數(shù)學(xué) A（理）,第八章 立體幾何,高考專題突破四 高考中的立體幾何問題,考點(diǎn)自測(cè),高考題型突破,練出高分,B,D,B,解析,設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h. D，E分別為PB，PC的中點(diǎn)，,例1 (2014安徽)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2 .點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH 平面ABCD，BC 平面GEFH. (1)證明：GHEF；,題型一 空間點(diǎn)、線、面的位置 關(guān)系,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,例1 (2014安徽)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2 .點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH 平面ABCD，BC 平面GEFH. (1)證明：GHEF；,題型一 空間點(diǎn)、線、面的位置 關(guān)系,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,(1)證明GHEF，只需證明EF平面PBC，只需證明BCEF，利用BC平面GEFH即可；,例1 (2014安徽)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2 .點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH 平面ABCD，BC 平面GEFH. (1)證明：GHEF；,題型一 空間點(diǎn)、線、面的位置 關(guān)系,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,證明 因?yàn)锽C平面GEFH， BC平面PBC， 且平面PBC平面GEFHGH， 所以GHBC. 同理可證EFBC， 因此GHEF.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,高考對(duì)該部分的考查重點(diǎn)是空間的平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明，一般以解答題的形式出現(xiàn)， 試題難度中等，但對(duì)空間想象能力和邏輯推理能力有一定的要求，在試卷中也可能以選擇題或者填空題的方式考查空間位置關(guān)系的基本定理在判斷線面位置關(guān)系中的應(yīng)用,例1 (2014安徽)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2 .點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH 平面ABCD，BC 平面GEFH. (1)證明：GHEF；,題型一 空間點(diǎn)、線、面的位置 關(guān)系,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,(2)若EB2，求四邊形GEFH的 面積,(2)若EB2，求四邊形GEFH的 面積,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,(2)求出四邊形GEFH的上底、下底及高，即可求出面積,(2)若EB2，求四邊形GEFH的 面積,解 如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK. 因?yàn)镻APC，O是AC的中點(diǎn)， 所以POAC， 同理可得POBD. 又BDACO，且AC，BD都在底面內(nèi)， 所以PO底面ABCD.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,(2)若EB2，求四邊形GEFH的 面積,又因?yàn)槠矫鍳EFH平面ABCD， 且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH. 因?yàn)槠矫鍼BD平面GEFHGK， 所以POGK，且GK底面ABCD， 從而GKEF. 所以GK是梯形GEFH的高 由AB8，EB2得EBABKBDB14，,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,(2)若EB2，求四邊形GEFH的 面積,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,(2)若EB2，求四邊形GEFH的 面積,所以GK3.,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,高考對(duì)該部分的考查重點(diǎn)是空間的平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明，一般以解答題的形式出現(xiàn)， 試題難度中等，但對(duì)空間想象能力和邏輯推理能力有一定的要求，在試卷中也可能以選擇題或者填空題的方式考查空間位置關(guān)系的基本定理在判斷線面位置關(guān)系中的應(yīng)用,解析,思維升華,思維點(diǎn)撥,(2)若EB2，求四邊形GEFH的 面積,跟蹤訓(xùn)練1 (2013江蘇)如圖，在三棱錐 SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC， ASAB.過A作AFSB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別 是棱SA，SC的中點(diǎn) 求證：(1)平面EFG平面ABC；,證明 由ASAB，AFSB知F為SB中點(diǎn)， 則EFAB，F(xiàn)GBC，,跟蹤訓(xùn)練1 (2013江蘇)如圖，在三棱錐 SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC， ASAB.過A作AFSB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別 是棱SA，SC的中點(diǎn) 求證：(1)平面EFG平面ABC；,又EFFGF，ABBCB， 因此平面EFG平面ABC.,(2)BCSA.,證明 由平面SAB平面SBC，且AFSB， 知AF平面SBC，則AFBC. 