diǎn)P(0，m)，與橢圓C交于異于橢圓頂點(diǎn)的兩點(diǎn)A，B，且 . (1)求橢圓的方程；,2,3,4,6,1,5,2,3,4,6,1,5,(2)求m的取值范圍. 解 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意，知直線l的斜率存在， 設(shè)其方程為ykxm，與橢圓方程聯(lián)立，,2,3,4,6,1,5,(2mk)24(2k2)(m24)0，,2,3,4,6,1,5,所以x12x2.,2,3,4,6,1,5,整理，得(9m24)k282m2， 又9m240時(shí)等式不成立，,2,3,4,6,1,5,6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C1：2x2y21. (1)過(guò)C1的左頂點(diǎn)引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積.,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,(2)設(shè)斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點(diǎn).若l與圓x2y21相切，求證：OPOQ.,證明 設(shè)直線PQ的方程是yxb.,2,3,4,5,1,6,又y1y2(x1b)(x2b)，,故OPOQ.,2,3,4,5,1,6,(3)設(shè)橢圓C2：4x2y21.若M、N分別是C1、C2上的動(dòng)點(diǎn)，且OMON，求證：O到直線MN的距離是定值.,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,設(shè)O到直線MN的距離為d，,因?yàn)?|OM|2|ON|2)d2|OM|2|ON|2，,2,3,4,5,1,6,