中考專題復(fù)習(xí)折 疊 型 問 題 的 探 究 折 疊 問 題 （ 對(duì) 稱 問 題 ） 是 近 幾 年 來 中 考 出現(xiàn) 頻 率 較 高 的 一 類 題 型 ， 學(xué) 生 往 往 由 于 對(duì) 折疊 的 實(shí) 質(zhì) 理 解 不 夠 透 徹 ， 導(dǎo) 致 對(duì) 這 類 中 檔 問題 失 分 嚴(yán) 重 。 本 節(jié) 課 通 過 對(duì) 在 初 中 數(shù) 學(xué) 中 經(jīng)常 涉 及 到 的 幾 種 折 疊 的 典 型 問 題 的 剖 析 ， 從中 抽 象 出 基 本 圖 形 的 基 本 規(guī) 律 ， 找 到 解 決 這類 問 題 的 常 規(guī) 方 法 。命 題 方 向 本 節(jié) 課 的 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) ：1、 理 解 圖 形 折 疊 問 題 的 實(shí) 質(zhì) ；2、 理 解 折 疊 前 后 關(guān) 于 折 痕 成 軸 對(duì) 稱 ；3、 在 操 作 中 觀 察 、 分 析 圖 形 ， 從 中 確 定 線 段 、 角 之 間 的 數(shù) 量關(guān) 系 ， 并 結(jié) 合 勾 股 定 理 利 用 方 程 思 想 解 決 相 關(guān) 計(jì) 算 問 題 ； 透 過 現(xiàn) 象 看 本 質(zhì) : 折疊 軸對(duì)稱實(shí) 質(zhì)軸 對(duì) 稱 性 質(zhì) ：A DEF2.點(diǎn) 的 對(duì) 稱 性 ： 對(duì) 稱 點(diǎn) 連 線 被 對(duì) 稱 軸 （ 折 痕 ） 垂 直 平 分 .1.圖 形 的 全 等 性 ： 重 合 部 分 是 全 等 圖 形 ， 對(duì) 應(yīng) 邊 、 角 相 等 .由 折 疊 可 得 ：1. AFE ADE 2.折 痕 AE是 DF的中 垂 線 答 案解 析 一 、 求 角 度 將 一 張 長(zhǎng) 方 形 紙 片 按 如 圖 的 方 式 折 疊 ， 其 中 BC，BD為 折 痕 ， 折 疊 后 BG和 BH在 同 一 條 直 線 上 ， CBD= 度 解 析 ： BC、 BD是 折 痕 ，所 以 有 1 = 2， 3= 4則 CBD = 90 總 結(jié) ： 折 疊 圖 形 的 翻 折 部 分 在 折 疊 前 后 的 形 狀和 大 小 不 變 ， 是 全 等 圖 形 ， 利 用 性 質(zhì) ， 對(duì) 應(yīng) 角 相等 求 解 。 12 3 490 2 把 矩 形 紙 片 ABCD沿 BE折 疊 ， 使 得 BA邊 與 BC重 合 ， 然 后再 沿 著 BF折 疊 ， 使 得 折 痕 BE也 與 BC邊 重 合 ， 展 開 后 如 圖 所示 ， 則 DFB等 于 =_。1.已 知 ， 如 圖 ,Rt ABC中 , C=90,沿 過 點(diǎn) B的一 條 直 線 BE折 疊 ABC,使 C恰 好 落 在 AB邊 的 中點(diǎn) D處 ， 則 A=_.30 112.5練 習(xí) 二 、 求 邊 長(zhǎng)【 一 】 折 疊 前 后 的 對(duì) 應(yīng) 邊 相 等 如 圖 ， 矩 形 紙 片 ABCD中 ,AB=6cm,BC=8cm,現(xiàn) 將 其 沿AE對(duì) 折 ， 使 得 B點(diǎn) 落 在 AD上 的 點(diǎn) B1處 ， 折 痕 與 BC交 于 點(diǎn)E,則 CE=_.2 總 結(jié) ： 折 疊 圖 形 的 翻 折 部 分 在 折 疊 前 后 的 形 狀 和 大小 不 變 ， 是 全 等 圖 形 ， 利 用 性 質(zhì) ， 對(duì) 應(yīng) 邊 相 等 求 解 。解 析 ： 由 翻 折 可 得 四 邊 形ABEB1是 正 方 形 1.如 圖 ， 正 方 形 紙 片 ABCD的 邊 長(zhǎng) 為 8， 將 其 沿 EF折 疊 ， 則 圖中 四 個(gè) 三 角 形 的 周 長(zhǎng) 之 和 為 _.2.