第6講,離散型隨機(jī)變量的均值與方差,理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能 計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問 題.,1.離散型隨機(jī)變量的均值和方差,一般地，若離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為：,則稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的 均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.,2.均值和方差的性質(zhì) 設(shè) a，b 是常數(shù)，隨機(jī)變量 X，Y 滿足 YaXb，,aE(X)b,則 E(Y)E(aXb)_， D(Y)D(aXb)a2D(X).,3.兩點(diǎn)分布及二項(xiàng)分布的均值和方差,p,np,(1)若 X 服從兩點(diǎn)分布，則 E(X)_，D(X)p(1p). (2)若 XB(n，p)，則 E(X)_，D(X)np(1p).,1.已知隨機(jī)變量的分布列是：,B,則 D()(,),A.0.6,B.0.8,C.1,D.1.2,D,2.已知的分布列為：,A.E()p，D()pq B.E()p，D()p2 C.E()q，D()q2 D.E()1p，D()pp2,其中 p(0,1)，則( ),3.已知 X 的分布列如下表，設(shè) Y2X1，則 Y 的數(shù)學(xué)期望,是(,),B,C,考點(diǎn) 1,離散型隨機(jī)變量的均值,例 1：(2014 年天津)某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有 6 名男同學(xué)，4 名 女同學(xué).在這 10 名同學(xué)中，3 名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余 7 名同 學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的 7 個(gè)學(xué)院.現(xiàn)從這 10 名同 學(xué)中隨機(jī)選取 3 名同學(xué)到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)(每位同學(xué)被選 到的可能性相同). (1)求選出的 3 名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院的概率； (2)設(shè) X 為選出的 3 名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望.,解：(1)設(shè)“選出的 3 名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事 件 A，則,所以隨機(jī)變量 X 的分布列為：,【規(guī)律方法】(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X 的分布列為：,則稱E(X)x1p1x2p2xipixnpn為隨機(jī)變量X的 均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平. (2)求數(shù)學(xué)期望(均值)的關(guān)鍵是求出其分布列.若已知離散型 分布列，可直接套用公式E(X)x1p1x2p2xipixnpn 求其均值.隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，它不依賴于樣本的抽 取，只要找準(zhǔn)隨機(jī)變量及相應(yīng)的概率即可計(jì)算.,【互動(dòng)探究】,1.(2013 年廣東)已知離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為：,A,則 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)(,),考點(diǎn) 2,離散型隨機(jī)變量的方差,例 2：(2013 年浙江)設(shè)袋子中裝有 a 個(gè)紅球，b 個(gè)黃球，c 個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出 1 個(gè)紅球得 1 分，取出 1 個(gè)黃球 2 分， 取出 1 個(gè)藍(lán)球得 3 分. (1)當(dāng) a3，b2，c1 時(shí)，從該袋子中任取 2 個(gè)球(有放 回，且每個(gè)球取到的機(jī)會(huì)均等)，記隨機(jī)變量為取出這 2 個(gè)球 所得分?jǐn)?shù)之和，求的分布列； (2)從該袋子中任取 1 個(gè)球(且每個(gè)球取到的機(jī)會(huì)均等)，記 bc.,解：(1)由已知，得當(dāng)兩次取出的球分別是紅紅時(shí)，2，,當(dāng)兩次取出的球分別是紅黃，或黃紅時(shí)，3，,當(dāng)兩次取出的球分別是黃黃，紅藍(lán)，或藍(lán)紅時(shí)，4，,當(dāng)兩次取出的球分別是藍(lán)藍(lán)時(shí)，6，,所以的分布列是：,當(dāng)兩次取出的球分別是黃藍(lán)，或藍(lán)黃時(shí)，5，,(2)由已知，得有三種取值即 1,2,3，所以的分布列是：,故 abc321.,【規(guī)律方法】(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X 的分布列為：,xnE(X)2pn為隨機(jī)變量X的方差,(2)若X 是隨機(jī)變量，且YaXb，其中a，b 是常數(shù)，則 Y 也是隨機(jī)變量，則 E(Y)E(aXb)aE(X)b，D(Y)D(aX b)a2D(X).,(3)均值體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，如果兩個(gè)隨機(jī)變 量的均值相等，還要看隨機(jī)變量的取值在均值周圍的變化，方 差大，說明隨機(jī)變量取值較分散；方差小，說明取值較集中.,【互動(dòng)探究】,考點(diǎn) 3,二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用,例 3：(2014 年廣東)隨機(jī)觀測生產(chǎn)某種零件的某工廠 25 名 工人的日加工零件數(shù)(單位：件)，獲得數(shù)據(jù)如下：30,42,41,36,44, 40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36 ， 根 據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下：,(1)確定樣本頻率分布表中n1，n2，f1和f2的值；,(2)根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖； (3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取 4 人，至少有,1 人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35的概率.,解：(1)n17，n22，f10.28，f20.08. (2)樣本頻率分布直方圖如圖 9-6-1.,圖9-6-1,(3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，每人的日加工零件數(shù)落在區(qū),間(30,35的概率為 0.2，,設(shè)所取的4 人中，日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30,35的人數(shù)為，,則B(4,0.2).,P(1)1P(0)1(10.2)410.409 60.590 4， 所以所取的 4 人中，至少有 1 人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間,(30,35的概率約為 0.590 4.,【互動(dòng)探究】,3.(2013 年福建)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了,人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì) 結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品.,(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們,的累計(jì)得分為 X，求 X3 的概率；,(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問： 他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)的得分的數(shù)學(xué)期望較大？,思想與方法,利用分類討論思想求數(shù)學(xué)期望,例題：(2014 年湖北)計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝 3 臺發(fā) 電機(jī)的水電站，過去 50 年的水文資料顯示，水的年入流量 X(年 入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米) 都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不 超過 120 的年份有 35 年，超過 120 的年份有 5 年，將年入流量 在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量 相互獨(dú)立.,(1)求在未來 4 年中，至多有 1 年的年入流量超過 120 的概,率；,(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最,多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量 X 限制，并有如下關(guān)系：,若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為 5000 萬元；若某臺發(fā) 電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損 800 萬元，欲使水電站年總利潤的 均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？,(2)記水電站年總利潤為 Y 萬元. 安裝 1 臺發(fā)電機(jī)的情形.,由于水庫年入流量總大于40，故1 臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為,1，對應(yīng)的年利潤 Y5000，E(Y)500015000；,安裝 2 臺發(fā)電機(jī)的情形.,依題意，當(dāng) 40X80 時(shí)，1 臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí) Y5000 800 4200 ，因此 P(Y 4200) P(40X80) p1 0.2 ；當(dāng) X80 時(shí)，2 臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí) Y5000210 000，因此 P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.,由此得 Y 的分布列如下：,所以 E(Y)42000.210 0000.88840； 安裝 3 臺發(fā)電機(jī)的情形.,依題意，當(dāng)40120時(shí)，3臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.,由此得 Y 的分布列如下：,所以 E(Y)34000.292000.715 0000.18620. 綜上所述，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝,發(fā)電機(jī) 2 臺.,【規(guī)律方法】本題考查學(xué)生在不同背景下遷移知識的能力， 關(guān)鍵在于如果迅速、準(zhǔn)確將信息提取、加工，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型， 化歸為數(shù)學(xué)期望問題.,