第 10 講,函數(shù)與方程,1結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，,判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù),2根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似,解,1函數(shù)的零點(diǎn) (1) 方 程 f(x) 0 有 實(shí) 根 函 數(shù) y f(x) 的 圖 象與x軸有,_函數(shù) yf(x)有零點(diǎn)；,交點(diǎn),(2)如果函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，b)上的圖象是連續(xù)不斷的， 且有 f(a)f(b)_0，那么函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，b)上有零點(diǎn)一,般把這一結(jié)論稱為零點(diǎn)存在性定理,2二分法,如果函數(shù) yf(x)在區(qū)間m，n上的圖象是一條連續(xù)不斷的 曲線，且 f(m)f(n)0，通過不斷地把函數(shù) yf(x)的零點(diǎn)所在區(qū) 間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn) 近似值的方法叫做二分法,1如圖 2-10-1 所示的是函數(shù) f(x)的圖象，它與 x 軸有 4 個(gè) 不同的公共點(diǎn)給出下列四個(gè)區(qū)間，不能用二分法求出函數(shù) f(x),零點(diǎn)的區(qū)間是(,),B,圖 2-10-1,A2.1，1 C4.1,5,B1.9,2.3 D5,6.1,2(2012 年廣東韶關(guān)一模)若函數(shù) f(x)x3x22x2 的一 個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下表： 那么方程 x3 x2 2x20 的一個(gè)近似根(精確到 0.1)為,(,C,) A1.2 C1.4,B1.3 D1.5,3方程 2xx40 的解所在的區(qū)間為(,),C,A(1,0),B(0,1),C(1,2),D(2,3),解析：令 f(x)2xx4，f(1)f(2)20，f(x)在(1,2) 內(nèi)有零點(diǎn),4函數(shù) f(x)log3xx2 的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(,),B,A(0,1),B(1,2),C(2,3),D(3,4),解析：函數(shù)f(x)log3xx2 的定義域?yàn)?0，+)，且在(0， )上單調(diào)遞增又f(1)10，函數(shù)f(x) 有唯一零點(diǎn)，且零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),考點(diǎn) 1,判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間,例 1：(1)利用計(jì)算器，列出自變量和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值如下 表：,那么方程 2xx2 的一個(gè)根位于下列區(qū)間中的(,),A(0.6,1.0) C(1.8,2.2),B(1.4,1.8) D(2.6,3.0),解析：令 f(x)2xx2.由 f(0.6)1.5160.360，f(1.0)2.0 1.00 ，排除A ；由 f(1.4) 2.639 1.960 ，f(1.8) 3.482 3.240，排除 B；由 f(2.6)6.0636.760，f(2.2)4.5954.840，可 確定方程 2xx2 的一個(gè)根位于區(qū)間(1.8,2.2)上,答案：C,答案：C,【規(guī)律方法】判斷函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，,常用以下三種方法：,當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過解方程，看方程是否有根落,在給定區(qū)間上；,利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷；,通過函數(shù)圖象，觀察圖象與 x 軸在給定區(qū)間上是否有交,點(diǎn)來(lái)判斷.,【互動(dòng)探究】 1(2013 年重慶)若 abc，則函數(shù) f(x)(xa)(xb)(x,b)(xc)(xc)(xa)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(,),A,A(a，b)和(b，c)內(nèi) B(，a)和(a，b)內(nèi) C(b，c)和(c，)內(nèi) D(，a)和(c，)內(nèi) 解析：f(a)(ab)(ac)0；f(b)(bc)(ba)0，f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū) 間(a，b)和(b，c)內(nèi),考點(diǎn)2,二分法的應(yīng)用,例2：已知函數(shù) f(x)lnx2x6. (1)求證：函數(shù) f(x)在其定義域上是增函數(shù)； (2)求證：函數(shù) f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；,(1)證明：函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?0，)， 設(shè) x1x2，則 lnx1lnx2,2x12x2. lnx12x16lnx22x26. f(x1)f(x2)f(x)在(0，)上是增函數(shù),(2)證明：f(2)ln220， f(2)f(3)0.f(x)在(2,3)上至少有一個(gè)零點(diǎn) 