又BCAB，AFABA，則BC平面SAB， 又SA平面SAB，因此BCSA.,例2 (2014廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2)折疊，折痕EFDC. 其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿 EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M， 并且MFCF. (1)證明：CF平面MDF；,題型二 平面圖形的翻折問題,例2 (2014廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2)折疊，折痕EFDC. 其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿 EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M， 并且MFCF. (1)證明：CF平面MDF；,題型二 平面圖形的翻折問題,思維點(diǎn)撥 折疊后，MD與平面CDEF的垂直關(guān)系不變,例2 (2014廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2)折疊，折痕EFDC. 其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿 EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M， 并且MFCF. (1)證明：CF平面MDF；,題型二 平面圖形的翻折問題,證明 因?yàn)镻D平面ABCD，AD平面ABCD， 所以PDAD. 又因?yàn)锳BCD是矩形，CDAD，PD與CD交于點(diǎn)D， 所以AD平面PCD.又CF平面PCD， 所以ADCF，即MDCF. 又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.,例2 (2014廣東)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2)折疊，折痕EFDC. 其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿 EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M， 并且MFCF. (1)證明：CF平面MDF；,題型二 平面圖形的翻折問題,平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化,例2 (2)求三棱錐MCDE的體積,例2 (2)求三棱錐MCDE的體積,思維點(diǎn)撥 折疊后，MD與平面CDEF的垂直關(guān)系不變,例2 (2)求三棱錐MCDE的體積,解 因?yàn)镻DDC，BC2，CD1，PCD60，,例2 (2)求三棱錐MCDE的體積,例2 (2)求三棱錐MCDE的體積,思維升華 平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化,跟蹤訓(xùn)練2 已知四邊形ABCD是矩形，AB1，BC ，將ABC沿著對(duì)角線AC折起來得到AB1C且頂點(diǎn)B1在平面ACD上的射影O恰落在邊AD上，如圖所示 (1)求證：平面AB1C平面B1CD；,證明 B1O平面ABCD，CD平面ABCD， B1OCD，,又CDAD，ADB1OO，CD平面AB1D， 又AB1平面AB1D，AB1CD， 又AB1B1C，且B1CCDC， AB1平面B1CD， 又AB1平面AB1C，平面AB1C平面B1CD.,(2)求三棱錐B1ABC的體積 . 解 由于AB1平面B1CD，B1D平面ABCD， 所以AB1B1D，,例3 (2014四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形 (1)若ACBC，證明： 直線BC平面ACC1A1；,題型三 線面位置關(guān)系中的存 在性問題,解析,思維點(diǎn)撥,例3 (2014四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形 (1)若ACBC，證明： 直線BC平面ACC1A1；,題型三 線面位置關(guān)系中的存 在性問題,先證明AA1平面ABC，可得AA1BC，利用ACBC，可以證明直線BC平面ACC1A1；,解析,思維點(diǎn)撥,例3 (2014四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形 (1)若ACBC，證明： 直線BC平面ACC1A1；,題型三 線面位置關(guān)系中的存 在性問題,證明 因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1和ACC1A1都是矩形， 所以AA1AB，AA1AC. 因?yàn)锳B，AC為平面ABC內(nèi)兩條相交的直線， 所以AA1平面ABC.,解析,思維點(diǎn)撥,例3 (2014四川)在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形 (1)若ACBC，證明： 直線BC平面ACC1A1；,題型三 線面位置關(guān)系中的存 在性問題,因?yàn)橹本€BC平面ABC，所以AA1BC. 又由已知，ACBC，AA1和AC為平面ACC1A1內(nèi)兩條相交的直線，所以BC平面ACC1A1.,解析,思維點(diǎn)撥,思維點(diǎn)撥,思維升華,(2)設(shè)D，E分別是線段BC，CC1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE平面A1MC？請(qǐng)證明你的結(jié)論,解析,(2)設(shè)D，E分別是線段BC，CC1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE平面A1MC？請(qǐng)證明你的結(jié)論,思維點(diǎn)撥,思維升華,解析,取AB的中點(diǎn)M，連接A1M，MC，A1C，AC1，A1C與AC1交于點(diǎn)O，證明四邊形MDEO為平行四邊形即可,思維點(diǎn)撥,思維升華,解析,(2)設(shè)D，E分別是線段BC，CC1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE平面A1MC？請(qǐng)證明你的結(jié)論,解 取線段AB的中點(diǎn)M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設(shè)點(diǎn)O為A1C，AC1的交點(diǎn) 由已知，點(diǎn)O 為AC1的中點(diǎn),思維點(diǎn)撥,思維升華,解析,(2)設(shè)D，E分別是線段BC，CC1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE平面A1MC？請(qǐng)證明你的結(jié)論,連接MD，OE，則MD，OE分別為ABC，ACC1的中位線，,思維點(diǎn)撥,思維升華,解析,(2)設(shè)D，E分別是線段BC，CC1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE平面A1MC？請(qǐng)證明你的結(jié)論,連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形，則DEMO. 因?yàn)橹本€DE平面A1MC，MO平面A1MC， 所以直線DE平面A1MC. 即線段AB上存在一點(diǎn)M(線段AB的中點(diǎn))，使直線DE平面A1MC.,思維點(diǎn)撥,思維升華,解析,對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在這假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè),(2)設(shè)D，E分別是線段BC，CC1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE平面A1MC？請(qǐng)證明你的結(jié)論,跟蹤訓(xùn)練3 如圖，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB， ADDC，ABDC. (1)求證：D1CAC1；,證明 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連接C1D， DCDD1，四邊形DCC1D1是正方形， DC1D1C.,跟蹤訓(xùn)練3 如圖，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB， ADDC，ABDC. (1)求證：D1CAC1；,又ADDC，ADDD1，DCDD1D， AD平面DCC1D1， 又D1C平面DCC1D1，,跟蹤訓(xùn)練3 如圖，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB， ADDC，ABDC. (1)求證：D1CAC1；,ADD1C. AD平面ADC1，DC1平面ADC1，且ADDC1D， D1C平面ADC1， 又AC1平面ADC1，D1CAC1.,解 假設(shè)存在點(diǎn)E，使D1E平面A1BD. 連接AD1，AE，D1E， 設(shè)AD1A1DM， BDAEN，連接MN， 平面AD1E平面A1BDMN，,(2)問在棱CD上是否存在點(diǎn)E，使D1E平面A1BD.若存在，確定點(diǎn)E位置；若不存在，說明理由,要使D1E平面A1BD，可使MND1E， 又M是AD1的中點(diǎn)，則N是AE的中點(diǎn) 又易知ABNEDN， ABDE. 即E是DC的中點(diǎn) 綜上所述，當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí)， 可使D1E平面A1BD.,思維點(diǎn)撥,思維升華,題型四 空間向量與立體幾何,解析,例4 (2014遼寧)如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC 120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點(diǎn) (1)求證：EFBC； (2)求二面角EBFC的正弦值,可以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC 120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點(diǎn) (1)求證：EFBC； (2)求二面角EBFC的正弦值,思維點(diǎn)撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC 120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點(diǎn) (1)求證：EFBC； (2)求二面角EBFC的正弦值,方法一 (1)證明 如圖(1)，過E作EOBC，垂足為O，連接OF. 由題意得ABCDBC，可證出EOCFOC. 即FOBC. 又EOBC，EOFOO，因此BC平面EFO. 又EF平面EFO，所以EFBC.,(1),思維點(diǎn)撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC 120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點(diǎn) (1)求證：EFBC； (2)求二面角EBFC的正弦值,(2)解 如圖(1)，過O作OGBF，垂足為G，連接EG. 由平面ABC平面BDC，從而EO平面BDC. 又OGBF，EOBF，所以BF平面EGO， 所以EGBF. 