,高考專題突破六 高考中的概率與統(tǒng)計問題,第十二章 概率、隨機變量及其分布,數(shù)學(xué) A（理）,考點自測,高考題型突破,練出高分,D,C,C,設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時刻為x、y，x、y相互獨立，由題意可知,如圖所示.,解析,題型一 古典概型與幾何概型 例1 (1)(2014四川)一個盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機有放回地抽取3次，每次抽取1張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a，b，c. 求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”的概率； 求“抽取的卡片上的數(shù)字a，b，c不完全相同”的概率.,所有結(jié)果共有33327種，滿足abc的情況有3個. a、b、c不完全相同的結(jié)果可用其對立事件考慮.,思維點撥,解 由題意知，(a，b，c)所有的可能結(jié)果為 (1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27種.,設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足abc”為事件A， 則事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3種.,思維升華,幾何概型與古典概型的本質(zhì)區(qū)別在于試驗結(jié)果的無限性，幾何概型經(jīng)常涉及的幾何度量有長度、面積、體積等，解決幾何概型的關(guān)鍵是找準(zhǔn)幾何測度；古典概型是命題的重點，對于較復(fù)雜的基本事件空間，列舉時要按照一定的規(guī)律進(jìn)行，做到不重不漏.,例1 (2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)ax24bx1.設(shè)點(a，b)是 區(qū)域,內(nèi)的一點，,求函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的概率.,結(jié)合線性規(guī)劃知識來解決.,思維點撥,要使f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，,依條件可知事件的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為,構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形部分. 所求概率區(qū)間應(yīng)滿足2ba.,思維升華,幾何概型與古典概型的本質(zhì)區(qū)別在于試驗結(jié)果的無限性，幾何概型經(jīng)常涉及的幾何度量有長度、面積、體積等，解決幾何概型的關(guān)鍵是找準(zhǔn)幾何測度；古典概型是命題的重點，對于較復(fù)雜的基本事件空間，列舉時要按照一定的規(guī)律進(jìn)行，做到不重不漏.,跟蹤訓(xùn)練1 某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查. (1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目.,故從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1.,跟蹤訓(xùn)練1 (2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析， 列出所有可能的抽取結(jié)果； 求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率.,解 在抽取的6所學(xué)校中，3所小學(xué)分別記為A1，A2，A3,2所中學(xué)分別記為A4，A5，大學(xué)記為A6，則抽取2所學(xué)校的所有可能結(jié)果為A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共15種.,跟蹤訓(xùn)練1 (2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析， 列出所有可能的抽取結(jié)果； 求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率.,解 從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)(記為事件B)的所有可能結(jié)果為A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3種，,題型二 求離散型隨機變量的均值與方差 例2 2014年男足世界杯在巴西舉行，為了爭奪最后一個小組賽參賽名額，甲、乙、丙三支國家隊要進(jìn)行比賽，根據(jù)規(guī)則：每支隊伍比賽兩場，共賽三場，每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒有平局，獲得第一名的隊伍將奪得這個參賽名額.已知乙隊勝丙隊的概率為 ，甲隊獲得第一名的概率 為 ，乙隊獲得第一名的概率為 . (1)求甲隊分別戰(zhàn)勝乙隊和丙隊的概率P1，P2；,(1)利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，結(jié)合甲隊獲得第一名與乙隊獲得第一名的條件列出方程，從而求出P1，P2；,思維點撥,解析,解 根據(jù)題意,甲隊獲得第一名,則甲隊勝乙隊且甲隊勝丙隊，,乙隊獲得第一名，則乙隊勝甲隊且乙隊勝丙隊，,(2)先根據(jù)比賽得分的規(guī)則確定甲隊得分的可能取值，然后利用相互獨立事件的概率計算公式分別求解對應(yīng)的概率值，列出分布列求其均值,思維點撥,例2 (2)設(shè)在該次比賽中,甲隊得分為,求的分布列和均值.,例2 (2)設(shè)在該次比賽中,甲隊得分為,求的分布列和均值.,解 可能取的值為0,3,6，,例2 (2)設(shè)在該次比賽中,甲隊得分為,求的分布列和均值.,所以的分布列為,思維升華,離散型隨機變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的均值和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計算，注意離散型隨機變量的取值與概率間的對應(yīng).,跟蹤訓(xùn)練2 受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān).某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年.現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機抽取50輛，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：,將頻率視為概率，解答下列問題： (1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率.,(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列.,解 依題意得，X1的分布列為,X2的分布列為,跟蹤訓(xùn)練2 (3)該廠預(yù)計今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車.若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由.,題型三 概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用 例3 (2013課標(biāo)全國)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng) 產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品 獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300 元.根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示.經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品.