第8節(jié) 函數(shù)與方程,.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù) .根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解,整合主干知識(shí),1函數(shù)的零點(diǎn),質(zhì)疑探究：當(dāng)函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)，是否一定有f(a)f(b)0.,2二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系,1函數(shù)f(x)2x3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是( ) A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2) 解析：易知f(x)2x3x在R上是增函數(shù) 而f(2)2260，f(1)f(0)0， 故函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,0)上有零點(diǎn)故選B. 答案：B,答案：B,3給出下列命題： 函數(shù)f(x)x21的零點(diǎn)是(1,0)和(1,0)； 函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則一定有f(a)f(b)0； 二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac0時(shí)沒有零點(diǎn)； 若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)f(b)0，則函數(shù)f(x)在a，b上有且只有一個(gè)零點(diǎn) 其中正確的是( ) A B C D,解析：錯(cuò)誤，函數(shù)f(x)x21的零點(diǎn)為1和1，而并非其與x軸的交點(diǎn)(1,0)與(1,0) 錯(cuò)誤函數(shù)f(x)x2x在(1,2)上有兩個(gè)零點(diǎn)，但f(1)f(2)0. 正確當(dāng)b24ac0時(shí)，二次函數(shù)圖象與x軸無交點(diǎn)，從而二次函數(shù)沒有零點(diǎn) 正確由已知條件，數(shù)形結(jié)合可得f(x)與x軸在區(qū)間a，b上有且僅有一個(gè)交點(diǎn). 故選C. 答案：C,4用二分法求函數(shù)f(x)3xx4的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下： 據(jù)此數(shù)據(jù)，可得f(x)3xx4的一個(gè)零點(diǎn)的近似值(保留三位有效數(shù)字)為_ 解析：由題意知，函數(shù)零點(diǎn)在區(qū)間(1.5562,1.5625)內(nèi)，又零點(diǎn)近似值保留三位有效數(shù)字，故零點(diǎn)近似值為1.56. 答案：1.56,5(2015北京朝陽區(qū)一模)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x2)f(x)當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)2x.若在區(qū)間2,3上方程ax2af(x)0恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_,解析：由f(x2)f(x)知函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，又f(x)為偶函數(shù)，故函數(shù)在2,3上的圖象如圖所示,聚集熱點(diǎn)題型,函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題,解析 (1)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以當(dāng)x1，0時(shí)，x0,1，所以f(x)x2，即f(x)x2.,yf(x)k的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，即yf(x)的圖象與yk的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn) 由圖知當(dāng)且僅當(dāng)1k0時(shí)，yf(x)的圖象與yk的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)故所求k的取值范圍是(1,0 答案 (1)C (2)(1,0,答案：0,名師講壇 1判斷函數(shù)yf(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的常用方法：(1)直接法令f(x)0，則方程實(shí)根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),(2)零點(diǎn)存在性定理法判斷函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)可確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù) (3)數(shù)形結(jié)合法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)),2由函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的存在情況求參數(shù)的取值范圍常用的方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍 (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離得af(x)，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)f(x)值域問題加以解決 (3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，再在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解,(2)由于|f(x)|0，故必須k0，即k0，顯然k0時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以k0，要使y|f(x)|與yk的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)(如圖所示)，只要k2，即k2即可故選D. 答案：(1)C (2)D,確定函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間,答案 (1)D (2)(1,2),(1)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)0.若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn) (2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷 提醒：在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，在確定函數(shù)零點(diǎn)的唯一性時(shí)往往要利用函數(shù)的單調(diào)性,名師講壇確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法,A(1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3) 解析：(1)因?yàn)閒(x)在(0，)上為單調(diào)增函數(shù)，且f(1)ln220，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是(1,2)中間，故選B.,答案：(1)B (2)B,典例賞析3 (1)(2015廣州一模)已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f(x)exx2的零點(diǎn)為a，函數(shù)g(x)ln xx2的零點(diǎn)為b，則下列不等式成立的是( ) Af(a)f(1)f(b) Bf(a)f(b)f(1) Cf(1)f(a)f(b) Df(b)f(1)f(a),函數(shù)零點(diǎn)與其他問題的綜合,解析 (1)函數(shù)f(x)，g(x)均為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，且f(0)10，g(1)10，所以a(0,1)，b(1，e)，即a1b，所以f(a)f(1)f(b)故選A.,答案 (1)A (2)D,名師講壇函數(shù)零點(diǎn)和其他知識(shí)相互結(jié)合的問題很廣泛，但其中的關(guān)鍵還是對(duì)函數(shù)零點(diǎn)或其范圍的確定，在解題中，要善于使用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理、數(shù)形結(jié)合等方法確定函數(shù)零點(diǎn)或范圍,解析：(1)由題意函數(shù)f(x)x24x4，由于函數(shù)yf(x)、函數(shù)ylg|x2|的圖象均關(guān)于直線x2對(duì)稱，故四個(gè)根之和為8.故選D.,答案：(1)D (2)A,備課札記 _,提升學(xué)科素養(yǎng),數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)零點(diǎn)問題中的應(yīng)用,審題視角作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期1,3上的圖象，根據(jù)周期性拓展函數(shù)圖象，再作出函數(shù)ymx的圖象，數(shù)形結(jié)合找出兩個(gè)函數(shù)圖象有5個(gè)公共點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)m滿足的不等式解之即得,方法點(diǎn)睛數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)是轉(zhuǎn)化，即把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題直觀解決，或者把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題加以解決，如本題就是利用形(函數(shù)的圖象)直觀判斷直線ymx的大致位置，建立關(guān)于m的不等式，利用代數(shù)運(yùn)算(解不等式)求得m的范圍在函數(shù)與方程問題中利用數(shù)形結(jié)合思想可以把函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根等問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題加以解決,解析：函數(shù)g(x)f(x)k有兩個(gè)零點(diǎn)，即f(x)k0有兩個(gè)解，即yf(x)與yk的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)分k0和k1或k0時(shí)，沒有交點(diǎn)，故當(dāng)0k1時(shí)滿足題意 答案：k|0k1,1一個(gè)口訣用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的方法 用二分法求零點(diǎn)近似值的口訣為：定區(qū)間，找中點(diǎn)，中值計(jì)算兩邊看；同號(hào)去，異號(hào)算，零點(diǎn)落在異號(hào)間；周而復(fù)始怎么辦？精確度上來判斷 2二個(gè)防范函數(shù)零點(diǎn)的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) (1)函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是方程f(x)0的實(shí)根 (2)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的變號(hào)零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號(hào)零點(diǎn)，而且 連續(xù)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)是這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的充分不必要條件,3三種方法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法 (1)直接求零點(diǎn)； (2)零點(diǎn)的存在性定理； (3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)(內(nèi)容見例2的方法規(guī)律) 4三個(gè)結(jié)論有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論 (1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn) (2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào) (3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào),