第6講,不等式選講,1理解絕對(duì)值的幾何意義，并能利用含絕對(duì)值不等式的幾,何意義證明以下不等式：,(1)|ab|a|b|；,(2)|ab|ac|cb|；,(3)會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類(lèi)型的不等式： |axb|c；|axb|c；|xc|xb|a.,2了解下列柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何 意義，并會(huì)證明,3會(huì)用參數(shù)配方法討論柯西不等式的一般情形：,4會(huì)用向量遞歸方法討論排序不等式 5了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法 證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題 6會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明伯努利不等式：,(1x)n1nx,(x1，x0，n 為大于 1 的正整數(shù))，了,解當(dāng) n 為大于 1 的實(shí)數(shù)時(shí)伯努利不等式也成立,7會(huì)用上述不等式證明一些簡(jiǎn)單問(wèn)題能夠利用平均值不,等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的極值.,8了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、,反證法、縮放法,1常用的證明不等式的方法,(1)比較法：比較法包括作差比較法和作商比較法,(2)綜合法：利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式(例如算術(shù)平均數(shù)與 幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式 (3)分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)， 分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定 這些充分條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些充分條件都 已具備，那么就可以斷定原不等式成立,(4)反證法：可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式 AB，先假設(shè) AB，由題設(shè)及其他性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定 AB.凡涉及的證明不等式為否定命題、唯一性命題或含有“至 多”“至少”“不存在”“不可能”等詞語(yǔ)時(shí)，可以考慮用反 證法,(5)放縮法：要證明不等式 AB 成立，借助一個(gè)或多個(gè)中間 變量通過(guò)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明不等式的方法,2絕對(duì)值不等式,(1)含絕對(duì)值不等式的解法：,設(shè) a0，|f(x)|af(x)a. (2)理解絕對(duì)值的幾何意義： |a|b|ab|a|b|.,D,1用反證法證明時(shí)：其中的結(jié)論“ab”，應(yīng)假設(shè)為(,),Aab,Bab,Cab,Dab,2若關(guān)于 x 的不等式|xa|1 的解集為(1,3)，則實(shí)數(shù) a 的 值為( ),A2,B1,C1,D2,3不等式|2x3|1 的解集為_(kāi),(，1)(2，),A,4(2014年廣東韶關(guān)調(diào)研)不等式|x1|x2|1 的解集,是_.,1，),5(2013年江西)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|x2|1|1 的解,集為_(kāi),0,4,考點(diǎn) 1,比較法證明不等式,例1：(2013 年江蘇)已知ab0，求證：2a3b32ab2 a2b.,證明：2a3b3(2ab2a2b) (2a32ab2)(a2bb3) 2a(a2b2)b(a2b2) (a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)，,【規(guī)律方法】比較法證不等式的步驟可歸納為： 作差并化簡(jiǎn)，其化簡(jiǎn)目標(biāo)應(yīng)是 n 個(gè)因式之積或完全 平方式或常數(shù)的形式. 判斷差值與零的大小關(guān)系，必要時(shí)須進(jìn)行討論. 得出結(jié)論.,又ab0，ab0，ab0,2ab0， (ab)(ab)(2ab)0. 2a3b3(2ab2a2b)0. 2a3b32ab2a2b.,考點(diǎn)2,綜合法證明不等式,例2：(2013年新課標(biāo))設(shè) a，b，c 均為正實(shí)數(shù)，且 ab c1，證明：,【規(guī)律方法】分析法證明不等式，就是“執(zhí)果索因”，從 所證的不等式出發(fā)，不斷用充分條件代替前面的不等式，直至 使不等式成立的條件已具備，就斷定原不等式成立.當(dāng)證題不知 從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決，特別對(duì)于條件,簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往是行之有效的方法,用分析法論證 “若 A，則 B”這個(gè)命題的模式是：欲證命題 B 為真，只需證 明命題B1 為真，從而又只需證明命題 B2 為真，從而又只需 證明命題A 為真，今已知A 真，故B 必真.簡(jiǎn)寫(xiě)為：BB1B2 BnA.,考點(diǎn)3,分析法證明不等式,【規(guī)律方法】極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程之間不能直接互化， 必需以普通方程為橋梁，即將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再轉(zhuǎn) 化為參數(shù)方程，或?qū)?shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo) 方程，要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性,考點(diǎn)4 利用放縮法證明不等式時(shí)應(yīng)把握好度,【規(guī)律方法】要證AB，可適當(dāng)選擇一個(gè)C，使得CB，反之亦然.主要應(yīng)用于不等式兩邊差異較大時(shí)的證明.一般的放縮技巧有： 分式放縮：固定分子，放縮分母；固定分母，放縮分子.多見(jiàn)于分式類(lèi)不等式的證明； 添舍放縮：視情況丟掉或增多一些項(xiàng)進(jìn)行放縮，多見(jiàn)于整式或根式配方后需要放縮的不等式的證明.,考點(diǎn)5,解絕對(duì)值不等式,例5：已知函數(shù) f(x)|2x1|2x3|. (1)求不等式 f(x)6 的解集； (2)若關(guān)于 x 的不等式 f(x)a 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 思維點(diǎn)撥：(1)只要分區(qū)去掉絕對(duì)值，即轉(zhuǎn)化為普通的一次 不等式，最后把各個(gè)區(qū)間內(nèi)的解集合并即可；(2)問(wèn)題等價(jià)于 f(x)max，可以利用不等式|a|b|ab|a|b|.,考點(diǎn)6,不等式|a|b|ab|a|b|的應(yīng)用,例6：(1)不等式|x3|x1|a23a 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立，,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為( A1,4 C2,5,) B(，25，) D(，14，),解析：由絕對(duì)值的幾何意義易知，|x3|x1|的最小值 為4， 所以不等式|x3|x1|a23a 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立， 只需a23a4，解得1a4. 答案：A,(2)若關(guān)于 x 的不等式|x3|x4|a 的解集不是空集，則 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_ 解析：設(shè) y|x3|x4|， 1，x3，,則 y 2x7，3x4，,圖象如圖6-6-1.,1，x4. 圖6-6-1,由圖象，可知：1y1，,當(dāng) a1 時(shí)，不等式的解集不是空集 答案：(1，),【規(guī)律方法】對(duì)于比較復(fù)雜的含絕對(duì)值不等式的問(wèn)題，若 用常規(guī)解法需分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，解法繁瑣，而靈活 運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義，往往能簡(jiǎn)便、巧妙地將問(wèn)題解決.,【互動(dòng)探究】 1若不等式|x4|x3|a 的解集為非空集合，則實(shí)數(shù) a,),的取值范圍是( Aa7 Ca1,B1a7 Da1,解析：由題意，得a(|x4|x3|)min，|x4|x3|x 4x3|，即a1.,C,2若不等式|xa|x2|1 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立，則實(shí),數(shù) a 的取值范圍為_(kāi).,a3 或 a1,解析：設(shè)y|xa|x2|，則 ymin|a2|，因?yàn)椴坏仁絴x a|x2|1 對(duì)xR 恒成立， 所以|a2|1，解得a3，或 a1.,3(2015年廣東廣州一模)已知 a 為實(shí)數(shù)，則|a|1 是關(guān)于,x 的絕對(duì)值不等式|x|x1|a 有解的(,),B,A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件,