導(dǎo) 入 新 課 數(shù)學(xué)家龐加萊每天都從一家面包店買(mǎi)一塊1000g 的面包，并記錄下買(mǎi)回的面包的實(shí)際質(zhì)量.一年后，這位數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，所記錄數(shù)據(jù)的均值為950g. 于是龐加萊推斷這家面包店的面包分量不足. 假 設(shè) “ 面 包 分 量 足 ” ， 則 一 年 購(gòu) 買(mǎi) 面 包 的 質(zhì) 量數(shù) 據(jù) 的 平 均 值 應(yīng) 該 不 少 于 1000g ； “ 這 個(gè) 平 均 值 不 大 于 950g”是 一 個(gè) 與 假 設(shè) “ 面 包分 量 足 ” 矛 盾 的 小 概 率 事 件 ； 這 個(gè) 小 概 率 事 件 的 發(fā) 生 使 龐 加 萊 得 出 推 斷 結(jié) 果 . 龐 加 萊 應(yīng) 是 如 何 證明 自 己 的 假 設(shè) 呢 ？ 3.1 獨(dú)立性檢驗(yàn) 1.理 解 獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) 的 基 本 思 想 . 2.會(huì) 從 列 聯(lián) 表 、 柱 形 圖 、 條 形 圖 直 觀 判 斷 兩 個(gè)分 類(lèi) 變 量 是 否 相 關(guān) . 3.了 解 隨 機(jī) 變 量 K 2的 含 義 .教 學(xué) 目 標(biāo)知識(shí)目標(biāo) 能力目標(biāo)具 有 應(yīng) 用 獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) 的 能 力 .情感目標(biāo) 通 過(guò) 對(duì) 獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) 的 基 本 思 想 的 學(xué) 習(xí) ，能 夠 在 在 現(xiàn) 實(shí) 生 活 中 應(yīng) 用 此 思 想 . 教 學(xué) 重 難 點(diǎn)重 點(diǎn)理 解 獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) 的 基 本 思 想 及 實(shí) 施 步 驟 .難 點(diǎn)1.了 解 獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) 的 基 本 思 想 .2.了 解 隨 機(jī) 變 量 的 含 義 . 知識(shí)要點(diǎn) 1.分 類(lèi) 變 量 變 量 的 不 同 “ 值 ” 表 示 個(gè) 體 所 屬 的 不同 類(lèi) 別 ， 像 這 樣 的 變 量 稱(chēng) 為 分 類(lèi) 變 量 . 舉 例 :性 別 ,是 否 吸 煙 ,宗 教 信 仰 ,國(guó) 籍 等 . 在 日 常 生 活 中 ,我 們 常 常 關(guān) 心 兩 個(gè) 分類(lèi) 變 量 之 間 是 否 具 有 關(guān) 系 .例 如 ,吸 煙 是 否與 患 肺 癌 有 關(guān) 系 ?性 別 是 否 對(duì) 于 喜 歡 數(shù) 學(xué)課 程 有 影 響 ?等 等 . 探 究 為 了 調(diào) 查 吸 煙 是 否 對(duì) 肺 癌 有 影 響 ， 某 腫 瘤 研 究 所隨 機(jī) 地 調(diào) 查 了 9965人 ， 得 到 如 下 結(jié) 果 （ 單 位 ： 人 ） 吸 煙 與 肺 癌 列 聯(lián) 表不 患 肺 癌 患 肺 癌 總 計(jì)不 吸 煙 7775 42 7817吸 煙 2099 49 2148總 計(jì) 9874 91 9965那 么 吸 煙 是 否 對(duì) 患 肺 癌 有 影 響 ? 列 聯(lián) 表 列 聯(lián) 表 :列 出 兩 個(gè) 分 類(lèi) 變 量 的 頻 數(shù) 表 . 粗 略 估 計(jì) : 在 不 吸 煙 者 中 ,有 0.54%患 有 肺 癌 ; 在 吸 煙 者 中 ,有 2.28%患 有 肺 癌 . 說(shuō) 明 ： 吸 煙 者 和 不 吸 煙 者 患 肺 癌 的 可 能性 存 在 差 異 ， 吸 煙 者 患 肺 癌 的 可 能 性 大 . 通 過(guò) 圖 形 直 觀 判 斷 兩 個(gè) 分 類(lèi) 變 量 是 否 相 關(guān) ：等 高 條 形圖 通 過(guò) 數(shù) 據(jù) 和 圖 形 分 析 ， 我 們 得 到 的 直 觀 判斷 是 “ 吸 煙 和 患 肺 癌 有 關(guān) ” ， 那 么 這 種 判 斷 是 否可 靠 呢 ？探 究 我 們 先 假 設(shè) H0:吸 煙 與 患 肺 癌 沒(méi) 有 關(guān) 系 . 用 A表 示 不 吸 煙 ， B表 示 不 患 肺 癌 ， 則 “ 吸 煙與 患 肺 癌 沒(méi) 有 關(guān) 系 ” 等 價(jià) 于 “ 吸 煙 與 患 肺 癌 獨(dú)立 ” ， 即 假 設(shè) H0等 價(jià) 于 P(AB)=P(A)P(B). 