2019-2020年高考數(shù)學 考點18 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、空間幾何體的表面積與體積練習空間幾何體的表面積與體積 1.（xx陜西高考理科7）若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）(A) (B) (C) 1 (D) 2 【命題立意】本題考查三視圖的概念及空間想象能力，屬中檔題.【思路點撥】三視圖幾何體是直三棱柱該幾何體的體積.【規(guī)范解答】選C.由該幾何體的三視圖可知，該幾何體是直三棱柱，且棱柱的底面是兩直角邊長分別為和1的直角三角形，棱柱的高為，所以該幾何體的體積2.（xx遼寧高考文科11）已知S，A，B，C是球O表面上的點，SA平面ABC,ABBC，SA=AB=1，BC=,則球O的表面積等于（ ）（A）4(B）3 (C)2(D) 【命題立意】本題考查了空間兩點間距離公式和球的表面積公式.【思路點撥】建立空間坐標系設(shè)球心坐標球的半徑球的表面積【規(guī)范解答】選A.平面ABC，AB，AC平面ABC，故可以A為原點，AC所在的直線為軸，AS所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則,設(shè)球心O坐標為，則點O到各頂點S，A，B，C的距離相等，都等于球的半徑R.，解得，球的表面積為.故選A.【方法技巧】1.選用球心到各頂點的距離都相等來確定球心，才能求出半徑，2.也可用另外的方法找到球心，因為ABC是直角，所以AC是過A，B，C三點的小圓的直徑，所以球心在過AC和平面ABC垂直的平面上，可知球心在平面SAC中，又因為球心到點S，A，C的距離都相等，且SAC是直角三角形，所以球心就是斜邊SC的中點，球的半徑為SC的一半，3.另外，可將三棱錐S-ABC補成一個長方體進行求解.3.（xx遼寧高考理科12）有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是（ ） (A)（0,） (B)（1,） (C) (,） (D) （0,）【命題立意】以三棱錐為背景考查三角形中的三邊關(guān)系，考查空間想象能力和運算能力.【思路點撥】分兩種情況，一種是長度為a的棱在一個三角形中，另一種情況是長度為a的棱不在一個三角形中，分別討論.【規(guī)范解答】選A. 對于第一種情況，取BC的中點D連結(jié)PD，AD，則在PAD中，對于第二種情況同理可以得到，綜合兩種情況，及，所以a的取值范圍是（0,）.4.（xx安徽高考理科8）一個幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積為（ ）(A)280(B)292(C)360(D)372【命題立意】本題主要考查三視圖知識，考查考生的空間想象能力【思路點撥】把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖，進而運算求解.【規(guī)范解答】選 C.由幾何體的三視圖可知，該幾何體由兩個長方體組合而成，其表面積等于下面長方體的全面積加上面長方體的4個側(cè)面面積之和.其中下面的長方體的三邊分別為8,10,2, 上面的長方體的三邊分別為6,2,8,所以該幾何體的表面積為，故C正確.【方法技巧】把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖是解決此題的關(guān)鍵，由三視圖很容易知道是兩個長方體的組合體，畫出直觀圖，得出各個棱的長度，把幾何體的表面積轉(zhuǎn)化為下面長方體的表面積加上面長方體的4個側(cè)面面積之和.5.（xx浙江高考文科8）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（ ）（A）cm3 （B）cm3（C）cm3 （D）cm3【命題立意】本題主要考查了對三視圖所表達的空間幾何體的識別以及幾何體體積的計算，屬容易題.【思路點撥】解答本題要先由三視圖，想象出直觀圖，再求體積.【規(guī)范解答】選B.此幾何體上方為正四棱柱、下方為四棱臺.所以其體積為（cm3）.【方法技巧】對于不規(guī)則幾何體求體積時可分為幾部分規(guī)則的幾何體，再求體積和.6.（xx北京高考理科3）一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為（ ）（A）（B）（C）（D）【命題立意】本題考查三視圖知識，考查同學們的空間想象能力.