如 圖 ， 點(diǎn) O是 矩 形 ABCD的 中 心 ,E是 AB上 的 點(diǎn) ， 沿 CE折 疊 ，點(diǎn) B恰 好 與 點(diǎn) O重 合 ， 若 BC=3,則 折 痕 CE=_.32 2 3 3 練 習(xí) 3330 3030 【 二 】 利 用 勾 股 定 理 解 決 問 題二 、 求 邊 長(zhǎng)如 圖 ， 沿 AE折 疊 長(zhǎng) 方 形 ， 使 D點(diǎn) 落 在 BC邊 上 的 F處 ， 已 知AB=8,BC=10.求 CE的 長(zhǎng) .解 ： 根 據(jù) 折 疊 可 知 ， AFE ADE， AF=AD=10cm， EF=ED， AB=8 cm， EF EC=DC=8cm， 在 Rt ABF中 FC=BC-BF=4cm設(shè) EC=xcm ,則 EF=DC EC=(8 x)cm在 Rt EFC中 ， 根 據(jù) 勾 股 定 理 得 EC=FC=EF即 x 4 =（ 8 x） ， x=3cm， EC的 長(zhǎng) 為 3cm。 cmABAFBF 6810 2222 108 10 x8-x8-x6 4總 結(jié) ： 2、 找 相 等1、 標(biāo) 已 知3、 設(shè) 未 知 ， 將 已 知 邊 和 未 知 邊 （ 用 含 x的 代 數(shù) 式 表 示 ） 轉(zhuǎn)化 到 同 一 直 角 三 角 形 中 表 示 出 來 。4、 利 用 勾 股 定 理 ， 列 出 方 程 ， 解 方 程 ， 得 解 。心 得 ： 先 標(biāo) 等 量 ， 把 條 件 集 中 到 一 Rt 中 ，利 用 勾 股 定 理 得 方 程 。 AB CD x48-x x 6 6 練 習(xí)1.如 圖 ,矩 形 紙 片 ABCD中 ， AB=6cm,AD=8cm，在 BC上 找 一 點(diǎn) F， 沿 DF折 疊 矩 形 ABCD， 使 C點(diǎn) 落 在 對(duì) 角線 BD上 的 點(diǎn) E處 ， 此 時(shí) 折 痕 DF的 長(zhǎng) 是 多 少 ？心 得 ： 先 標(biāo) 等 量 ， 把 條 件 集 中 到 一 Rt 中 ，利 用 勾 股 定 理 得 方 程 。 8 2.如 圖 ， 將 一 長(zhǎng) 方 形 紙 片 ABCD沿 對(duì) 角 線 AC折 疊 ， 點(diǎn) B落 在E的 位 置 上 ， AE交 DC于 點(diǎn) F,已 知 AB=8cm,BC=4cm,求 線 段CF的 長(zhǎng) .練 習(xí) 8 44xx8-x解 ： 根 據(jù) 折 疊 可 知 ， ABC AEC， AE=AB=8cm， EC=BC=4， EAC= BAC， E= B=90 ，又 DCA= BAC， EAC= DCA， FC=FA，設(shè) FC=xcm ,則 EF=(8 x)cm在 Rt EFC中 ， 根 據(jù) 勾 股 定 理 得 EC+FE=CF即 4+(8 x)=x， x=5cm， EC的 長(zhǎng) 為 5cm。 角 平 分 線 與 平 行 線 組 合 時(shí) ,能 得 到 等 腰 三 角 形在 矩 形 的 折 疊 問 題 中 ， 求 線 段 長(zhǎng) 時(shí) ， 常 設(shè) 未 知 數(shù) ， 找到 相 應(yīng) 的 直 角 三 角 形 ， 用 勾 股 定 理 建 立 方 程 ， 利 用 方程 思 想 解 決 問 題 。 3 .如 圖 ， 有 一 張 直 角 三 角 形 紙 片 ， 兩 直 角 邊 AC=5 cm， BC=1 0 cm，將 ABC折 疊 ， 使 點(diǎn) B與 點(diǎn) A重 合 ， 折 痕 為 DE， 則 CD的 長(zhǎng) 為 ( ) 練 習(xí) 25 15 25 15A. . C. .2 2 4 4cm B cm cm D cm D5 x 10-x10-x 三 、 求 面 積如 圖 ， 將 一 長(zhǎng) 方 形 紙 片 ABCD沿 對(duì) 角 線 AC折 疊 ， 點(diǎn) B落 在 E的 位 置 上 ， AE交 DC于 點(diǎn) F,已 知 AB=8cm,BC=4cm,求 AFC的 面 積 . 若 將 問 題 換 成 ： 求 折 疊 后 重 合 部分 的 面 積 呢 ？