把 前 表 中 的 數(shù) 字 用 字 母 代 替 ,得 到 如 下 用 字母 表 示 的 列 聯(lián) 表 :不 患 肺 癌 患 肺 癌 總 計(jì)不 吸 煙 a b a+b吸 煙 c d c+d總 計(jì) a+c b+d a+b+c+d a恰 好 為 事 件 AB發(fā) 生 的 頻 數(shù) ； a+b和 a+c恰 好 分 別 為 事 件 A和 B發(fā) 生 的 頻 數(shù) . 因 為 頻 數(shù) 近 似 于 頻 率 ， 所 以 在 H0成 立 的 條件 下 應(yīng) 該 有因 此 ， |ad-bc|越 小 ,說(shuō) 明 吸 煙 與 患 肺 癌 之 間 關(guān) 系 越 弱 ; |ad-bc|越 大 ,說(shuō) 明 吸 煙 與 患 肺 癌 之 間 關(guān) 系 越 強(qiáng) . a c a c+d c a+b ad-bc 0a+b c+d 為 了 使 不 同 樣 本 容 量 的 數(shù) 據(jù) 有 統(tǒng) 一 的 評(píng) 判標(biāo) 準(zhǔn) ,基 于 上 述 分 析 ,我 們 構(gòu) 造 一 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 :n2 n(ad-bc)K =(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 其 中 n=a+b+c+d為 樣 本 容 量 . 若 H0成 立 ， 即 “ 吸 煙 與 患 肺 癌 沒(méi) 有 關(guān) 系 ” ，則 K 2應(yīng) 該 很 小 . 不 患 肺 癌 患 肺 癌 總 計(jì)不 吸 煙 7775 42 7817吸 煙 2099 49 2148總 計(jì) 9874 91 9965利 用 上 述 公 式 得 22 9965(7775 49-42 2099K = 56.6327817 2148 9874 91） 這 個(gè) 值 能 告 訴 我 們 什 么 呢 ？ 在 H0成 立 的 情 況 下 ,統(tǒng) 計(jì) 學(xué) 家 估 算 出 如 下 的 概 率 : 2P K 6.635 0.01 即 在 H0成 立 的 情 況 下 ,K 2的 值 大 于 6.635的 概率 非 常 小 ,近 似 于 0.01. 也 就 是 說(shuō) ,在 H0成 立 的 情 況 下 對(duì) 隨 機(jī) 變 量 K 2進(jìn) 行 多 次 觀 測(cè) ,觀 測(cè) 值 超 過(guò) 6.635的 頻 率 約 為 0.01. 知識(shí)要點(diǎn) 2. 獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) 上 面 這 種 利 用 隨 機(jī) 變 量 K 2來(lái) 確 定 在 多大 程 度 上 可 以 認(rèn) 為 “ 兩 個(gè) 分 類(lèi) 變 量 有 關(guān) 系 ”的 方 法 稱(chēng) 為 兩 個(gè) 分 類(lèi) 變 量 的 獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) . 獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) 的基 本 思 想 類(lèi) 似 于 數(shù)學(xué) 上 的 反 證 法 . 注 意3. 反 證 法 原 理 與 獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) 原 理 的 比 較反 證 法 原 理 在 假 設(shè) H0下 ， 如 果推 出 一 個(gè) 矛 盾 ， 就 證 明了 H0不 成 立 .獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn)原 理 在 假 設(shè) H0下 ， 如 果出 現(xiàn) 一 個(gè) 與 H0相 矛 盾 的小 概 率 事 件 ， 就 推 斷 H0不 成 立 ， 且 該 推 斷 犯 錯(cuò)誤 的 概 率 不 超 過(guò) 這 個(gè) 小概 率 .知識(shí)要點(diǎn) 探 究 你 能 從 上 述 探 究 過(guò) 程 中 總 結(jié) 出 一 種 直 觀 判 斷兩 個(gè) 分 類(lèi) 變 量 有 關(guān) 系 的 思 路 嗎 ？ 一 般 地 ， 假 設(shè) 有 兩 個(gè) 分 類(lèi) 變 量 X和 Y， 它 們的 取 值 分 別 為 x1， x2和 y1， y2， 其 樣 本 頻 數(shù)列 聯(lián) 表 (稱(chēng) 為 2 2列 聯(lián) 表 )為 y1 y2 總 計(jì)x 1 a b a+bx2 c d c+d總 計(jì) a+c b+d a+b+c+d 若 要 推 斷 的 論 述 為 H1:“X與 Y有 關(guān) 系 ” 可 以 通過(guò) 頻 率 直 觀 的 判 斷 兩 個(gè) 條 件 概 率 P(Y=y1|X=x1)和P(Y=y1|X=x2)是 否 相 等 . 