又由(1)知，f(x)在(0，)上是增函數(shù)，因此 f(x)0 至多 有一個(gè)根，從而函數(shù) f(x)在(0，)上有且只有一個(gè)零點(diǎn),【規(guī)律方法】(1)二分法是求方程根的近似值的一種計(jì)算方,法，它只能用來(lái)求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)；,(2)給定精度，用二分法求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)近似值的步驟,如下：,確定區(qū)間m，n，驗(yàn)證 f(m)f(n)0，給定精度； 求區(qū)間m，n的中點(diǎn) x1；,計(jì)算 f(x1)：)若 f(x1)0，則x1 就是函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)； ) 若 f(m)f(x1)0 ，則令nx1 此時(shí)零點(diǎn)x0 (m ，x1) ；) 若 f(x1)f(n)0，則令mx1此時(shí)零點(diǎn)x0(x1，n),【互動(dòng)探究】 2若函數(shù) f(x)的零點(diǎn)與 g(x)4x2x2 的零點(diǎn)之差的絕對(duì),),值不超過 0.25，則 f(x)可以是( Af(x)4x1 Bf(x)(x1)2 Cf(x)ex1,答案：A,考點(diǎn) 3,利用導(dǎo)數(shù)討論方程的根的分布,例 3：(2013 年廣東廣州一模)已知 f(x)是二次函數(shù)，不等式 f(x)0 的解集是(0,5)，且 f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與直線 6xy 10 平行 (1)求 f(x)的解析式；,(2)是否存在 tN，使得方程 f(x),37 x,0 在區(qū)間(t，t1),內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出 t 的值；若不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由,思維點(diǎn)撥：(1)由二次不等式f(x)0 的解集可設(shè)出 f(x)解析,式，利用條件求出 f(1)，解出待定系數(shù),(2)對(duì)方程作等價(jià)變形,利用導(dǎo)數(shù)和變號(hào)零點(diǎn)判定法則探求 t.,函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與直線 6xy10 平行， f(1)6.,2a5a6，解得 a2. f(x)2x(x5)2x210x.,解：(1)方法一:f(x)是二次函數(shù),不等式f(x)0. f(x)2ax5a.,方法二：設(shè) f(x)ax2bxc， 不等式 f(x)0 的解集是(0,5)， 方程 ax2bxc0 的兩根為 0,5.,c0,25a5b0.,f(x)2axb， 又函數(shù) f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與直線 6xy10 平行， f(1)6.,2ab6.,由，解得 a2，b10. f(x)2x210x.,【互動(dòng)探究】,3函數(shù) f(x)2xx32 在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(,),A0 個(gè),B1 個(gè),C2 個(gè),D3 個(gè),B,解析：因?yàn)?f(x)2xln23x20，所以函數(shù) f(x)2xx3 2 在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增又 f(0)1210，所以由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間(0,1)內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè) 數(shù)為 1 個(gè)故選 B.,思想與方法,運(yùn)用分類討論思想判斷方程根的分布,例題：已知函數(shù) f(x)ax2x13a(aR)在區(qū)間1,1,上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍,令 f(x)0，得 x1 是區(qū)間1,1上的零點(diǎn),當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f(x)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)分三種情況：,解：方法一：當(dāng)a0 時(shí)，f(x)x1.,【規(guī)律方法】(1)函數(shù) f(x)ax2x13a(aR)在區(qū)間 1,1上有零點(diǎn)，應(yīng)該分類討論：討論 a0 與 a0；討論有一個(gè) 零點(diǎn)或有兩個(gè)零點(diǎn)；如果只有一個(gè)零點(diǎn)還要討論是否是重根 (2)函數(shù) f(x)的零點(diǎn)不是“點(diǎn)”，它是一個(gè)數(shù)，是方程 f(x),0 的實(shí)數(shù)根,(3)準(zhǔn)確理解根的存在性定理：f(x)在a，b上連續(xù)； f(a)f(b)0.其中是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件，不是必要條件， 并且滿足 f(a)f(b)0 時(shí)，f(x)在a，b上至少有一個(gè)零點(diǎn)；不滿 足 f(a)f(b)0 時(shí)，f(x)在a，b上未必?zé)o零點(diǎn),也可能有多個(gè)零點(diǎn),