我 們 將 幾 個(gè) 問 題 整 合 ， 可 以 得 到 ： 如 圖 ， 將 一 長(zhǎng) 方 形 紙 片 ABCD沿 對(duì) 角 線 AC折 疊 ， 點(diǎn) B落在 E的 位 置 上 ， AE交 DC于 點(diǎn) F,已 知 AB=8cm,BC=4cm.（ 1） 找 出 圖 中 的 一 對(duì) 全 等 三 角 形 ， 并 證 明 ；（ 2） AFC是 何 種 形 狀 的 三 角 形 ？ 說 明 你 的 理 由 ；（ 3） 求 FC的 長(zhǎng) 。（ 4） 試 確 定 重 疊 部 分 AFC的 面 積 。 如 圖 ， 矩 形 紙 片 ABCD中 ， AB=4,AD=3,折 疊 紙 片 ， 使 AD邊 與 對(duì) 角 線 BD重 合 ， 折 痕 為 DG,則 A1BG的 面 積 與 該 矩 形的 面 積 比 為 _。 3 4 23 11 2A BG 11 ABDABD A BGABCD ABCDS A B 1A BG ABD S AB 4S S 1:2 S S 1:8. 矩 形 矩 形根 據(jù) ， 可 得 到 ；： ， 所 以 ：1： 8 練 習(xí) 四 、 紙 片 中 的 折 疊如 圖 ， 有 一 條 直 的 寬 紙 帶 ， 按 圖 折 疊 ， 則 的 度 數(shù) 等 于_.75 a2 130 BEF ACD 總 結(jié) ： 紙 片 折 疊 ， 利 用 角 平 分 線 和 平 行 線 性 質(zhì)得 出 重 疊 部 分 是 一 個(gè) 等 腰 三 角 形 ， 折 疊 問 題 中 ,求 角 度時(shí) ， 往 往 可 通 過 動(dòng) 手折 疊 ， 或 將 圖 形 還 原 。 如 圖 ， a是 長(zhǎng) 方 形 紙 帶 ， 將 紙 帶 沿 EF折 疊 成 圖b， 如 果 GEF=20 ， 那 么 AEG= _. EA DCB F圖 a CB DE FGA 圖 b D CCD 圖 c CDB GA FE ?2020相 信 你 ,一 定 行如 果 再 沿 BF折 疊 成 圖 c， 則 圖 c中 的 CFE的度 數(shù) 是 . 140120 提 示 ： 在 圖 c中 CFE= GFC- EFG=120 如 圖 ， a是 長(zhǎng) 方 形 紙 帶 ， GEF=20 ， 將紙 帶 沿 EF折 疊 成 圖 b， 如 果 再 沿 BF折 疊 成 圖 c，則 圖 c中 的 CFE的 度 數(shù) 是 .EA DCB F圖 a CB DE FGA 圖 b 圖 c CDB GA FE ?相 信 你 ,一 定 行 折 疊 過 程 實(shí) 質(zhì) 上 是 一 個(gè) 軸 對(duì) 稱 變 換 ，變 換 前 后 兩 個(gè) 圖 形 全 等（ 2） 在 矩 形 的 折 疊 問 題 中 ， 若 有 求 邊 長(zhǎng) 問 題 ， 常 設(shè) 未知 數(shù) ， 找 到 相 應(yīng) 的 直 角 三 角 形 ， 用 勾 股 定 理 建 立 方 程 ，利 用 方 程 思 想 解 決 問 題 。（ 4） 在 折 疊 問 題 中 ， 若 直 接 解 決 較 困 難 時(shí) ，可 將 圖 形 還 原 ， 可 讓 問 題 變 得 簡(jiǎn) 單 明 了 。 有 時(shí)還 可 采 用 動(dòng) 手 操 作 ， 通 過 折 疊 觀 察 得 出 問 題 的答 案 。小 結(jié)(3)在 矩 形 （ 紙 片 ） 折 疊 問 題 中 ， 重 合 部 分 一 般 會(huì)是 一 個(gè) 以 折 痕 為 底 邊 的 等 腰 三 角 形 重 結(jié) 果折 疊 問 題折 疊重 過 程利 用 Rt 利 用 方程思想軸對(duì)稱全 等 性 對(duì) 稱 性 （ 折 痕 ）實(shí)質(zhì) 精髓利 用 三 角 函 數(shù) 謝 謝 大 家 ！ 試 一 試1.如 圖 ， 將 邊 長(zhǎng) 為 4的 正 方 形 ABCD沿 著 折 痕 EF折 疊 ， 使 點(diǎn) B落在 邊 AD的 中 點(diǎn) G處 ， 求 四 邊 形 BCFE的 面 積 .2.如 圖 ,矩 形 ABCD中 ,AB=3,BC=4,E是 BC邊 上 一 點(diǎn) ， 連 接 AE, B沿 AE折 疊 ， 使 點(diǎn)B落 在 點(diǎn) B 1處 .當(dāng) CEB1為 直 角 三 角 形 時(shí) ， BE=_.