【思路點撥】結(jié)合正、側(cè)視圖，想象直觀圖.【規(guī)范解答】選C.由主、左視圖可知直觀圖如圖所示：因此，俯視圖是選項C.7.（xx北京高考理科8）如圖，正方體ABCD-的棱長為2，動點E，F(xiàn)在棱上，動點P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，D（，大于零），則四面體PE的體積（ ）（）與，都有關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)（）與有關(guān)，與，無關(guān)【命題立意】本題考查幾何體體積的求法，關(guān)鍵是找到易求面積的底面與高.考查空間想象能力，運算能力.【思路點撥】把四面體PEFQ的體積表示出來，由于中，Q到EF的距離為側(cè)面的對角線長，故選擇為底面.點P到的距離，即是點P到對角面的距離.【規(guī)范解答】選D.SEFQ，點P到平面EFQ的距離h=，SEFQh.因此體積只與有關(guān)，而與無關(guān).8.（xx北京高考文科8）如圖，正方體的棱長為2，動點E，F(xiàn)在棱上.點Q是CD的中點，動點P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，則三棱錐P-EFQ的體積（ ）（A）與x，y都有關(guān)（B）與x，y都無關(guān)（C）與x有關(guān)，與y無關(guān)（D）與y有關(guān)，與x無關(guān)【命題立意】本題考查幾何體體積的相關(guān)知識，關(guān)鍵是找到易求面積的底面與高.【思路點撥】把EFQ看作底面，點P到對角面的距離即為對應(yīng)的高.【規(guī)范解答】選C.，點P到平面EFQ的距離h=.,與x有關(guān)，與y無關(guān).9.（xx 海南寧夏高考理科T10）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（ ）（A） （B） （C） （D）【命題立意】本小題主要考查了幾何體的外接球問題.【思路點撥】找出球與棱柱的相應(yīng)關(guān)系，找出球的半徑與三棱柱棱長之間的關(guān)系.【規(guī)范解答】選.設(shè)球心為，設(shè)正三棱柱上底面為，中心為，因為三棱柱所有棱的長為，則可知 ，又由球的相關(guān)性質(zhì)可知，球的半徑，所以球的表面積為，故選.11110.（xx福建高考文科3）若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其側(cè)面積等于（ ）(A) (B)2 (C) (D)6【命題立意】本題考查三棱柱的三視圖、側(cè)面積.【思路點撥】由題意判斷幾何體的形狀，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)求出側(cè)面積.【規(guī)范解答】選D.由正視圖知：三棱柱是以底面邊長為2，高為1的正三棱柱，側(cè)面積為321=6.11.（xx廣東高考理科6）如圖， ABC為正三角形，/, 平面ABC且3= =AB,則多面體ABC -的正視圖（也稱主視圖）是（ ）【命題立意】本題考查三視圖的畫法.【思路點撥】可由投影的方法得到.【規(guī)范解答】選.由/及3=可得四邊形的投影為梯形，再由3= =AB及底面為正三角形可得正視圖為.12.（xx 海南寧夏高考理科T14）正視圖為一個三角形的幾何體可以是 (寫出三種)【命題立意】本題主要考查空間幾何體的三視圖的相關(guān)知識.【思路點撥】一般來說，錐體的正視圖中才會出現(xiàn)三角形.【規(guī)范解答】由幾何體的三視圖可知，正視圖為三角形的可以是三棱錐、圓錐、四棱錐等.【答案】三棱錐、圓錐、四棱錐（不唯一）13.（xx天津高考文科12）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為 .【命題立意】本題主要考查三視圖的基礎(chǔ)知識，和柱體體積的計算，屬于容易題.【思路點撥】由三視圖還原幾何體的形狀.【規(guī)范解答】由俯視圖可知該幾何體的底面為直角梯形，則由正視圖和側(cè)視圖可知該幾何體的高為1，結(jié)合三個視圖可知該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積為.