專題五,立體幾何,題型 1,三視圖與表面積、體積,例 1：(2014 年陜西)已知四面體 ABCD(如圖 5-1)及其三視 圖(如圖 5-2)，平行于棱 AD，BC 的平面分別交四面體的棱 AB， BD，DC，CA 于點(diǎn) E，F(xiàn)，G，H. (1)求四面體 ABCD 的體積； (2)證明：四邊形 EFGH 是矩形,三視圖是高考的新增考點(diǎn)，經(jīng)常以一道客觀題的形式出現(xiàn)，有時也和其他知識綜合作為解答題出現(xiàn)解題的關(guān)鍵還是要將三視圖轉(zhuǎn)化為簡單幾何體，或者其直觀圖,圖 5-1,(1)證明：由該四面體的三視圖知， BDDC，BDAD，ADDC， BDDC2，AD1. 由題設(shè)，BC平面EFGH， 平面EFGH平面BDCFG， 平面EFGH平面ABCEH， BCFG，BCEH.FGEH. 同理EFAD，HGAD，EFHG. 四邊形EFGH是平行四邊形,又ADDC，ADBD，AD平面BDC. ADBC.EFFG. 四邊形EFGH是矩形 (2)解：方法一：如圖52，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，,圖52,【互動探究】 1(2013 年廣東廣州二模)如圖 5-3，已知四棱錐 P-ABCD 的正視圖是一個底邊長為 4、腰長為 3 的等腰三角形，如圖 5-4 所示的分別是四棱錐 P-ABCD 的側(cè)視圖和俯視圖 (1)求證：ADPC； (2)求四棱錐 P-ABCD 的側(cè)面 PAB 的面積,圖 5-3,圖 5-4,(1)證明：如圖D45，依題意，可知：點(diǎn)P 在平面ABCD 上 的正射影是線段 CD 的中點(diǎn) E，連接 PE，則 PE平面 ABCD. AD平面 ABCD， ADPE. ADCD，CDPEE，CD 平面 PCD，PE平面 PCD，,AD平面 PCD. PC平面 PCD，ADPC.,圖 D45,(2)解：依題意，在等腰三角形 PCD 中， PCPD3，DEEC2.,過點(diǎn) E 作 EFAB，垂足為 F，連接 PF，,PE平面 ABCD，AB平面 ABCD，ABPE. EF平面 PEF，PE平面 PEF，EFPEE， AB平面 PEF.,PF平面 PEF，,ABPF.,依題意，得 EFAD2.,題型 2,平行與垂直關(guān)系,就全國試卷而言，對立體幾何的命題基本上是“一題兩法”的格局在備考中，還是應(yīng)該注重傳統(tǒng)的推理證明方法，不要盲目地追求空間向量(容易建系時才用空間向量)，千萬不要重計(jì)算而輕論證！,例 2：(2014 年四川)三棱錐 A-BCD 及其側(cè)視圖、俯視圖如 圖 5-5.設(shè) M，N 分別為線段 AD，AB 的中點(diǎn)，P 為線段 BC 上的 點(diǎn)，且 MNNP.,(1)證明：P 是線段 BC 的中點(diǎn)； (2)求二面角 A-NP-M 的余弦值,圖 5-5,解：(1)如圖5-6，取 BD 的中點(diǎn) O，連接 AO，CO.,圖 5-6,由側(cè)視圖及俯視圖知，ABD，BCD 為正三角形， 所以 AOBD，OCBD.,因?yàn)?AO，OC平面 AOC，且 AOOCO， 所以 BD平面 AOC.,又因?yàn)?AC平面 AOC，所以 BDAC. 取 BO 的中點(diǎn) H，連接 NH，PH.,又 M，N，H 分別為線段 AD，AB，BO 的中點(diǎn)， 所以 MNBD，NHAO.,因?yàn)?AOBD，所以 NHBD. 