因此EGO為二面角EBFC的平面角,(1),思維點(diǎn)撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC 120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點(diǎn) (1)求證：EFBC； (2)求二面角EBFC的正弦值,思維點(diǎn)撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC 120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點(diǎn) (1)求證：EFBC； (2)求二面角EBFC的正弦值,方法二 (1)證明 由題意，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過B作垂直于BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內(nèi)過B作垂直BC的直線為z軸，建立如圖(2) 所示的空間直角坐標(biāo)系，,(2),思維點(diǎn)撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC 120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點(diǎn) (1)求證：EFBC； (2)求二面角EBFC的正弦值,思維點(diǎn)撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC 120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點(diǎn) (1)求證：EFBC； (2)求二面角EBFC的正弦值,(2)解 如圖(2)，平面BFC的一個(gè)法向量為n1(0,0,1) 設(shè)平面BEF的法向量為n2(x，y，z)，,(2),思維點(diǎn)撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC 120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點(diǎn) (1)求證：EFBC； (2)求二面角EBFC的正弦值,思維點(diǎn)撥,思維升華,解析,題型四 空間向量與立體幾何,例4 (2014遼寧)如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC 120， E，F(xiàn)分別為AC， DC的中點(diǎn) (1)求證：EFBC； (2)求二面角EBFC的正弦值,用向量法解決立體幾何問 題，可使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，使推理論證變?yōu)橛?jì)算求解，降低思維難度使立體幾何 問題“公式”化，訓(xùn)練的 關(guān)鍵在于“歸類、尋法”,思維點(diǎn)撥,思維升華,解析,跟蹤訓(xùn)練4 在如圖所示的幾何體中，底面ABCD 為菱形，BAD60，AA1綊DD1綊CC1BE， 且AA1AB，D1E平面D1AC，AA1底面ABCD. (1)求二面角D1ACE的大??；,解 設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，如圖所示建立空間直 角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)AB2，,D1E面D1AC，D1ECA，D1ED1A，,設(shè)平面EAC的法向量為m(x，y，z)，,令z1，y3，m(0,3,1),所以所求二面角的大小為45.,解 假設(shè)存在點(diǎn)P滿足題意,故存在點(diǎn)P使A1P面EAC，此時(shí)D1PPE32.,1.(2014重慶)某幾何體的三視圖如圖所示， 則該幾何體的表面積為( ) A.54 B.60 C.66 D.72 解析 由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為 直角三角形，由正視圖和側(cè)視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)截取得到的.,2,3,4,5,6,7,8,1,在長(zhǎng)方體中分析還原，如圖(1)所示， 故該幾何體的直觀圖如圖(2)所示.,2,3,4,5,6,7,8,1,答案 B,2,3,4,5,6,7,8,1,2.已知m，n分別是兩條不重合的直線，a，b分別垂直于兩不重合平面，有以下四個(gè)命題： 若m，nb，且，則mn； 若ma，nb，且，則mn； 若m，nb，且，則mn； 若m，nb，且，則mn. 其中正確的命題是( ) A. B. C. D.,3,4,5,6,7,8,1,2,解析 對(duì)于，b，nb，n，m，且，mn，錯(cuò)誤；對(duì)于，a，b分別垂直于兩不重合平面，ab，ma，nb，mn，正確；對(duì)于，nb，b，n，m，mn，正確；對(duì)于，m，b，mb，nb，mn或mn或m，n相交，不正確.所以正確. 答案 D,3,4,5,6,7,8,1,2,3.如圖梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折，給出四個(gè)結(jié)論： DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC； 平面DCF平面BFC. 在翻折過程中，可能成立的結(jié)論是_.(填寫結(jié)論序號(hào)),4,5,6,7,8,1,2,3,解析 因?yàn)锽CAD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，則不成立； 設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P，當(dāng)BPCF時(shí)就有BDFC，而ADBCAB234，可使條 件滿足，所以正確；當(dāng)點(diǎn)P落在BF上時(shí)， DP平面BDF，從而平面BDF平面BCF， 所以正確；,4,5,6,7,8,1,2,3,因?yàn)辄c(diǎn)D的射影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即錯(cuò)誤.故答案為. 答案 ,4,5,6,7,8,1,2,3,4.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E 是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) _時(shí)，D1E平面AB1F. 解析 如圖，連接A1B，則A1B是D1E在平面 ABB1A1內(nèi)的射影. AB1A1B，D1EAB1， 又D1E平面AB1FD1EAF.,5,6,7,8,1,2,3,4,連接DE，則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影， D1EAFDEAF. ABCD是正方形，E是BC的中點(diǎn)， 當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DEAF， 即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D1E平面AB1F，,答案 1,5,6,7,8,1,2,3,4,5.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G， H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證： (1)B，C，H，G四點(diǎn)共面； 證明 GH是A1B1C1的中位線，GHB1C1. 又B1C1BC，GHBC， B，C，H，G四點(diǎn)共面.,6,7,8,1,2,3,4,5,(2)平面EFA1平面BCHG.,證明 E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，EFBC， EF平面BCHG，BC平面BCHG， EF平面BCHG. A1G與EB平行且相等， 四邊形A1EBG是平行四邊形，,6,7,8,1,2,3,4,5,A1EGB. A1E平面BCHG，GB平面BCHG， A1E平面BCHG. A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.,6,7,8,1,2,3,4,5,6.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中， E是棱DD1的中點(diǎn).在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F， 使B1F平面A1BE？并證明你的結(jié)論. 解 在棱C1D1上存在點(diǎn)F，使B1F平面A1BE. 因?yàn)槠矫鍭BB1A1平面DCC1D1，所以A1B與 平面A1EB和平面DCC1D1的交線平行， 如圖所示，,7,8,1,2,3,4,5,6,取CD的中點(diǎn)G，連接EG，BG， 則EG，BG就是平面A1BE分別與平面DCC1D1和平面ABCD的交線. 取C1D1的中點(diǎn)F，CC1的中點(diǎn)H， 連接HF，B1F，B1H. 因?yàn)镠FEG， 所以HF平面A1EB.,7,8,1,2,3,4,5,6,因?yàn)锳1B1C1D1HE，所以A1，B1，H，E四點(diǎn)共面， 又平面BB1C1C平面AA1D1D， 所以B1HA1E，從而B1H平面A1EB， 因?yàn)锽1HHFH， 所以平面B1HF平面A1EB， 所以B1F平面A1EB.,7,8,1,2,3,4,5,6,7.(2014福建)在平面四邊形ABCD中，ABBD CD1，ABBD，CDBD.將ABD沿BD 折起，使得平面ABD平面BCD，如圖所示. (1)求證：ABCD； 證明 平面ABD平面BCD，平面ABD平面 BCDBD，AB平面ABD，ABBD， AB平面BCD. 又CD平面BCD，ABCD.,8,1,2,3,4,5,6,7,(2)若M為AD中點(diǎn)，求直線AD與平面MBC所成角的正弦值. 解 過點(diǎn)B在平面BCD內(nèi)作BEBD，如圖. 由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD， BD平面BCD， ABBE，ABBD.,8,1,2,3,4,5,6,7,設(shè)平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，,8,1,2,3,4,5,6,7,取z01，得平面MBC的一個(gè)法向量n(1，1,1). 設(shè)直線AD與平面MBC所成角為，,8,1,2,3,4,5,6,7,8.如圖所示，平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，四邊形ABDE是直角 梯形，BDAE，BDBA，BD AE2， O，M分別為CE，AB的中點(diǎn). (1)求證：OD平面ABC；,8,1,2,3,4,5,6,7,證明 取AC中點(diǎn)F，連接OF，F(xiàn)B. F是AC中點(diǎn)，O為CE中點(diǎn)，,四邊形BDOF是平行四邊形，ODFB. 又FB平面ABC，OD平面ABC， OD平面ABC.,8,1,2,3,4,5,6,7,(2)求直線CD和平面ODM所成角的正弦值； 解 平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，DB平面ABDE，且BDBA， DB平面ABC. BDAE，EA平面ABC.,8,1,2,3,4,5,6,7,如圖所示，以C為原點(diǎn)，分別以CA，CB所在直 線為x，y軸，以過點(diǎn)C且與平面ABC垂直的直線 為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系. ACBC4，C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)， D(0,4,2)，E(4,0,4)，O(2,0,2)，M(2,2,0)，,8,1,2,3,4,5,6,7,設(shè)平面ODM的法向量為n(x，y，z)，,令x2，得y1，z1.n(2,1,1). 設(shè)直線CD和平面ODM所成角為，,8,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,(3)能否在EM上找一點(diǎn)N，使得ON平面ABDE？ 若能，請(qǐng)指出點(diǎn)N的位置，并加以證明； 若不能，請(qǐng)說明理由. 解 當(dāng)N是EM中點(diǎn)時(shí)，ON平面ABDE. 方法一 取EM中點(diǎn)N，連接ON，CM， ACBC，M為AB中點(diǎn)，,8,1,2,3,4,5,6,7,CMAB. 又平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，CM平面ABC，CM平面ABDE. N是EM中點(diǎn)，O為CE中點(diǎn)， ONCM，ON平面ABDE.,8,1,2,3,4,5,6,7,方法二 由(2)設(shè)N(a，b，c)，,即(a2，b2，c)(4a，b,4c)，,8,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,當(dāng)N是EM的中點(diǎn)時(shí)，ON平面ABDE.,8,1,2,3,4,5,6,7,