【答案】3【方法技巧】根據(jù)三視圖還原幾何體實物，要仔細分析和認真觀察三視圖，進行充分的空間想象，結(jié)合三視圖的形狀，從不同的角度去還原，看圖和想圖是兩個重要的步驟，“想”與“看”中，形體分析的看圖方法是解決此類問題的常見方法.14.（xx湖南高考文科13）如圖中的三個直角三角形是一個體積為20 cm3的幾何體的三視圖，則h= cm.【命題立意】考查空間想象能力和把三視圖等價轉(zhuǎn)化為直觀圖的能力.【思路點撥】三視圖直觀圖，特別注意數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化.【規(guī)范解答】在長方體ABCD-A1B1C1D1中體會三視圖，得到三視圖的直觀圖是三棱錐D1-DAC，D1DDA，D1DDC，且DC=5，DA=6，則V=DADCh=20,h=4cm.【答案】4【方法技巧】在把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖時，常常利用長方體為載體進行分析，常常注意三個方面：虛線和實線，面高和體高，垂直.15.（xx遼寧高考理科15）如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的一條棱的長為_. 【命題立意】考查了幾何體的三視圖和幾何體中的簡單計算.【思路點撥】由三視圖作出該幾何體的直觀圖，判斷出最長的棱，計算得出答案.【規(guī)范解答】由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐，（如圖）底面ABCD是正方形，邊長是2，高PC2，所以最長的棱是PA，長為.【答案】16.（xx浙江高考理科12）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是_.【命題立意】本題考查三視圖、體積的計算公式，考查空間想象能力、運算能力.【思路點撥】先由三視圖想象出直觀圖，再分解求體積.【規(guī)范解答】該幾何體的直觀圖：上面是一個正四棱柱（底面邊長4，高2），下面是一個四棱臺（上底面邊長為4，下底面邊長為8，高為3）.因此，其體積為：.【答案】144【方法技巧】（1）在由三視圖畫直觀圖時，要注意三視圖中的尺寸與直觀圖中尺寸間的對應(yīng)關(guān)系.（2）求復雜幾何體的體積一般先把它分成幾個簡單的幾何體，再分別求體積.17.（xx天津高考理科2）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為 .【命題立意】考查三視圖的概念及錐體的體積公式.【思路點撥】由三視圖還原幾何體的形狀.【規(guī)范解答】由三視圖可得該幾何體是一個組合體，上面是一個高為1的正四棱錐，其底是邊長為2的正方形，下面是一個長為1、寬為1、高為2的長方體，所以所求幾何體的體積為.【答案】【方法技巧】根據(jù)三視圖還原幾何體實物，要仔細分析和認真觀察三視圖，進行充分的空間想象，結(jié)合三視圖的形狀，從不同的角度去還原，看圖和想圖是兩個重要的步驟，“想”與“看”中，形體分析的看圖方法是解決此類問題的常見方法.11118.（xx福建高考理科12）若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其表面積等于 .【命題立意】本題主要考查三棱柱的三視圖與直觀圖、表面積.【思路點撥】 把三視圖恢復成直觀圖，求出上、下底面和各個側(cè)面的面積，進而求出表面積.【規(guī)范解答】三棱柱的直觀圖為底面邊長為2的正三角形，側(cè)棱長為1，.【答案】19（xx湖南高考理科4）如圖中的三個直角三角形是一個體積為20的幾何體的三視圖，則 【命題立意】考查空間想象能力和把三視圖等價轉(zhuǎn)化為直觀圖的能力.【思路點撥】三視圖直觀圖，特別注意數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化.【規(guī)范解答】在長方體ABCD-A1B1C1D1中體會三視圖，得到三視圖的直觀圖是三棱錐D1-DAC，D1DDA，D1DDC，且DC=5，DA=6，則V=DADCh=20,h=4cm.【答案】4【方法技巧】在把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖時，常常利用長方體為載體進行分析.常常注意三個方面：虛線和實線，面高和體高，垂直.