以X(單位： t,100X150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤.,利潤T是由兩部分構(gòu)成的，一個是獲得利潤，另一個是虧損，是否虧損與X的取值范圍有關(guān)，因此，T關(guān)于X的函數(shù)要用分段函數(shù)表示.,思維點撥,例3 (1)將T表示為X的函數(shù)；,例3 (1)將T表示為X的函數(shù)；,解 (1)當(dāng)X100,130)時， T500X300(130X)800X39 000. 當(dāng)X130,150時，T50013065 000.,解 由(1)知利潤T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120X150. 由直方圖知需求量X120,150的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7.,例3 (2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率；,解 依題意可得T的分布列為,例3 (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X100,110)，則取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的頻率).求T的均值.,例3 (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X100,110)，則取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的頻率).求T的均值.,所以E(T)45 0000.153 0000.261 0000.3 65 0000.459 400.,例3 (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X100,110)，則取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的頻率).求T的均值.,思維升華,概率與統(tǒng)計作為考查考生應(yīng)用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點.它與其他知識融合、滲透，情境新穎，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性.統(tǒng)計以考查抽樣方法、樣本,例3 (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X100,110)，則取X105，且X105的概率等于需求量落入100,110)的頻率).求T的均值.,思維升華,的頻率分布、樣本特征數(shù)的計算為主，概率以考查概率計算為主，往往和實際問題相結(jié)合，要注意理解實際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計算對應(yīng)起來，只有這樣才能有效地解決問題.,跟蹤訓(xùn)練3 以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù).乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊,無法確認(rèn),在圖中以X表示.,甲組 乙組,(1)如果X8，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；,解 當(dāng)X9時，由莖葉圖可知，甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9,9,11,11；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，共有4416(種)可能的結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y17”等價于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵，乙組選出的同學(xué)植樹8棵”，所以該事件有2種可能的結(jié)果，因此,所以隨機變量Y的分布列為,2,1,3,4,5,6,2,1,3,4,5,6,1.(2013廣東)某車間共有12名工人，隨機抽取6名，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù).,(1)根據(jù)莖葉圖計算樣本均值；,2,1,3,4,5,6,(2)日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？,2,1,3,4,5,6,(3)從該車間12名工人中，任取2人,求恰有1名優(yōu)秀工人的概率.,2,1,3,4,5,6,2.在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.從這10件產(chǎn)品中任取3件，求： (1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和均值；,2,1,3,4,5,6,2,1,3,4,5,6,(2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率.,解 設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1,“恰好取出2件一等品”為事件A2，“恰好取出3件一等品”為事件A3，由于事件A1,A2，A3彼此互斥,且AA1A2A3，而P(A1) .P(A2)P(X2) .P(A3)P(X3) ，所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P(A)P(A1)P(A2)P(A3)=,2,1,3,4,5,6,3.甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關(guān)游戲，按照規(guī)則，甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨立作答，然后由乙回答剩余3題，每人答對其中2題就停止答題，即闖關(guān)成功.已知在6道備選題中，甲能答對其中的4道題，乙答對每道題的概率都是 . (1)求甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率；,2,1,3,4,5,6,2,1,3,4,5,6,(2)設(shè)甲答對題目的個數(shù)為，求的分布列.,則的分布列為,2,1,3,4,5,6,4.如圖，是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖.,(1)求直方圖中x的值；,解 依題意及頻率分布直方圖知1(0.020.1x0.370.39)1，解得x0.12.,2,1,3,4,5,6,(2)若將頻率視為概率,從這個城市隨機抽取3位居民(看做有放回的抽樣),求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和均值.,2,1,3,4,5,6,故隨機變量X的分布列為,X的均值為E(X)30.10.3.,2,1,3,4,5,6,5.某市公租房的房源位于A、B、C三個片區(qū).設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房源，且申請其中任一個片區(qū)的房源是等可能的，求該市的任4位申請人中： (1)恰有2人申請A片區(qū)房源的概率；,2,1,3,4,5,6,方法二 設(shè)對每位申請人的觀察為一次試驗，這是4次獨立重復(fù)試驗.,記“申請A片區(qū)房源”為事件A，則P(A) .,2,1,3,4,5,6,(2)申請的房源所在片區(qū)的個數(shù)的分布列與均值.,綜上知，的分布列為,，,2,1,3,4,5,6,6.一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個是正確的.評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個選項，答對得5分，不答或答錯得零分”.某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中：有兩道題都可判斷兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜.請求出該考生：,2,1,3,4,5,6,(1)得60分的概率；,解 設(shè)“可判斷兩個選項是錯誤的”兩道題之一選對為事件A，“有一道題可以判斷一個選項是錯誤的”選對為事件B，“有一道題不理解題意”選對為事件C，,2,1,3,4,5,6,(2)所得分?jǐn)?shù)的分布列和均值.,2,1,3,4,5,6,2,1,3,4,5,6,的分布列為,