,數(shù)學 A（理）,第八章 立體幾何,45分鐘階段測試(十一),2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為( ),一、選擇題,C,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,2.(2014廣東)已知向量a(1,0，1)，則下列向量中與a成60夾角的是( ) A.(1,1,0) B.(1，1,0) C.(0，1,1) D.(1,0,1),3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,因為0a，b180，所以a，b120.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,因為0a，b180，所以a，b60，正確.,因為0a，b180，所以a，b120.,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,因為0a，b180，所以a，b180.故選B.,答案 B,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,3.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為BC1的 中點，則DE與平面BCC1B1所成角的正切值為( ),解析 設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2， 以D為原點，以DA為x軸，以DC為y軸， 以DD1為z軸，建立空間直角坐標系，,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,E為BC1的中點， D(0,0,0)，E(1,2,1)，,設DE與平面BCC1B1所成角的平面角為， 平面BCC1B1的法向量n(0,1,0)，,2,4,5,6,7,8,9,10,1,3,答案 C,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,4.在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABAA14，點D是AA1的中點，則點A1到平面DBC1的距離是( ),解析 過點A作AC的垂線為x軸，以AC為y軸， 以AA1為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABAA14，點D是AA1的中點，,設平面BDC1的法向量為n(x，y，z)，,2,3,5,6,7,8,9,10,1,4,故選A.,答案 A,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,5.如圖，正方體AC1的棱長為1，過點A作平面A1BD的垂線， 垂足為H，則以下命題中，錯誤的命題是( ) A.點H是A1BD的垂心 B.AH垂直于平面CB1D1 C.AH的延長線經(jīng)過點C1 D.直線AH和BB1所成角為45,2,3,4,6,7,8,9,10,1,5,解析 A1BD為正三角形，其重心、外心、中心合一. ABAA1AD，H到A1BD各頂點的距離相等，A正確；CD1BA1，CB1DA1，CD1CB1C，BA1DA1A1，平面CB1D1平面A1BD，AH平面CB1D1，B正確；連接AC1，則AC1B1D1，B1D1BD，AC1BD，同理AC1BA1，AC1平面A1BD，A、H、C1三點共線，C正確，故選D. 答案 D,2,3,4,5,7,8,9,10,1,6,6.若a、b是直線，、是平面，a，b，向量m在a上，向量n在b上，m(0,3,4 )，n(3,4,0)，則、所成二面角中較小的一個余弦值為_. 解析 由題意，m(0,3,4)，n(3,4,0)，,二、填空題,2,3,4,5,7,8,9,10,1,6,a，b，向量m在a上，向量n在b上，,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,7.(2013北京)如圖，在棱長為2的正方體ABCD A1B1C1D1中，E為BC的中點，點P在線段D1E上， 點P到直線CC1的距離的最小值為_. 解析 取B1C1中點E1，連接E1E，D1E1，過P作 PHD1E1，連接C1H.EE1平面A1B1C1D1， PHEE1，,2,3,4,5,6,8,9,10,1,7,PH底面A1B1C1D1， P到C1C的距離為C1H.,2,3,4,5,6,9,10,1,7,8,8.在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為_.,設平面A1ED的法向量為n1(1，y，z)，,2,3,4,5,6,9,10,1,7,8,平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)，,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,三、解答題,9.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，F(xiàn)C平面ABCD， AEBD，CBCDCF. (1)求證：BD平面AED； 證明 因為四邊形ABCD是等腰梯形， ABCD，DAB60，,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,所以ADCBCD120. 又CBCD，所以CDB30， 因此ADB90，即ADBD. 又AEBD，且AEADA，AE平面AED，AD平面AED， 所以BD平面AED.,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,(2)求二面角FBDC的余弦值. 解 由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC 平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直. 以C為坐標原點，分別以CA，CB，CF所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設CB1，,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,設平面BDF的一個法向量為m(x，y，z)，,2,3,4,5,6,7,8,10,1,9,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,10.如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平 面ABC，ABC是邊長為2的等邊三角形，D為AB 邊的中點，且CC12AB. (1)求證：AC1平面CDB1； 證明 連接BC1交B1C于點O，連接DO. 則O是BC1的中點，DO是BAC1的中位線，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,所以DOAC1. 因為DO平面CDB1，AC1平面CDB1， 所以AC1平面CDB1.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,(2)求點B到平面B1CD的距離； 解 因為CC1平面ABC，所以BB1平面ABC， 所以BB1為三棱錐B1CBD的高，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,(3)求二面角ACDB1的正切值.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,設平面CDB1的一個法向量為n1(x，y，z)，,令z1，得n1(0,4,1). 又易知平面ACD的一個法向量為n2(0,0,1).,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,設二面角ACDB1的平面角為，觀察圖形，可得,即二面角ACDB1的正切值為4.,