因?yàn)?MNNP，所以 NPBD.,因?yàn)?NH，NP平面 NHP，且 NHNPN， 所以 BD平面 NHP.,又因?yàn)?HP平面 NHP，所以 BDHP.,又 OCBD，HP平面 BCD，OC平面 BCD， 所以 HPOC.,因?yàn)?H 為 BO 的中點(diǎn)，所以 P 為 BC 的中點(diǎn),(2)方法一：如圖 5-7，作 NQAC 于點(diǎn) Q，連接 MQ.,圖 5-7,圖 5-8,【名師點(diǎn)評】立體幾何中的直線與平面的位置關(guān)系，以及 空間的三種角，是高考的必考內(nèi)容，都可以采用傳統(tǒng)的方法來 處理；對于直線與平面間幾種位置關(guān)系，可采用平行垂直間的 轉(zhuǎn)化關(guān)系來證明；對于異面直線所成的角、直線與平面所成的 角和二面角可分別通過平移法、射影法和垂面法將它們轉(zhuǎn)化為 相交直線所成的角來處理本題主要考查立體幾何中傳統(tǒng)的平 行與垂直關(guān)系，并且考查了線面所成的角，難度并不是太大， 主要考查考生對解題技巧的把握和抽象分析的能力,【互動探究】,2(2014 年北京)如圖 5-9，正方形 AMDE 的邊長為 2，B，C 分別為 AM，MD 的中點(diǎn)在五棱錐 P-ABCDE 中，F(xiàn) 為棱 PE 的中點(diǎn)，平面 ABF 與棱 PD，PC 分別交于點(diǎn) G，H.,(1)求證：ABFG；,(2)若 PA 底面 ABCDE，且PAAE， 求直線 BC 與平面 ABF 所成角的大小， 并求線段 PH 的長,圖 5-9,(1)證明：在正方形 AMDE 中，,因?yàn)?B 是 AM 的中點(diǎn)，所以 ABDE. 又因?yàn)?AB平面 PDE， 所以 AB平面 PDE.,因?yàn)?AB平面 ABF，且平面 ABF平面 PDEFG， 所以 ABFG.,(2)解：因?yàn)?PA 底面 ABCDE， 所以 PA AB，PA AE.,圖 D46,題型 3,折疊問題,立體幾何最重要的思想就是空間問題平面，當(dāng)然也有許多 將平面轉(zhuǎn)換成立體幾何的習(xí)題，如折疊問題，解此類問題最重 要的要把握折疊前后邊與角中的變與不變,例 3：(2014 年廣東)如圖 5-10，四邊形 ABCD 為正方形， PD平面 ABCD，DPC30，AFPC 于點(diǎn) F，F(xiàn)ECD， 交 PD 于點(diǎn) E.,(1)證明：CF平面 ADF；,(2)求二面角 D-AF-E 的余弦值,圖 5-10,(1)證明：PD平面 ABCD，AD平面ABCD，PDAD. 又 CDAD，PDCDD， AD平面 PCD.ADPC. 又 AFPC，ADAFA，PC平面 ADF， 即 CF平面 ADF.,圖 5-11,【名師點(diǎn)評】有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形 (折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量 關(guān)系，哪些變，哪些不變?nèi)缃堑拇笮〔蛔?，線段長度不變， 線線關(guān)系不變，再由面面垂直的判定定理進(jìn)行推理證明,【互動探究】,圖 5-12,圖 5-13,圖D47,所以AO2OD2AD2. 所以AOOD. 同理可證AOOE. 又ODOEO， 所以AO平面BCDE.,(2)解：方法一：如圖D47，傳統(tǒng)法：過點(diǎn)O 作OHCD， 交 CD 的延長線于點(diǎn) H，連接 AH. 因?yàn)?AO平面 BCDE，所以 AOCD. 又 OHCD，AOOHO， CD平面 AHO.AHCD. 所以AHO 為二面角 A-CD-B 的平面角,方法二：以O(shè) 點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz 如圖 D48. 圖 D48,