如 果 判 斷 它 們 相 等 就 意 味 著 X和 Y沒(méi) 有 關(guān) 系 ；否 則 就 認(rèn) 為 它 們 有 關(guān) 系 . 由 上 表 可 知 ， 當(dāng) X=x1的 情 況 下 ， Y=y1的 頻 率為 a/(a+b)； 在 X=x1的 情 況 下 ， Y=y1的 頻 率 為c/(c+d). 因 此 ， 如 果 通 過(guò) 直 接 計(jì) 算 或 等 高 條 形 圖 發(fā) 現(xiàn) ，a/(a+b)和 c/(c+d)相 差 很 大 ， 就 判 斷 兩 個(gè) 分 類(lèi) 變 量之 間 有 關(guān) 系 . 思 考 直 觀 判 斷 的 不 足 之 處 是 什 么 ？ 不 能 給 出 推 斷 “ 兩 個(gè) 分 量 變 量 有 關(guān) 系 ” 犯錯(cuò) 誤 概 率 .而 獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) 則 可 以 彌 補(bǔ) 這 個(gè) 不 足 . 那 么 獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) 的 具 體 做 法 是 什 么 ？ （ 1） 根 據(jù) 實(shí) 際 問(wèn) 題 的 需 要 確 定 容 許 推 斷 “ 兩 個(gè)分 類(lèi) 變 量 有 關(guān) 系 ” 犯 錯(cuò) 誤 概 率 的 上 界 a， 然 后 查 表確 定 臨 界 值 k0.P(k2k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 （ 2） 利 用 K 2公 式 ， 計(jì) 算 隨 機(jī) 變 量 K 2的 觀 測(cè) 值 k. （ 3） 如 果 kk0， 就 推 斷 “ X與 Y有 關(guān) 系 ” ， 這種 推 斷 犯 錯(cuò) 誤 的 概 率 不 超 過(guò) a； 否 則 ， 就 認(rèn) 為 在 犯錯(cuò) 誤 的 概 率 不 超 過(guò) a的 前 提 下 不 能 推 斷 “ X與 Y有 關(guān)系 ” . 例題 在 一 次 惡 劣 氣 候 的 飛 行 航 行 中 調(diào) 查 男 女 乘客 在 機(jī) 上 暈 機(jī) 的 情 況 如 下 表 所 示 ， 據(jù) 此 資 料 你是 否 能 認(rèn) 為 在 惡 劣 氣 候 飛 行 中 男 性 比 女 性 更 容易 暈 機(jī) ？ 分 類(lèi) 暈 機(jī) 不 暈 機(jī) 合 計(jì)男 性 23 32 55女 性 9 25 34合 計(jì) 32 57 89 由 公 式 ， 解 答 評(píng) 注 ： 盡 管 這 次 航 班 中 男 性 暈 機(jī) 的 比例 （ ） 比 女 性 暈 機(jī) 的 比 例 （ ） 高 ， 但 是 我 們不 能 認(rèn) 為 在 惡 劣 氣 候 飛 行 中 男 性 比 女 性 更 容 易 暈機(jī) . 解 答 22 89 (23 25-32 9)K = 2.14955 34 32 57 因 為 2 149w0時(shí) ， 就 判 斷 “ X和 Y有 關(guān)系 ” ;否 則 ， 判 斷 “ X和 Y沒(méi) 有 關(guān) 系 ” . 這 里 w0為 正 實(shí) 數(shù) ， 滿(mǎn) 足 如 下 條 件 ： 在 “ X和Y沒(méi) 有 關(guān) 系 ” 的 前 提 下 ， P(Ww 0)=0.01 思 考 若 在 “ X和 Y沒(méi) 有 關(guān) 系 ” 的 情 況 下 有 P(K 2k0)=0.01，可 以 通 過(guò) k0來(lái) 確 定 w0嗎 ？事 實(shí) 上 ， 其 中 n=a+b+c+d. 因 此 ， K 2k 0等 價(jià) 于 即 可 取 ,d)c)(b(a d)b)(cn(aWK 22 ,d)b)(cn(a d)c)(b(akW 0 .d)b)(cn(a d)c)(b(akw 00 課 堂 小 結(jié) 1.獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) 的 方 法 2.獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) 的 原 理 3.獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) 的 步 驟 4.獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) 與 反 證 法 獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn) 類(lèi) 似 于 反 證 法 但 又 與 反 證 法 有所 區(qū) 別 . 高 考 鏈 接 1.（ 2007年 全 國(guó) 卷 ） 一 個(gè) 總 體 含 有 100個(gè) 個(gè)體 ， 以 簡(jiǎn) 單 隨 機(jī) 抽 樣 的 方 式 從 該 總 體 中 抽 取 一 個(gè)總 量 為 5的 樣 本 ， 則 指 定 的 某 個(gè) 個(gè) 體 被 抽 到 的 概率 為 _. 解 析 ：p=5/100=1/20 2.（ 2007年 遼 寧 ） 某 公 司 在 過(guò) 去 幾 年 內(nèi) 使 用 某 種型 號(hào) 的 燈 管 1000支 ， 該 公 司 對(duì) 這 些 燈 管 的 使 用 壽 命（ 單 位 ： 小 時(shí) ） 進(jìn) 行 了 統(tǒng) 計(jì) ， 統(tǒng) 計(jì) 結(jié) 果 如 下 表 所 示 ：分 組 500,900) 900,1100) 1100,1300) 1300,1500) 1500,1700) 1700,1900) 1900, +)頻 數(shù) 48 121 208 223 193 165 42頻 率 （ I） 將 各 組 的 頻 率 填 入 表 中 ； （ II） 根 據(jù) 上 述 統(tǒng) 計(jì) 結(jié) 果 ， 計(jì) 算 燈 管 使 用 壽 命 不 足1500小 時(shí) 的 頻 率 . 分 組 500,900) 900,1100) 1100,1300) 1300,1500) 1500,1700) 1700,1900) 1900,+)頻 數(shù) 48 121 208 223 193 165 42頻 率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042解 答 （ II） 解 ： 由 （ I） 可 得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6， 所 以 燈 管 使 用 壽 命 不足 1500小 時(shí) 的 頻 率 為 0.6. 1.選 擇 課 堂 練 習(xí) 為 了 了 解 某 學(xué) 校 學(xué) 生 的 身 體 發(fā) 育 情 況 ， 抽 查了 該 校 100名 高 中 男 生 的 體 重 情 況 ， 根 據(jù) 所 得 數(shù)據(jù) 畫(huà) 出 樣 本 的 頻 率 分 布 直 方 圖 如 下 圖 所 示 根 據(jù)此 圖 ， 估 計(jì) 該 校 2000名 高 中 男 生 中 體 重 大 于 70.5公 斤 的 人 數(shù) 為 （ ） A 300 B 360 C 420 D 450 解 析 ： 由 圖 可 知 ， 大 于 70.5公 斤 的 人 數(shù) 為2000 (0.04+0.035+0.015) 2 360.故 選 B.0.080.070.060.050.040.030.020.01 54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5 體 重 (kg)頻 率 /組 距 2.解 答 題 （ 1） 在 研 究 某 種 新 藥 對(duì) 小 白 兔 的 防 治 效 果 時(shí) ,得 到 下 表 數(shù) 據(jù) :試 分 析 新 藥 對(duì) 防 治 小 白 兔 是 否 有 效 ?存 活 數(shù) 死 亡 數(shù) 總 計(jì)未 用 新 藥 101 38 139用 新 藥 129 20 149總 計(jì) 230 58 288 解 答 2288 101 20-38 129k = 8.658 7.879139 149 230 58 99.5%的 把 握 判 定 新 藥 對(duì) 防 治 小 白 兔 是 有 效 的 .根 據(jù) 上 表 計(jì) 算 出 隨 機(jī) 變 量 的 觀 測(cè) 值 （ 2） 在 某 醫(yī) 院 ,因 為 患 心 臟 病 而 住 院 的665名 男 性 病 人 中 ,有 214人 禿 頂 ;而 另 外 772名 不 是 因 為 患 心 臟 病 而 住 院 的 男 性 病 人 中有 174人 禿 頂 .分 別 利 用 圖 形 和 獨(dú) 立 性 檢 驗(yàn)方 法 判 斷 禿 頂 與 患 心 臟 病 是 否 有 關(guān) 系 ?你 所得 的 結(jié) 論 在 什 么 范 圍 內(nèi) 有 效 ? 解 答根 據(jù) 題 目 所 得 數(shù) 據(jù) 得 到 列 聯(lián) 表 :患 心 臟 病 患 其 他 病 總 計(jì)禿 頂 214 175 389不 禿 頂 451 597 1048總 計(jì) 665 772 1437 22 n ad-bcK = a+b c+d a+c b+d 21437 214 597 -175 451k = 16.373 6.635389 1048 665 772 所 以 有 99%的 把 握 認(rèn) 為 ” 禿 頂 與 患 心 臟 病 有 關(guān) ” .其 中 n=a+b+c+d為 樣 本 容 量根 據(jù) 列 聯(lián) 表 中 的 數(shù) 據(jù) ， 的 K 2的 觀 測(cè) 值 為